सहसंबंध की गैर-परिवर्तनशीलता: लिंग और मस्तिष्क के आकार के बीच और मस्तिष्क के आकार और बुद्धि के बीच संबंध, लेकिन लिंग और बुद्धि के बीच कोई संबंध नहीं है

Question

मुझे एक ब्लॉग पर निम्नलिखित स्पष्टीकरण मिला और मैं सहसंबंध की गैर-परिवर्तनशीलता के बारे में अधिक जानकारी प्राप्त करना चाहूंगा:

हमारे पास निम्नलिखित निर्विवाद तथ्य हैं:

• औसतन, पुरुषों और महिलाओं के बीच मस्तिष्क की मात्रा में अंतर होता है
• बुद्धि और मस्तिष्क के आकार के बीच एक संबंध है; सहसंबंध 0.33 है और इस प्रकार IQ की परिवर्तनशीलता के 10% से मेल खाता है

इन परिसरों 1 और 2 से, यह तार्किक रूप से इसका पालन करता है: महिलाओं की औसतन पुरुषों की तुलना में कम बुद्धि है। लेकिन यह एक गिरावट है! आंकड़ों में, सहसंबंध संक्रामक नहीं हैं। इसका प्रमाण यह है कि आपको केवल IQ परीक्षणों के परिणामों को देखने की आवश्यकता है, और वे बताते हैं कि पुरुषों और महिलाओं के IQ औसतन भिन्न नहीं होते हैं।

मैं सहसंबंध की इस गैर-परिवर्तनशीलता को थोड़ा और गहराई से समझना चाहूंगा।

यदि IQ और मस्तिष्क के आकार के बीच सहसंबंध 0.9 था (जो मुझे पता है कि यह (1) नहीं है), तो क्या यह अनुमान लगाया जाएगा कि पुरुषों की तुलना में औसतन महिलाओं का IQ कम है?

कृपया, मैं यहां IQ (और परीक्षण की सीमा), लिंगवाद, स्त्री रूढ़ि, अहंकार और इतने पर (2) के बारे में बात करने के लिए नहीं हूं। मैं सिर्फ पतन के पीछे के तर्क को समझना चाहता हूं।

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(1) जो मुझे पता है कि यह नहीं है: निएंडरथल में होमो सेपियन्स की तुलना में बड़ा दिमाग था, लेकिन होशियार नहीं थे;

(२) मैं एक महिला हूँ और कुल मिलाकर, मैं अपने आप को, या अन्य महिलाओं को पुरुषों की तुलना में कम स्मार्ट नहीं मानती, मैं IQ टेस्ट की परवाह नहीं करती, क्योंकि कौन सी गिनती लोगों का मूल्य है, और यह उस पर आधारित नहीं है बौद्धिक क्षमताएँ।

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फ्रेंच में मूल स्रोत :

एक घाव पर अंधाधुंध सुईट:

• il ya une différence de volume cérébral en moyenne entre hommes et femmes
• il ya une गलियारे में प्रवेश क्यूआई एट वॉल्यूम सेरेब्रल; la गलियारे का एस्ट 0.33 एट कॉनस्पॉन्डेंट donc à 10% de la varabilité

डी सेस प्राइमेसीस 1 एट 2, आईएल सेमीबल डेकोलर लॉगिकमेंट क्व: लेस फेमेंस ओनट एन मोयेन अन क्यूआई इन्फेरेयूर ऑक्स हॉम्स।

Mais c'est une erreur de raisonnement! एन स्टैटिस्टीक, लेस कॉरलाइज़ेशन न सोंट प्स ट्रांसिटिटिज़। La preuve, c'est que pour en avoir le c netur net, il suffit de resper les résultats des test de QI, et Ceux-ci montrent que les QI des hommes et des desmes ne diffèrent pas en moyenne।

