आश्रित चर के योग का अर्थ कैसे पता चलता है?

Question

मुझे पता है कि स्वतंत्र चर के योग का मतलब प्रत्येक स्वतंत्र चर के साधनों का योग है। क्या यह निर्भर चर पर भी लागू होता है?

Comments

@ Faetwet, केवल "धन्यवाद" को निकालना वास्तव में महत्वपूर्ण नहीं है कि 18 महीने पहले से एक धागा टकरा जाए। एफडब्ल्यूआईडब्ल्यू, मैंने इस संपादन को अस्वीकार करने के लिए मतदान किया (लेकिन 2 अन्य ने मंजूरी दे दी, इसलिए आपने अन्यथा मेरी टिप्पणी नहीं देखी होगी)।

— गुंग - को पुनः स्थापित मोनिका

@gung - "सक्रिय" प्रश्न दृश्य के साथ सभी प्रकार के सामान गड़बड़ कर सकते हैं। आपका अवलोकन अक्सर किया गया है, और AFAIK द स्टैक एक्सचेंज नीति यह है कि उस खामी के बावजूद, वैध मामूली संपादन एक अच्छी बात है ।

— फीटवेट

@ Faetwet, मुझे यकीन नहीं है कि एक मेटा.फ़ोटोग्राफ़ी पोस्ट कितनी प्रासंगिक है। प्रत्येक एसई साइट की अपनी मेटा है, और समुदाय द्वारा तय की गई अपनी नीतियां हैं। आप प्रासंगिक मेटा.सीवी थ्रेड्स को देखना चाहते हैं, उदाहरण के लिए, यह एक: पोस्ट करने के लिए "सुझाए गए संपादन" को संभालना । आप जेफर एटवुड के उद्धरणों पर ध्यान दे सकते हैं, "छोटे संपादन [एस], जैसे ... किसी पोस्ट से केवल प्रणाम को हटा देना ... उन्हें अस्वीकार करना, अत्यधिक पूर्वाग्रह के साथ", और ज़ोरान बिंदु बनाता है, "मेरी दहलीज जब से।" एक संपादन बहुत छोटा है, सवाल की उम्र से विपरीत है "।

— गुंग - को पुनः स्थापित मोनिका

@gung फोटोग्राफी पोस्ट मैं इस विषय पर एक महत्वपूर्ण और अधिक हाल ही में मेटा स्टैक एक्सचेंज क्यू एंड ए के लिंक को संदर्भित करता है । लेकिन अगर व्हिबर का 4 साल पुराना जवाब अभी भी क्रॉस वैलिडेटेड के लिए विहित है तो मैं सम्मान करता हूं कि आगे जा रहा हूं।

— फीटवेट

Answer 1

उम्मीद (मतलब लेने) एक रैखिक ऑपरेटर है ।

इसका मतलब यह है कि , अन्य बातों के अलावा, $\mathbb{E}(X + Y) = \mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(Y)$ किसी भी दो यादृच्छिक चर $X$ और $Y$ (जिसके लिए अपेक्षाएं मौजूद हैं) की परवाह किए बिना कि वे स्वतंत्र हैं या नहीं।

हम सामान्यीकरण कर सकते हैं (उदाहरण के द्वारा प्रेरण ) ताकि $\mathbb{E}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n \mathbb{E}(X_i)$ इतने लंबे समय के रूप में प्रत्येक उम्मीद $\mathbb{E}(X_i)$ मौजूद है।

तो हां, योग का मतलब वही है जो चर के आश्रित होने पर भी माध्य का योग है। लेकिन ध्यान दें कि यह विचरण के लिए लागू नहीं होता है! इसलिए जब $\mathrm{Var}(X + Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y)$ स्वतंत्र चरों, या यहाँ तक चर जो कर रहे हैं के लिए निर्भर लेकिन असहसंबद्ध , सामान्य सूत्र है $\mathrm{Var}(X + Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y) + 2\mathrm{Cov}(X, Y)$ जहां$\mathrm{Cov}$ हैसहप्रसरणचर की।

Answer 2

टी एल; डीआर:
यह मानते हुए कि, इसका मतलब एक अपेक्षित मूल्य है, और अपेक्षित मूल्य एक अभिन्न है, और इंटीग्रल्स में रकम के संबंध में रैखिकता संपत्ति है।

