मेडियन पूर्ण विचलन (एमएडी) और विभिन्न वितरणों के एसडी

Question

सामान्य रूप से वितरित डेटा के लिए, मानक विचलन और मंझला निरपेक्ष विचलन MAD से संबंधित हैं:$\sigma$$\text{MAD}$

$\sigma=\Phi^{-1}(3/4)\cdot \text{MAD}\approx1.4826\cdot\text{MAD},$

जहां मानक सामान्य बंटन के लिए संचयी बंटन फ़ंक्शन है।$\Phi()$

क्या अन्य वितरणों के लिए कोई समान संबंध है?

Comments

आपके मन में कौन सा वितरण हुआ?

— गंग -

कोई विशिष्ट वितरण नहीं। मैं बस कुछ अजीब आंकड़ों के सेट पर आता हूं, और मैं जानना चाहूंगा कि क्या निरंतर के मूल्यों की एक संभावित सीमा है ...

— vic

हां, कई वितरणों के लिए - लेकिन संख्या अलग हैं।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

यदि आप उन मानों की संभावित सीमा जानना चाहते हैं जो MAD को SD में बदल सकते हैं, तो प्रश्न में यह क्यों नहीं पूछा गया?

— Glen_b -Reinstate मोनिका

कृपया समझाएं कि "एमएडी" क्या है: इसमें एक से अधिक पारंपरिक अर्थ हैं! (और उन दोनों को सामान्य वितरण के लिए एक ही मान देते हैं।)

— whuber

Answer 1

टिप्पणियों में प्रश्न को संबोधित करने के लिए:

मैं जानना चाहूंगा कि क्या स्थिरांक के मूल्यों की संभावित सीमा है

(मुझे लगता है कि सवाल मंझले से औसतन विचलन के बारे में है।)

1. एसडी से एमएडी का अनुपात मनमाने ढंग से बड़ा किया जा सकता है।

   एसडी को एमएडी के दिए गए अनुपात के साथ कुछ वितरण लें। निर्धारित वितरण के मध्य को पकड़ो (जिसका अर्थ है कि एमएडी अपरिवर्तित है)। पूंछ को और बाहर ले जाएं। एसडी बढ़ता है। इसे दिए गए किसी भी परिमित बाउंड से परे रखें।$50\%+\epsilon$

2. एसडी से एमएडी के अनुपात को आसानी से M के पास बनाया जा सकता है (उदाहरण के लिए) द्वारा वांछित डाल के रूप में25%+εपर±1और50%-2ε0 पर।$\sqrt{\frac{1}{2}}$$25\%+\epsilon$$\pm 1$$50\%-2\epsilon$

   मुझे लगता है कि यह जितना छोटा होगा उतना छोटा होगा।

Comments

"पागल" की अपनी व्याख्या है मंझला निरपेक्ष विचलन से मतलब या से मंझला (जो अक्सर इस्तेमाल किया और शीआन के जवाब में स्पष्ट रूप से व्याख्या है है)?

— whuber

@ शुभकर्ता - स्पष्ट होना महत्वपूर्ण है, धन्यवाद। जैसा कि शीआन के पास है, मैं इसे मंझले से व्याख्या कर रहा हूं। (क्या मैंने कहीं त्रुटि की है?)

— Glen_b -Reateate Monica

I didn't see any error--it just wasn't clear either in the question or your answer which interpretation was intended (although with some analysis a reader could figure out which one you are using). I recall seeing a question about the deviation-from-mean interpretation only a few weeks ago.

— whuber

Answer 2

For any given distribution with density $f(x;\theta)$, the median absolute deviation is given by $\text{MAD}_\theta=G^{-1}_\theta(1/2)$ where $G_\theta$ is the cdf of $|X-\text{MED}_\theta|$ and $\text{MED}_\theta=F^{-1}_\theta(1/2)$ where $F_\theta$ is the cdf of $X$.

1. In cases when $\theta=\sigma$, i.e., when the standard deviation is the only parameter, $\text{MAD}_\theta$ is therefore a deterministic function of $\sigma$.
2. In cases when $\theta=(\mu,\sigma)$ and $\mu$ is a location parameter, i.e., when $$f(x;\theta)=g(\{x-\mu\}/\sigma)/\sigma$$ Then the distribution of $|X-\text{MED}_\theta|$ is the same as the distribution of $|\{X-\mu\}-\{\text{MED}_\theta-\mu\}|$, and hence is independent from $\mu$. Therefore $G_\theta$ only depends on $\sigma$ and $\text{MAD}_\theta$ is again a deterministic function of $\sigma$.