सामान्य वितरण के उच्च-क्रम वाले उत्पादों पर अपेक्षा

मेरे पास दो सामान्य रूप से वितरित चर हैं $X_1$ और माध्य शून्य और सहसंयोजक मैट्रिक्स साथ । मैं की प्रविष्टियों के संदर्भ में के मूल्य की गणना करने की कोशिश कर रहा हूं । $X_2$ $\Sigma$ $E[X_1^2 X_2^2]$ $\Sigma$

मैंने पाने के लिए कुल संभावना के नियम का उपयोग किया लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि आंतरिक अपेक्षा क्या कम करती है। क्या यहां कोई दूसरी विधि है? $E[X_1^2 X_2^2] = E[X_1^2 E[X_2^2 | X_1]]$

धन्यवाद।

संपादित करें: चर भी सामान्य रूप से वितरित बहुभिन्नरूपी हैं।

normal-distribution conditional-expectation

— AGK
स्रोत

Do और एक का आनंद द्विचर भी सामान्य वितरण? (केवल यह कहना कि और सहसंयोजक मैट्रिक्स के साथ सामान्य हैं यह निष्कर्ष निकालने के लिए पर्याप्त नहीं है कि संयुक्त वितरण सामान्य रूप से द्विभाजित है)।

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

Σ

$\Sigma$

— दिलीप सरवटे

विशिष्ट आवेदन के लिए मेरे पास है, और में बहुभिन्नरूपी केंद्रीय सीमा प्रमेय द्वारा एक सामान्य वितरण है। मैं अपने मूल पोस्ट में इसका उल्लेख करना भूल गया।

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

— AGK

@AGK यदि आप अपनी पोस्ट को स्पष्ट करना चाहते हैं, तो एक "संपादन" बटन है जो आपको परिवर्तन करने देता है। यह भविष्य के पाठकों के लिए बेहतर है, जिन्हें तब सवाल के नीचे टिप्पणी में महत्वपूर्ण जानकारी देखने की ज़रूरत नहीं है।

— सिल्वर फिश

उम्मीद स्पष्ट रूप से चुकता पैमाने के कारकों के उत्पाद के लिए आनुपातिक है $\sigma_{11}\sigma_{22}$ । आनुपातिकता का स्तर चर को मानकीकृत करके प्राप्त किया जाता है, जो कम करता है $\Sigma$ सहसंबंध के साथ सहसंबंध मैट्रिक्स $\rho = \sigma_{12}/\sqrt{\sigma_{11}\sigma_{22}}$ ।

Bivariate सामान्यता मान लें, तो https://stats.stackexchange.com/a/71303 पर विश्लेषण के अनुसार हम चर बदल सकते हैं

X_{1} = X, X_{2} = ρ X + (\sqrt{1 - ρ^{2}}) Y

$X_1 = X,\ X_2 = \rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right) Y$

कहाँ पे $(X,Y)$ एक मानक (असंबंधित) सामान्य वितरण है, और हमें केवल गणना की आवश्यकता है

E (X^{2} (ρ X + (\sqrt{1 - ρ^{2}}) Y)^{2}) = E (ρ^{2} X^{4} + (1 - ρ^{2}) X^{2} Y^{2} + c X^{3} Y)

$\mathbb{E}\left(X^2 (\rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right) Y)^2\right) = \mathbb{E}(\rho^2 X^4 + (1-\rho^2)X^2 Y^2 + c X^3 Y)$

जहां स्थिरांक का सटीक मान है $c$ कोई फरक नहीं पडता। ( $Y$ पुनः प्राप्त करने पर अवशिष्ट है $X_2$ विरुद्ध $X_1$ ।) मानक सामान्य वितरण के लिए अविभाज्य अपेक्षाओं का उपयोग करना

E (X^{4}) = 3, E (X^{2}) = E (Y^{2}) = 1, E Y = 0

$\mathbb{E}(X^4)=3,\ \mathbb{E}(X^2) = \mathbb{E}(Y^2)=1,\ \mathbb{E}Y=0$

और यह देखते हुए $X$ तथा $Y$ कर रहे हैं स्वतंत्र पैदावार

E (ρ^{2} X^{4} + (1 - ρ^{2}) X^{2} Y^{2} + c X^{3} Y) = 3 ρ^{2} + (1 - ρ^{2}) + 0 = 1 + 2 ρ^{2} .