टीएस; डॉ:
जब से हम यादृच्छिक चर की राशि के साथ काम कर रहे हैं , उनमें से कई के एक समारोह, योग का मतलब की यानी ई ( वाई एन ) उनके लिए सम्मान के साथ है संयुक्त वितरण ( हम मानते हैं कि सभी साधन मौजूद हैं और परिमित हैं) एन आरवी के एक्स मल्टीवेरेट वेक्टर को अस्वीकार करते हैं, उनके संयुक्त घनत्व को एफ एक्स ( एक्स ) = एफ एक्स 1 , के रूप में लिखा जा सकता है । । । , $Y_n = \sum_{i=1}^n X_i$$E(Y_n)$$\mathbf X$$n$और उनके संयुक्त समर्थन डी=एस एक्स 1 ×। । । ×S X n असंवैधानिक सांख्यिकीविद् केकानून काउपयोग करते हुए हमारे पासकईअभिन्न अंग हैं$f_{\mathbf X}(\mathbf x)= f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)$$D = S_{X_1} \times ...\times S_{X_n}$

।

$$E[Y_n] = \int_D Y_nf_{\mathbf X}(\mathbf x)d\mathbf x$$

कुछ नियमितता शर्तों के तहत हम एक में एकाधिक अभिन्न विघटित कर सकते हैं -iterative अभिन्न:$n$

$$E[Y_n] = \int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}\Big[\sum_{i=1}^n X_i\Big]f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n$$

और इंटीग्रल की रैखिकता का उपयोग करके हम इसमें विघटित हो सकते हैं

$$= \int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n \; + ...\\ ...+\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_nf_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n$$

प्रत्येक -iterative इंटीग्रल के लिए हम एकीकरण के क्रम को फिर से व्यवस्थित कर सकते हैं ताकि, प्रत्येक में, बाहरी एकीकरण उस चर के संबंध में हो जो संयुक्त घनत्व के बाहर है। अर्थात्,$n$

$$\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n = \\\int_{S_{X_1}}x_1\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_2}}f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_2...dx_ndx_1$$

और सामान्य तौर पर

= ∫ एस

$$\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_j}}...\int_{S_{X_1}}x_jf_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_j...dx_n =$$ $$=\int_{S_{X_j}}x_j\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_{j-1}}}\int_{S_{X_{j+1}}}...\int_{S_{X_1}}f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_{j-1}dx_{j+1}......dx_ndx_j$$

हम एक-एक करके प्रत्येक में अभिन्न गणना के रूप में -iterative अभिन्न, हम "बाहर एकीकृत" एक चर और हम प्रत्येक चरण में अन्य चर के "संयुक्त सीमांत" वितरण प्राप्त (अंदर से शुरू)। प्रत्येक n -iterative अभिन्न इसलिए खत्म हो जाएगा के रूप में ∫ एस एक्स जे एक्स जे एफ एक्स जे ( एक्स जे ) घ एक्स जे ।$n$$n$$\int_{S_{X_j}}x_jf_{X_j}(x_j)dx_j$

हम सभी को एक साथ लाना

$$E[Y_n ] = E[\sum_{i=1}^n X_i] = \int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1}(x_1)dx_1 +...+\int_{S_{X_n}}x_nf_{X_n}(x_n)dx_n$$

लेकिन अब प्रत्येक सरल अभिन्न प्रत्येक यादृच्छिक चर का अपेक्षित मूल्य अलग-अलग है, इसलिए

= n Σ मैं = 1 ई ( एक्स मैं

$$E[\sum_{i=1}^n X_i] = E(X_1) + ...+E(X_n)$$ $$= \sum_{i=1}^nE(X_i)$$

ध्यान दें कि हमने कभी भी शामिल यादृच्छिक चर की स्वतंत्रता या गैर-स्वतंत्रता का आह्वान नहीं किया, लेकिन हमने उनके संयुक्त वितरण के साथ पूरी तरह से काम किया।

Comments

@ssdecontrol यह एक उत्थान है जिसकी मैं सराहना करता हूं, वास्तव में ।

— एलेकोस पापाडोपोलोस

पुनरावृत्त अभिन्न और वापस फिर से विस्तार अनावश्यक है। यह एक सरल तर्क को जटिल करता है। आप "टीएस; डीआर" अनुभाग को इसके अंतिम वाक्य के साथ बदल सकते हैं और एक अच्छा जवाब दे सकते हैं।

— whuber

@ डेब्यू डेढ़ साल बाद, यह अभी भी मुझसे बचता है (मेरा मतलब है, "उम्मीद ऑपरेटर की रैखिकता" तथ्य का उपयोग किए बिना, जो पहले से ही दूसरे जवाब से इस्तेमाल किया गया है)। कोई संकेत तो मैं इस सरल तर्क की ओर जवाब फिर से काम कर सकते हैं?

— एलेकोस पापाडोपोलोस

मुझे लगता है कि यह तर्क अतिश्योक्तिपूर्ण है। पूरे वाक्य की कुंजी अंतिम वाक्य में आपका अवलोकन है।

— whuber