Comments

मुझे समझ में नहीं आता है कि इन बयानों का सहसंबंध के साथ कुछ भी कैसे करना है (और इस संदर्भ में "संवेदनशीलता" का उल्लेख पूरी तरह से अनुचित लगता है)। निष्कर्ष, आखिरकार, एक अंतर अंतर के साथ करना है। वह आँकड़ा (जो पहला क्षण है) पूरी तरह से सहसंबंध से स्वतंत्र है (जो दूसरे क्षण से लिया गया है)। यहां तक ​​कि जब सहसंबंध एक परिपूर्ण कोई भी पहले चर के साधनों के अंतर के आधार पर दूसरे चर के साधनों के अंतर के बारे में कोई निष्कर्ष नहीं निकाल सकता है। $\pm 1$

— व्हीबर

एक दिखा सकता है (लैंगफोर्ड, श्वेर्टमैन, और ओवेन्स (2001)) कि सकारात्मक सहसंबंध क्षणिक है अगर चुकता सहसंबंधों का योग 1 से अधिक है: $\rho_{XY}^2+\rho_{YX}^2 >1 \implies \rho_{XZ}>0$

— क्लोजटोक

@ वाउचर: हाँ, लेकिन यह एक्स और वाई के साधन (मस्तिष्क के आकार और आईक्यू) के बीच के रिश्ते के बारे में नहीं है, यह दो अलग-अलग समूहों में वाई के साधनों के बीच के रिश्ते के बारे में सवाल है ... मुझे लगता है कि यह स्पष्ट है कि अगर मस्तिष्क के आकार और IQ के बीच संबंध सही है (यानी बुद्धि मस्तिष्क के आकार का एक रैखिक कार्य है) और यदि मस्तिष्क का आकार पुरुषों और महिलाओं के बीच भिन्न होता है, तो इसका मतलब है कि IQ पुरुषों और महिलाओं के बीच भिन्न होता है।

— अमीबा का कहना है कि मोनिका

@Amoeba उस व्याख्या के लिए धन्यवाद। उद्धरण समझ में आने लगता है (अंत में!)। लेकिन इसे "सहसंबंध की संवेदनशीलता" के रूप में संदर्भित करने के लिए इतना अस्पष्ट है कि स्पष्ट रूप से भ्रामक है। (वाक्यांश मूल फ्रेंच में वहाँ है, तो हम भी अनुवाद दोष नहीं दे सकते।)

— whuber

@ यामोइबा यह प्रशंसनीय है। लेकिन मुझे लगता है कि आप वहां पहुंचने के लिए चीजों को काफी लंबा खींच रहे हैं! उद्धरण लिंग और मस्तिष्क के आकार के बीच के संबंध को "सहसंबंध" के रूप में चित्रित नहीं करता है - केवल दो समूहों के बीच के साधनों में अंतर के रूप में (जो कि सहसंबंध का एक मानक उपाय नहीं है, संयोग से)। लेकिन मुझे लगता है कि हम "सहसंबंध" को एक व्यापक अर्थ में "निर्भरता की कमी" या कुछ इस तरह से समझने वाले हैं।

— whuber

Answer 1

हाँ, यह अभी भी एक गिरावट होगी।

यहां चार अलग-अलग स्थितियों को दर्शाने वाला एक बहुत ही सरल आंकड़ा है। प्रत्येक मामले में लाल डॉट्स महिलाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, ब्लू डॉट पुरुषों का प्रतिनिधित्व करते हैं, क्षैतिज अक्ष मस्तिष्क के आकार का प्रतिनिधित्व करता है और ऊर्ध्वाधर अक्ष IQ का प्रतिनिधित्व करता है। मैंने सभी चार डेटासेट उत्पन्न किए जैसे:

• पुरुषों ( ) और महिलाओं ( 28 - इकाइयां मनमानी हैं) के बीच माध्य आकार में हमेशा समान अंतर होता है । ये जनसंख्या के साधन हैं, लेकिन यह अंतर किसी भी उचित नमूना आकार के साथ सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण होने के लिए काफी बड़ा है;$22$$28$

