मोंटे कार्लो नमूनाकरण के लिए मार्कोव श्रृंखला "सर्वश्रेष्ठ" नमूना आधारित है? क्या कोई वैकल्पिक योजनाएं उपलब्ध हैं?

Question

मार्कोव चेन मोंटे कार्लो मार्कोव श्रृंखलाओं पर आधारित एक विधि है जो हमें गैर-मानक वितरण से नमूने (एक मोंटे कार्लो सेटिंग में) प्राप्त करने की अनुमति देती है जिससे हम सीधे नमूने नहीं खींच सकते हैं।

मेरा सवाल है कि मोंटे कार्लो नमूनाकरण के लिए मार्कोव श्रृंखला "अत्याधुनिक" क्यों है। एक वैकल्पिक प्रश्न यह हो सकता है कि क्या मार्कोव चेन की तरह कोई अन्य तरीके हैं जिनका उपयोग मोंटे कार्लो के नमूने के लिए किया जा सकता है? मुझे पता है (साहित्य को देखने से कम से कम) कि MCMC की गहरी सैद्धांतिक जड़ें हैं (जैसे (ए) आवधिकता, एकरूपता और विस्तृत संतुलन के संदर्भ में), लेकिन आश्चर्य होता है कि मोंटे के लिए कोई "तुलनीय" संभाव्य मॉडल या तरीके हैं या नहीं। मार्को चेन के समान कार्लो का नमूना।

कृपया मुझे मार्गदर्शन करें यदि मैंने प्रश्न के कुछ भाग को भ्रमित किया है (या यदि यह पूरी तरह से भ्रमित लगता है)।

Answer 1

यह बताने का कोई कारण नहीं है कि MCMC नमूना "मोंटे कार्लो" का सबसे अच्छा तरीका है! आमतौर पर, यह आईड सैंपलिंग से विपरीत स्थिति में होता है, कम से कम इसके परिणामस्वरूप मोंटे कार्लो के अनुमानकों के विचरण के संदर्भ में

$$\frac{1}{T}\sum_{t=1}^T h(X_t)$$ दरअसल, जबकि यह औसत अपेक्षा के अनुरूप है $\mathbb{E}_{\pi}[h(X)]$ कब $\pi$ मार्कोव श्रृंखला का स्थिर और सीमित वितरण है $(X_t)_t$MCMC विधियों का उपयोग करने में कम से कम दो कमियां हैं:

1. श्रृंखला को "स्थिरता तक पहुंचने" की आवश्यकता है, जिसका अर्थ है कि इसे अपने शुरुआती मूल्य के बारे में भूलना होगा $X_0$। दूसरे शब्दों में,$t$ के लिए "काफी बड़ा" होना चाहिए $X_t$ से वितरित किया जाना है $\pi$। कभी-कभी "बड़े पर्याप्त" प्रयोग के लिए कंप्यूटिंग बजट परिमाण के कई आदेशों से अधिक हो सकते हैं।
2. मूल्य $X_t$ सहसंबद्ध हैं, जिसमें एक असममित विचरण शामिल है $$\text{var}_\pi(X)+2\sum_{t=1}^\infty\text{cov}_\pi(X_0,X_t)$$ जो आम तौर पर पार हो जाता है $\text{var}_\pi(X)$ और इसलिए एक आईड नमूने की तुलना में लंबे सिमुलेशन की आवश्यकता होती है।

यह कहा जा रहा है, एमसीएमसी उन सेटिंग्स को संभालने के लिए बहुत उपयोगी है जहां नियमित रूप से आईआईडी नमूनाकरण असंभव है या बहुत महंगा है और जहां महत्व नमूने को कैलिब्रेट करना काफी मुश्किल है, विशेष रूप से क्योंकि यादृच्छिक चर के आयाम को सिम्युलेटेड किया जाना है।

हालांकि, कण फिल्टर जैसे अनुक्रमिक मोंटे कार्लो तरीके गतिशील मॉडल में अधिक उपयुक्त हो सकते हैं, जहां डेटा फटने से आता है, जिसे तत्काल ध्यान देने की आवश्यकता होती है और थोड़ी देर के बाद गायब भी हो सकती है (अर्थात, संग्रहीत नहीं किया जा सकता है)।

अंत में, MCMC एक बहुत ही उपयोगी (और बहुत अधिक उपयोग किया जाने वाला) उपकरण है जो जटिल सेटिंग्स को संभालने के लिए है जहाँ नियमित मोंटे कार्लो समाधान विफल हो जाते हैं।

Answer 2

वितरण से यादृच्छिक मान उत्पन्न करने के कई तरीके हैं, McMC उनमें से एक है, लेकिन कई अन्य लोगों को मोंटे कार्लो विधियों (मार्कोव श्रृंखला भाग के बिना) भी माना जाएगा।

Univariate नमूनाकरण के लिए सबसे प्रत्यक्ष एक समान यादृच्छिक चर उत्पन्न करना है, फिर इसे उलटा CDF फ़ंक्शन में प्लग करें। यह बहुत अच्छा काम करता है अगर आपके पास उलटा सीडीएफ है, लेकिन परेशानी तब होती है जब सीडीएफ और / या इसके व्युत्क्रम को सीधे गणना करना मुश्किल होता है।

बहुभिन्नरूपी समस्याओं के लिए आप एक कोपुला से डेटा उत्पन्न कर सकते हैं, फिर उत्पन्न मूल्यों पर उलटा सीडीएफ विधि का उपयोग कर चर के बीच कुछ स्तर के सहसंबंध होते हैं (हालांकि सहसंबंध के स्तर को प्राप्त करने के लिए कोप्युला के सही मापदंडों को निर्दिष्ट करने के लिए अक्सर थोड़ी आवश्यकता होती है) परीक्षण त्रुटि विधि)।

अस्वीकृति नमूनाकरण एक अन्य दृष्टिकोण है जिसका उपयोग वितरण से डेटा उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है (यूनीवरेट या मल्टीवेरेट) जहां आपको सीडीएफ या इसके व्युत्क्रम को जानने की आवश्यकता नहीं है (और आपको घनत्व फ़ंक्शन के लिए सामान्य बनाने की आवश्यकता भी नहीं है), लेकिन यह कुछ मामलों में अत्यधिक अक्षम हो सकता है जिसमें बहुत समय लगता है।

यदि आप रैंडम पॉइंट्स के बजाय स्वयं उत्पन्न डेटा के सारांश में रुचि रखते हैं, तो महत्व नमूनाकरण एक और विकल्प है।

गिब्स नमूना जो कि McMC का एक रूप है नमूना आपको नमूना देता है जहाँ आप मल्टीवेरिएट वितरण के सटीक रूप को नहीं जानते हैं जब तक कि आप दूसरों को दिए गए प्रत्येक चर के लिए सशर्त वितरण जानते हैं।

वहाँ दूसरों के रूप में अच्छी तरह से कर रहे हैं, जो सबसे अच्छा है पर निर्भर करता है कि आप क्या जानते हैं और नहीं जानते हैं और विशिष्ट समस्या के अन्य विवरण। McMC लोकप्रिय है क्योंकि यह कई स्थितियों के लिए अच्छा काम करती है और कई अलग-अलग मामलों के लिए सामान्यीकरण करती है।