क्या प्रकार I और II की त्रुटियां नकारात्मक रूप से सहसंबद्ध हैं?

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प्राथमिक सांख्यिकी वर्ग में मैं एक TA था, प्रोफेसर ने कहा कि एक प्रकार की त्रुटि के रूप में I त्रुटि बढ़ जाती है, एक प्रकार II त्रुटि की संभावना कम हो जाती है, और ऐक्रेस भी सही है। तो इससे मुझे पता चलता है कि । $\alpha$ $\beta$ $\rho_{\alpha, \beta} < 0$

लेकिन एक सामान्य परिकल्पना परीक्षण के लिए यह कैसे साबित होगा? क्या कथन सामान्य रूप से भी सही है?

मैं एक विशिष्ट मामले की कोशिश कर सकता हूं ( और ) , लेकिन जाहिर है, इस प्रश्न को संभालने के लिए यह सामान्य नहीं है। $H_0: \mu = \mu_0$ $H_1: \mu < \mu_0$

probability hypothesis-testing type-i-and-ii-errors

— बाजा बजानेवाला
स्रोत

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ये मात्राएं ( और ) यादृच्छिक चर नहीं हैं, इसलिए मैं उनके पियर्सन सहसंबंध की बात करने में संकोच करता हूं; मुझे यकीन नहीं है कि किस अर्थ में लागू होगा। $\alpha$ $\beta$

दो नकारात्मक अर्थों से संबंधित हैं, जो सामान्य रूप से बोलते हैं (लेकिन नीचे देखें *) - और अन्य चीजों को पकड़ना (जैसे नमूना आकार और प्रभाव आकार जिस पर आप गणना करते हैं ) बराबर - यदि आप बदलते हैं , तो विपरीत दिशा को आगे बढ़ाएगा (विशेषकर, विशिष्ट स्थितियों में, का एक कार्य है) , निर्धारित करने के लिए पर्याप्त मात्रा निर्दिष्ट करें और यह निर्भर करेगा - और यह रिश्ता सबसे उचित परिस्थितियों में - जिस तरह से आप 'वास्तविक परीक्षण में उपयोग करना चाहते हैं - नकारात्मक रूप से निर्भर)। $\beta$ $\alpha$ $\beta$ $\beta$ $\alpha$ $\beta$ $\alpha$

उदाहरण के लिए, कुछ पावर वक्र पर विचार करें। मूविंग शक्ति वक्र ( ) को ऊपर या उसके साथ नीचे धकेल देगा , इसलिए वक्र पर कुछ बिंदु पर (जो वक्र और 1 के बीच की दूरी है) के रूप में बढ़ जाती है। यहां एक उदाहरण दो-पूंछ वाले परीक्षण (एक टी-टेस्ट कहते हैं) के साथ है। $\alpha$ $1-\beta$ $\beta$ $\alpha$

यहाँ छवि विवरण दर्ज करें

एक-पूंछ वाला मामला समान है, लेकिन आप उपरोक्त चित्र के दाईं-आधे हिस्से पर ध्यान केंद्रित करेंगे (चित्र के बाएं आधे भाग में दो वक्र शून्य की ओर नीचे गिरेंगे)

* कुछ स्थितियाँ ऐसी होती हैं जहाँ ऐसा नहीं होना चाहिए। Kolmogorov-Smirnov परीक्षण के माध्यम से एक समान (0,1) के लिए परीक्षण पर विचार करें।

आइए इस संभावना पर विचार करें कि इसके बजाय हमारे पास एक समान है (या वास्तव में, यूनिट अंतराल के बाहर कुछ संभावना के साथ कोई वितरण)। $(0,1+\epsilon)$ $^\dagger$

यदि मैं एक मान का निरीक्षण करता हूं जो (0,1) में झूठ नहीं है, तो कोलमोगोरोव-स्मिर्नोव परीक्षण जरूरी नहीं कि अस्वीकार को खारिज कर दे। लेकिन मैं एक दूसरा परीक्षण कर सकता हूं, (चलो इसे केएस * परीक्षण कहते हैं), जो कि कोलमोगोरोव-स्मिरनोव की तरह है, सिवाय इसके कि जब हम बाहर एक मूल्य का निरीक्षण करते हैं (0,1) तो हम शून्य को भी अस्वीकार करते हैं कि क्या सामान्य आंकड़े हैं या नहीं महत्वपूर्ण मूल्य तक पहुँचता है।