• पुरुषों और महिलाओं (दोनों ) के बीच माध्य IQ में हमेशा शून्य अंतर होता है , और लिंग और बुद्धि के बीच शून्य सहसंबंध भी होता है;$100$

• मस्तिष्क के आकार और IQ के बीच सहसंबंध की ताकत आंकड़े पर दिखाए अनुसार भिन्न होती है।

लिंग-संबंधी सह-संबंध में ऊपरी-बाएँ सबप्लॉट में (पुरुषों पर और महिलाओं पर अलग-अलग गणना की जाती है, फिर औसतन) , जैसे आपकी बोली में। ऊपरी-दाएं सबप्लॉट में समग्र सहसंबंध (पुरुषों और महिलाओं पर एक साथ) 0.3 है । ध्यान दें कि आपकी बोली निर्दिष्ट नहीं करती है कि 0.33 की संख्या क्या है। लिंग-बाएं सह-संबंध में निचले-बाएं सबप्लॉट में 0.9 है , जैसे आपके काल्पनिक उदाहरण में; निचले-दाएं सबप्लोट में समग्र सहसंबंध है$0.3$$0.3$$0.33$$0.9$ ।$0.9$

तो आपके पास सहसंबंध का कोई भी मूल्य हो सकता है, और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह समग्र या भीतर-समूह में गणना की गई है। सहसंबंध गुणांक जो भी हो, यह बहुत अच्छी तरह से संभव है कि लिंग और IQ के बीच शून्य सहसंबंध है और माध्य IQ में शून्य लिंग अंतर है।

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गैर-परिवर्तनशीलता की खोज

@Kjetil द्वारा सुझाए गए दृष्टिकोण के बाद, हमें संभावनाओं की पूरी जगह का पता लगाने दें। मान लीजिए आप तीन चर राशि और (व्यापकता की हानि के बिना) कि सहसंबंध लगता है के बीच एक्स 1 और एक्स 2 है एक > 0 और के बीच संबंध एक्स 2 और एक्स 3 है ख > 0 । सवाल यह है: x 1 और x 3 के बीच सहसंबंध λ का न्यूनतम संभावित सकारात्मक मान क्या है$x_1, x_2, x_3$$x_1$$x_2$$a>0$$x_2$$x_3$$b>0$$\lambda$$x_1$$x_3$? यह कभी कभी करता है सकारात्मक होने के लिए, या यह हमेशा शून्य हो सकता है?

सहसंबंध मैट्रिक्स है और यह एक गैर नकारात्मक निर्धारक है, यानी है घ ई टी आर = - λ 2 + 2 एक ख λ - ( एक 2 + ख 2 - 1 ) ≥ 0 , कि अर्थ λ के बीच झूठ करने के लिए है एक ख ±

$$\mathbf R = \left( \begin{array}{} 1&a&\lambda \\ a&1&b \\ \lambda &b&1 \end{array}\right)$$ $$\mathrm{det} \mathbf R = -\lambda^2 + 2ab\lambda - ( a^2+b^2-1) \ge 0,$$ $\lambda$यदि दोनों जड़ें सकारात्मक हैं, तोλकान्यूनतम संभव मूल्यछोटी जड़ के बराबर है (औरλको सकारात्मक होना चाहिए!)। यदि इन दोनों जड़ों के बीच शून्य है, तो $$ab \pm \sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}.$$ $\lambda$$\lambda$$\lambda$ शून्य हो सकता है।

हम इसे संख्यात्मक रूप से हल कर सकते हैं और विभिन्न a और b के लिए का न्यूनतम संभव सकारात्मक मान प्लॉट कर सकते हैं :$\lambda$$a$$b$