$\mathbb{E}(\rho^2 X^4 + (1-\rho^2)X^2 Y^2 + c X^3 Y) = 3\rho^2 + (1-\rho^2) + 0 = 1 + 2\rho^2.$

इससे गुणा करना $\sigma_{11}\sigma_{22}$ देता है

E (X_{1}^{2} X_{2}^{2}) = σ_{11} σ_{22} + 2 σ_{12}^{2} .

$\mathbb{E}(X_1^2 X_2^2) = \sigma_{11}\sigma_{22} + 2\sigma_{12}^2.$

यही विधि किसी भी बहुपद की अपेक्षा को खोजने के लिए लागू होती है $(X_1,X_2)$ , क्योंकि यह एक बहुपद बन जाता है $(X, \rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right)Y)$ और, जब विस्तार किया जाता है, तो स्वतंत्र रूप से वितरित चर में एक बहुपद होता है $X$ तथा $Y$ । से

E (X^{2 k}) = E (Y^{2 k}) = \frac{(2 k)!}{k! 2^{k}} = π^{- 1 / 2} 2^{k} Γ (k + \frac{1}{2})

$\mathbb{E}(X^{2k}) = \mathbb{E}(Y^{2k}) = \frac{(2k)!}{k!2^k} = \pi^{-1/2} 2^k\Gamma\left(k+\frac{1}{2}\right)$

अभिन्न के लिए $k\ge 0$ (समरूपता द्वारा शून्य के बराबर सभी विषम क्षणों के साथ) हम प्राप्त कर सकते हैं

E (X_{1}^{2 p} X_{2}^{2 q}) = (2 q)! 2^{- p - q} \sum_{i = 0}^{q} ρ^{2 i} (1 - ρ^{2})^{q - i} \frac{(2 p + 2 i)!}{(2 i)! (p + i)! (q - i)!}

$\mathbb{E}(X_1^{2p}X_2^{2q}) = (2q)!2^{-p-q}\sum_{i=0}^q \rho^{2i}(1-\rho^2)^{q-i}\frac{(2p+2i)!}{(2i)! (p+i)! (q-i)!}$

(शून्य के बराबर मोनोमियल की अन्य सभी अपेक्षाओं के साथ)। यह एक हाइपरोमेट्रिक फ़ंक्शन के लिए आनुपातिक है (लगभग परिभाषा के अनुसार: इसमें शामिल जोड़तोड़ गहरी या शिक्षाप्रद नहीं हैं),

\frac{1}{π} 2^{p + q} {(1 - ρ^{2})}^{q} Γ (p + \frac{1}{2}) Γ (q + \frac{1}{2})_{2} F_{1} (p + \frac{1}{2}, - q; \frac{1}{2}; \frac{ρ^{2}}{ρ^{2} - 1}) .

$\frac{1}{\pi} 2^{p+q} \left(1-\rho ^2\right)^q \Gamma \left(p+\frac{1}{2}\right) \Gamma \left(q+\frac{1}{2}\right) \, _2F_1\left(p+\frac{1}{2},-q;\frac{1}{2};\frac{\rho ^2}{\rho ^2-1}\right).$

हाइपरजोमेट्रिक फ़ंक्शन समय $\left(1-\rho ^2\right)^q$ नॉनज़रो के लिए गुणक सुधार के रूप में देखा जाता है $\rho$ ।

— व्हीबर
स्रोत

विस्तृत उत्तर के लिए धन्यवाद! मैं अन्य बहुपद के साथ संबंधित प्रश्नों के बारे में भी सोच रहा हूं, इसलिए यह वास्तव में मददगार ढांचा है। यह एक बहुत ही चतुर परिवर्तन है जो मैंने पहले नहीं देखा था। ठंडा!

— AGK

आपकी जांच में मदद करने के लिए, मैंने सामान्य बहुपद के लिए विवरण की आपूर्ति की है। जब मैं मूल रूप से इस उत्तर को लिख रहा था, तो मैं चकित था, यह महसूस करने के लिए कि मैंने फ्रीडमैन, पिसानी और Purves द्वारा प्राथमिक आँकड़े पाठ्यपुस्तक से यह परिवर्तन सीखा है: हम कॉलेज के नए लोगों को यह सिखाते हैं!

— whuber