फिर किसी भी विकल्प के लिए जिसकी बाहर की कोई संभावना है (0,1) हमने टाइप II त्रुटि दर (सामान्य केएस परीक्षण के लिए) को कम कर दिया है , बिल्कुल भी बिना बदले । $\alpha$

$\dagger$ (यह आमतौर पर उस मामले में केएस का उपयोग करने के लिए एक महान विचार नहीं है, इसलिए यदि आप जानते हैं कि यह एक संभावना है, तो आपको विकल्पों के बारे में सावधानी से सोचने की आवश्यकता है)

— Glen_b -Reinstate मोनिका
स्रोत

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चलो निरूपित घनत्व के साथ अवलोकन या के रूप में परिकल्पना अनुसार या सच है। Let और निर्णय क्षेत्रों को निरूपित करते हैं । इस प्रकार, , और निर्णय यह है कि सत्य iff । फिर, टाइप I और टाइप II त्रुटि संभावनाएं $X$ $f_0(x)$ $f_1(x)$ $H_0$ $H_1$ $\Gamma_0$ $\Gamma_1$ $\Gamma_0 \cap \Gamma_1 = \emptyset$ $\Gamma_0 \cup \Gamma_1 = \mathbb R$ $H_i$ $X \in \Gamma_i$

\begin{aligned} (1) & P (Type I error) & = \int_{Γ_{1}} f_{0} (x) d x \\ (2) & P (Type II error) & = \int_{Γ_{0}} f_{1} (x) d x . \end{aligned}

$\begin{align} P(\text{Type I error}) &= \int_{\Gamma_1}f_0(x)\,\mathrm dx\tag{1}\\ P(\text{Type II error}) &= \int_{\Gamma_0}f_1(x)\,\mathrm dx.\tag{2} \end{align}$ दो अन्य निर्णय क्षेत्रों पर विचार करें और ऐसे कि और । अब, चूंकि इंटीग्रल एक बड़े सेट पर है, जिसका अर्थ है कि नए निर्णय नियम में एक बड़ा प्रकार I त्रुटि संभावना है। लेकिन यह भी ध्यान दें कि क्योंकि इंटीग्रल एक छोटे से सेट पर है, और इसलिए नए निर्णय नियम में एक छोटी टाइप II त्रुटि संभावना है।

Γ_{0}^{'}

$\Gamma_0^\prime$

Γ_{1}^{'}

$\Gamma_1^\prime$

Γ_{1} \subset Γ_{1}^{'}

$\Gamma_1 \subset \Gamma_1^\prime$

Γ_{0}^{'} \subset Γ_{0}

$\Gamma_0^\prime \subset \Gamma_0$

\int_{Γ_{1}^{'}} f_{0} (x) d x \geq \int_{Γ_{1}} f_{0} (x) d x

$\int_{\Gamma_1^\prime}f_0(x)\,\mathrm dx \geq \int_{\Gamma_1}f_0(x)\,\mathrm dx$

\int_{Γ_{0}^{'}} f_{1} (x) d x \leq \int_{Γ_{0}} f_{1} (x) d x

$\int_{\Gamma_0^\prime}f_1(x)\,\mathrm dx \leq \int_{\Gamma_0}f_1(x)\,\mathrm dx$

— दिलीप सरवटे
स्रोत

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जिस रिश्ते को आप और बीच देख रहे हैं, वह उस गतिविधि के संबंध में सच है जो आप उस समय सोच रहे थे: परिकल्पना को स्वीकार करने या अस्वीकार करने के लिए आपके द्वारा उपयोग किए जाने वाले महत्वपूर्ण मूल्य को समायोजित करना। यदि आप एक झूठे-सकारात्मक को प्राप्त करना कठिन बनाते हैं, तो आपको स्वाभाविक रूप से एक झूठे-नकारात्मक को प्राप्त करना आसान बनाना होगा। यह वेबसाइट और बीच के संबंध को ग्राफिक रूप से दिखाती है । $\alpha$ $\beta$ $\alpha$ $\beta$

रिश्ता सभी गतिविधियों के लिए सही नहीं है। एक स्पष्ट उदाहरण के रूप में, यदि आप अपने परीक्षण में नमूनों की संख्या बढ़ाते हैं, तो आप एक साथ और को घटा सकते हैं। जब आप महत्वपूर्ण मूल्यों को समायोजित कर रहे हैं, तो रिश्ते की गारंटी है $\alpha$ $\beta$

— Cort Ammon
स्रोत

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"संबंध केवल है" - ऐसा लगता है कि आपके उत्तर का पूंछ अंत काट दिया गया था?

— सिल्वरफिश