अनौपचारिक रूप से, हम कह सकते हैं कि सह-संबंध होगा सकर्मक अगर यह देखते हुए कि और ख > 0 , एक है कि निष्कर्ष निकाल सकता है λ > 0 । हम देखते हैं कि अधिकांश मानों के लिए a और b , λ शून्य हो सकते हैं, जिसका अर्थ है कि सहसंबंध गैर-संक्रामक हैं। हालांकि, ए और बी के कुछ पर्याप्त उच्च मूल्यों के लिए , सहसंबंध λ को सकारात्मक होना चाहिए , जिसका अर्थ है कि सभी के बाद "कुछ हद तक सकारात्मकता " है, लेकिन केवल बहुत उच्च सहसंबंधों तक सीमित है। ध्यान दें कि दोनों सह-संबंध एक और$a>0$$b>0$$\lambda>0$$a$$b$$\lambda$$a$$b$$\lambda$ $a$$b$ ऊँचा होना है।

हम इस "संक्रामिता" के लिए एक सटीक हालत बाहर काम कर सकते हैं: जैसा कि ऊपर उल्लेख, छोटे जड़ सकारात्मक होना चाहिए, यानी है, जो के बराबर हैएक2+ख2>1। यह एक वृत्त का एक समीकरण है! और वास्तव में, यदि आप ऊपर दिए गए आंकड़े को देखते हैं, तो आप देखेंगे कि नीला क्षेत्र एक वृत्त का एक चौथाई भाग बनाता है।$ab - \sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}>0$$a^2+b^2>1$

अपने विशिष्ट उदाहरण में, लिंग और मस्तिष्क के आकार के बीच संबंध काफी मध्यम है (शायद ) और मस्तिष्क के आकार और बुद्धि के बीच संबंध है ख = 0.33 जो दृढ़ता से नीले क्षेत्र के भीतर है (, एक 2 + ख 2 < 1 ) जिसका अर्थ है कि λ सकारात्मक, नकारात्मक या शून्य हो सकता है।$a=0.5$$b=0.33$$a^2+b^2<1$$\lambda$

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मूल अध्ययन से प्रासंगिक आंकड़ा

आप लिंग और दिमाग पर चर्चा करने से बचना चाहते थे, लेकिन मैं यह बताने में मदद नहीं कर सकता कि मूल लेख ( गुर एट अल। 1999 ) से पूर्ण आकृति को देखते हुए, कोई यह देख सकता है कि मौखिक बुद्धि स्कोर में कोई लिंग अंतर नहीं है, वहाँ है स्थानिक आईक्यू स्कोर में एक स्पष्ट और महत्वपूर्ण अंतर! उपप्लॉट डी और एफ की तुलना करें।

Comments

मुझे आपके द्वारा उत्पन्न किए गए उन भूखंडों से प्यार है। कागज से, इतना नहीं ...

— छायाकार

@AleksandrBlekh: सच्चाई बताने के लिए, मुझे यकीन नहीं है। "गर्मी के नक्शे"? "कंटूर प्लॉट" लेकिन रंगीन और बिना कंटूर के?

— अमीबा का कहना है कि मोनिका

धन्यवाद। यह साथ आ रहा है। लेकिन मुझे यह इंगित करने की अनुमति दें कि (1) आप वास्तव में प्रदर्शित नहीं करते हैं, भूखंडों के पहले सेट में, कि लिंग के साथ संबंध शून्य हैं; और (2) अंत में, हालांकि आप सहसंबंध की "परिवर्तनशीलता" पर चर्चा करते हैं, आपने अभी तक यह नहीं बताया है कि इस वाक्यांश से आपका क्या मतलब है। यह निश्चित रूप से सकर्मक संबंध का सामान्य गणितीय अर्थ नहीं है, इसलिए कुछ अन्वेषण सार्थक होगा। Btw (अंत में, आप पर चर्चा होना दिखाई देते हैं बजाय λ दूसरे शब्दों में, आप का विश्लेषण किया है। निरपेक्ष बल्कि सह-संबंध से भी संबंध।)$|\lambda|$$\lambda$

— whuber

@ शुभकर्ता: बहुत अच्छी टिप्पणी, धन्यवाद। (१) वास्तव में, लिंग का संबंध निर्माण से शून्य है! मुझे लगता है कि मुझे नमूना लोगों के बजाय जनसंख्या सहसंबंधों की रिपोर्ट करने के लिए इस आंकड़े को बदलना चाहिए। जैसा कि मैं स्वयं डेटा उत्पन्न कर रहा हूं, मेरा जनसंख्या मापदंडों पर पूरा नियंत्रण है। (२) सकारात्मकता से मेरा तात्पर्य अनौपचारिक रूप से है कि और y के बीच सकारात्मक सहसंबंध , और y और z का x और z के बीच एक सकारात्मक सहसंबंध है । मेरा कहना है कि यह आमतौर पर गलत है, लेकिन पर्याप्त रूप से मजबूत सहसंबंधों के लिए सही है। मैं संपादित करूंगा। (3) यदि एक और ख दोनों हैं ≥ 0 तो λ $x$$y$$y$$z$$x$$z$$a$$b$$\ge 0$ । $\lambda \ge 0$

— अमीबा का कहना है कि मोनिका

इस लंबे और अलग जवाब के लिए अमीबा धन्यवाद (और यहां तक ​​कि अतिरिक्त रूप से जोड़ा गया, बहुत स्वागत किया गया)! यह चीजों को स्पष्ट करता है! मेरे सांख्यिकीय अप्रशिक्षित मस्तिष्क के लिए अवधारणाएँ इतनी कठिन हैं और आपने समस्या पर प्रकाश डाला है! आपने अपना उत्तर पोस्ट करने के लिए जो समय लिया, उसके लिए बहुत बहुत धन्यवाद!

— मैगटुन

Answer 2

आइए हम को परिभाषित करते हैं और x 3 कुछ अन्य चर (जैसे मस्तिष्क की मात्रा) दोनों से संबंधित है। आइए मान लें कि cor ( x 1 , x 2 ) = λ $x_1=\text{IQ}, x_2=\text{gender}$$x_3$λ के लिए सबसे छोटा संभव मूल्य क्या है? एक सहसंबंध मैट्रिक्स सकारात्मक अर्ध-निश्चित होना चाहिए, इसलिए इसके निर्धारक को अप्रभावी होना चाहिए। असमानता देने के लिए इसका फायदा उठाया जा सकता है। हमें कोशिश करते हैं: सहसंबंध मैट्रिक्स है आर = ( 1 λ ρ λ 1 ρ ρ ρ 1 ) के निर्धारक तो हम गणना कर सकते हैं

$$\text{cor}(x_1, x_2)=\lambda, \\ \text{cor}(x_1,x_3)=\text{cor}(x_2, x_3)=\rho=0.9$$ $\lambda$
$$R=\begin{pmatrix} 1 & \lambda & \rho \\ \lambda & 1 & \rho \\ \rho & \rho & 1 \end{pmatrix}$$ $\rho$पहली पंक्ति के साथ विस्तार करके: जो असमानता पर ले जाया जाता ρ 2 ≤ λ + $$\det R = 1\cdot (1-\rho^2) - \lambda \cdot (\lambda-\rho^2) + \rho \cdot (\lambda \rho - \rho) \\ = 1-\lambda^2 -2\rho^2 + 2\lambda \rho^2 \ge 0,$$ । मूल्यρ=0.9सुराग के लिएλ≥0.62।$\rho^2 \le \frac{\lambda+1}{2}$$\rho=0.9$$\lambda \ge 0.62$

अपडेट करें:

$p=0.5$$\mu_1 = \text{E}(x_1 | x_2=1)$$\mu_0 = \text{E}(x_1 | x_2=0)$$\mu=\text{E}(x_1)$$\mu=0=\mu_1+\mu_0$$\mu_0 = -\mu_1$$x_1 \sim \text{N}(\mu=0, \sigma^2)$$x_2$$p=1/2$

$$\text{corr}(x_1, x_2) = \frac{\text{E}(x_1-\mu)\text{E}(x_2-p)}{\sigma \cdot \frac12} \\ = \frac{\Delta}{2\sigma}$$ $\Delta = \mu_1 - \mu_0 = 2\mu_1$$\sigma=10$$\Delta/20$IQ के अंतर के बारे में जानकारी गलत है! यह सच होगा यदि लिंग एक सतत चर था, जो स्पष्ट रूप से नहीं है। ध्यान दें कि यह तथ्य इस तथ्य से संबंधित है कि द्विपद वितरण के लिए, विचरण माध्य का एक फ़ंक्शन है (जैसा कि यह होना चाहिए, क्योंकि भिन्न होने के लिए केवल एक मुफ़्त पैरामीटर है)। हमने जो ऊपर किया है वह वास्तव में इसे सहसंयोजकता / सहसंबंध तक बढ़ा रहा है।

$\rho=0.33$$\lambda \ge -0.7822$$\lambda=0$

Comments

$\mathrm{cor}(x_1, x_2)\ge 0.62$$E(x_1)\geq E(x_2)$

+1 - लेकिन मुझे लगता है कि मेन्स और वुमेन आईक्यू के बीच संबंध का कॉन्सेप्ट कुछ उलझा हुआ है, क्योंकि आप कभी भी इस तरह के वैल्यू की गणना नहीं कर सकते।

— एंडी डब्ल्यू

पुरुषों और महिलाओं के आईक्यू के बीच संबंध का क्या मतलब है?

— अमीबा का कहना है कि मोनिका

हाँ, यह सही है @amoeba! मैंने अपने भ्रम को व्यक्त करने के लिए सही शब्दों का इस्तेमाल नहीं किया होगा (यह मुश्किल है क्योंकि मैं आँकड़ों का उपयोग नहीं कर रहा हूँ) लेकिन चर वास्तव में लिंग, बुद्धि और मस्तिष्क के आकार के हैं।

— मैगटुन

Answer 3

यह एक ऐसी स्थिति है जिसमें मैं प्रत्यक्ष प्रभाव और अप्रत्यक्ष प्रभावों को चित्रित करने के लिए पथ आरेखों का उपयोग करना पसंद करता हूं , और उन दो का समग्र संबंधों पर प्रभाव पड़ता है।

मूल विवरण के अनुसार हमारे नीचे एक सहसंबंध मैट्रिक्स है। मस्तिष्क के आकार का IQ के साथ लगभग 0.3 सहसंबंध है, महिला और IQ का एक दूसरे के साथ 0 सहसंबंध है। मैं महिला और मस्तिष्क के आकार के बीच नकारात्मक सहसंबंध को -0.3 तक भरता हूं (यदि मुझे अनुमान लगाना था कि यह उससे बहुत छोटा है, लेकिन यह दृष्टांत प्रयोजनों के लिए काम करेगा)।

       Brain  Female  IQ
 Brain   1
Female  -0.3    1
    IQ   0.3    0      1

यदि हम एक प्रतिगमन मॉडल फिट करते हैं जहां बुद्धि मस्तिष्क के आकार का एक कार्य है और महिला होने के नाते हम एक पथ आरेख के संदर्भ में इसका वर्णन कर सकते हैं। मैंने तीरों पर आंशिक प्रतिगमन गुणांक में भरा है, और बी नोड मस्तिष्क के आकार के लिए और एफ नोड महिला के लिए खड़ा है।

अब वह कितना पागल है - जब मस्तिष्क के आकार को नियंत्रित करने के लिए, इन सहसंबंधों को देखते हुए, महिला का आईक्यू के साथ सकारात्मक संबंध है। यह क्यों है, जब सीमांत संबंध शून्य है? रेखीय पथ आरेख ( राइट, 1934 ) के नियमों के अनुसार , हम मस्तिष्क के आकार और अप्रत्यक्ष प्रभाव को नियंत्रित करते हुए प्रत्यक्ष प्रभाव के कार्य के रूप में सीमांत सहसंबंध को विघटित कर सकते हैं:

$$\text{Total}_{\text{F},\text{IQ}} = \text{Direct}_{\text{F},\text{IQ}} + \text{Indirect}_{\text{F},\text{B},\text{IQ}}$$

$\text{Total}_{\text{F},\text{IQ}} = \text{Cor}(\text{F},\text{IQ})$

$$\begin{align} \text{Indirect}_{\text{F},\text{B},\text{IQ}} &= \text{Cor}(\text{F},\text{B}) \cdot \text{Cor}(\text{B},\text{IQ}|\text{F}) \\ -0.099 &= -0.3 \cdot 0.33 \end{align}$$

क्योंकि कुल प्रभाव शून्य है, हम जानते हैं कि प्रत्यक्ष प्रभाव को अप्रत्यक्ष प्रभाव के ठीक विपरीत संकेत और आकार होना चाहिए , इसलिए प्रत्यक्ष प्रभाव इस उदाहरण में 0.099 के बराबर होता है। अब, यहां हमारे पास एक ऐसी स्थिति है जब महिलाओं के अपेक्षित आईक्यू का आकलन करते हुए हमें दो अलग-अलग उत्तर मिलते हैं, हालांकि प्रश्न को निर्दिष्ट करते समय संभवतः वह नहीं जो आप शुरू में उम्मीद करते थे। जब केवल महिलाओं बनाम पुरुषों के सीमांत अपेक्षित बुद्धि का आकलन किया जाता है, तो अंतर शून्य है जैसा कि आपने इसे परिभाषित किया था (शून्य सहसंबंध होने से)। मस्तिष्क के आकार पर अपेक्षित अंतर सशर्तता का आकलन करते समय, महिलाओं में पुरुषों की तुलना में एक बड़ा IQ होता है।

आप इस उदाहरण में या तो मस्तिष्क के आकार और IQ (या महिला और मस्तिष्क के आकार के बीच छोटे सहसंबंध) के बीच बड़े सहसंबंधों को सम्मिलित कर सकते हैं, उनके जवाब में सीमा kjetil शो को देखते हुए। पूर्व में वृद्धि महिलाओं और पुरुषों के सशर्त IQ के बीच असमानता को महिलाओं के पक्ष में और भी अधिक कर देती है, उत्तरार्द्ध को कम करने से मतभेद छोटे हो जाते हैं।

Comments

यदि आप प्रदान की गई तस्वीर को देखते हैं, तो यह आईक्यू के साथ महिलाओं के मस्तिष्क की मात्रा के संबंध में सकारात्मक (और पुरुषों की तुलना में मजबूत) दिखाता है।

— एलेकोस पापाडोपोलोस

@Andy W मुझे यह मूर्खतापूर्ण सवाल पूछने में पूरी तरह शर्म आती है, लेकिन आपने नोड्स ग्राफ को खींचने के लिए किस सॉफ्टवेयर का उपयोग किया?

— मुगें

यह एक त्वरित नौकरी थी inkscape @mugen। अधिक समय लेते हुए मुझे लगता है कि मैं लेटेक्स और टिक्ज़ का उपयोग कर रहा हूं जो अच्छे हैं।

— एंडी डब्ल्यू

+1 क्या आप मुझे अपने दूसरे फॉर्मूले के पीछे सिद्धांत की ओर इशारा कर सकते हैं?

— --le

@AleksandrBlekh - राइट कागज़ जो मैं उद्धृत करता हूं वह सेमिनल सोर्स है। यहूदिया पर्ल अपनी कॉज़ेलिटी बुक में अधिक व्यापक टिप्पणी में चले गए , हालांकि सरल उपचार हैं। (रेखीय मॉडल के लिए डिकम्पोजिशन को अक्सर संरचनात्मक समीकरण मॉडलिंग पुस्तकों में सरसरी उपचार दिया जाता है।)

— एंडी डब्ल्यू

Answer 4

विशुद्ध रूप से अमूर्त गणितीय उत्तर देने के लिए, निरूपित करें $v$ मस्तिष्क की मात्रा और $q$बुद्धि सूचकांक। उपयोग$1$ पुरुषों को अनुक्रमित करने के लिए और $2$महिलाओं को अनुक्रमित करना। मान लेते हैं कि निम्नलिखित तथ्य हैं:

$$E(v_1) > E(v_2) = \beta E(v_1), 0< \beta <1, \;\; \rho(v_1,q_1) >0, \;\; \rho(v_2,q_2)>0 \tag{1}$$

Note that while the quoted text talks about "correlation between brain volume and IQ" in general, the supplied image makes a distinction with the two trend-lines (i.e. it shows the correlation for the two subgroups separately). So we consider them separately (which is the correct way to go).

Then

$$\rho(v_1,q_1) >0 \Rightarrow {\rm Cov}(v_1,q_1)>0 \Rightarrow E(v_1q_1) > E(v_1)E(q_1)$$

$$\Rightarrow \frac {E(v_1q_1)}{E(q_1)} > E(v_1) \tag{2}$$

and

$$\rho(v_2,q_2) >0 \Rightarrow {\rm Cov}(v_2,q_2)>0 \Rightarrow E(v_2q_2) > E(v_2)E(q_2)$$

$$\Rightarrow \frac {E(v_2q_2)}{\beta E(q_2)} > E(v_1) \tag{3}$$

Does the above obtained inequalities necessitate $E(q_1) > E(q_2)$??

To check this assume on the contrary that $E(q_1) = E(q_2) = \bar q \tag {4}$

Then it must be the case that

$$(2),(4) \Rightarrow \frac {E(v_1q_1)}{\bar q} > E(v_1) \tag{5}$$

and that

$$(3),(4) \Rightarrow \frac {E(v_2q_2)}{\beta \bar q} > E(v_1) \tag{6}$$

Well, it certainly can be the case, that inequalities $(5)$ and $(6)$ hold at the same time, and so "equal IQ on average" is perfectly compatible with the initial assumptions that we took as facts.
In fact it could very well happen that we could have a higher average IQ from women than for men, for the same set of facts in $(1)$.

In other words, the correlation assumptions/facts in $(1)$ do not impose any constraint whatsoever about the relation between average IQ's at all. All possible relation between $E(q_1)$ and $E(q_2)$ may hold, and be compatible with the assumptions in $(1)$.

Comments

Despite all the calculations shown here, I still do not see how correlation reveals anything at all (or imposes any constraints whatsoever) concerning relationships between mean values.

— whuber

@whuber The whole answer is about showing that it doesn't. The last sentences say exactly that. Let's add one more to that effect.

— Alecos Papadopoulos

But this is absolutely basic: one doesn't need an entire page of equations to show it! It suffices to observe that correlation coefficients are location-invariant, QED. Am I misinterpreting the question?

— whuber

@whuber With all due respect and no offense meant to anyone, but I fear that you are "misinterpreting" the knowledge level of the OP. Otherwise, the question would not have been posted.

— Alecos Papadopoulos

I would encourage you, then, to reflect on whether and how any reply that relies heavily on mathematical equations is appropriate for addressing posters who appear to be asking for elementary expositions of basic concepts. This is a subtle issue because sometimes that is exactly the right approach. Furthermore, the degree to which one uses mathematics--and how one expounds the mathematical ideas--can be a matter of taste. But IMHO this kind of reply is effective only when the mathematics is clear and consistently focused on an essential idea.

— whuber