2-क्रम टेलर श्रृंखला का उपयोग करते हुए त्रुटि का प्रसार

मैं जॉन राइस द्वारा एक पाठ, "गणितीय सांख्यिकी और डेटा विश्लेषण" पढ़ रहा हूं। हम रैंडम वैरिएबल के अपेक्षित मान और भिन्नता का अनुमान लगा रहे हैं । हम यादृच्छिक चर के अपेक्षित मान और विचरण की गणना करने में सक्षम हैं और हम संबंध जानते हैं । इसलिए, यह उम्मीद मूल्य और प्रसरण का अनुमान लगाने के संभव है के टेलर श्रृंखला विस्तार का उपयोग के बारे में । $Y$ $X$ $Y = g(X)$ $Y$ $g$ $\mu_X$

पृष्ठ 162 पर, वह 3 समीकरणों को सूचीबद्ध करता है।

1-ऑर्डर टेलर श्रृंखला विस्तार का उपयोग करके का अपेक्षित मूल्य । यह है: । यह मेरे प्रश्न में बाद में के रूप में संदर्भित किया जाता है । $Y$ $\mu_Y \approx g(\mu_X)$ $E(Y_1)$
1-ऑर्डर टेलर श्रृंखला विस्तार का उपयोग करके का विचरण । यह है: । यह मेरे प्रश्न में बाद में के रूप में संदर्भित किया जाता है । $Y$ $\sigma_Y^2 \approx \sigma_X^2 (g'(\mu_X))^2$ $Var(Y_1)$
2-ऑर्डर टेलर श्रृंखला विस्तार का उपयोग करके का अपेक्षित मूल्य । यह । यह मेरे प्रश्न में बाद में के रूप में संदर्भित किया जाता है । $Y$ $\mu_Y \approx g(\mu_X) + \frac12 \sigma_X^2 g''(\mu_X)$ $E(Y_2)$

ध्यान दें कि लिए दो अलग-अलग अभिव्यक्तियाँ $Y$ हैं क्योंकि हम टेलर श्रृंखला विस्तार में दो अलग-अलग आदेशों का उपयोग कर रहे हैं। समीकरण 1 और 2 में $Y_1 = g(X) \approx g(\mu_X) + (X-\mu_X)g'(\mu_X)$ । समीकरण 3 में $Y_2 = g(X) \approx g(\mu_X) + (X-\mu_X)g'(\mu_X) + \frac12 (X-\mu_X)^2 g''(\mu_X)$ ।

ध्यान दें कि विशेष रूप से लिए समीकरण $Var(Y_2)$ नहीं दिया गया है। बाद में, लेखक $Y_1$ (समीकरण 2) के विचरण के लिए समीकरण का उपयोग करता प्रतीत होता है , जब वास्तव में वह $Y_2$ (समीकरण 3) के अपेक्षित मूल्य की बात कर रहा होता है । यह का अर्थ लगता है $Var(Y_2) = Var(Y_1)$ ।

मैंने हाथ द्वारा गणना करने की कोशिश की है , और मुझे कुछ जटिल अभिव्यक्ति मिल रही है। यहाँ मेरा काम है (मैं रुक गया क्योंकि अंत में मुझे उम्मीद में पद मिल रहे हैं): $Var(Y_2)$ $X^3$

\begin{aligned} V a r (Y_{2}) & = E [(g (μ_{X}) + (X - μ_{X}) a + \frac{1}{2} (X - μ_{X})^{2} b - g (μ_{X}) - \frac{1}{2} σ_{X}^{2} b)^{2}] \\ = E [((X - μ_{X}) a + {(\frac{1}{2} (X - μ_{X})^{2} - \frac{1}{2} σ_{X}^{2}) b)}^{2}] \\ = E [(c a + {(\frac{1}{2} c^{2} - \frac{1}{2} σ_{X}^{2}) b)}^{2}] \\ = E [c^{2} a^{2} + c a (c^{2} - σ_{X}^{2}) b + \frac{1}{4} (c^{2} - σ_{X}^{2})^{2} b^{2}] \\ = E [(X^{2} - 2 X μ_{X} + μ_{X}^{2}) a^{2} + (X - μ_{X}) a ((X^{2} - 2 X μ_{X} + μ_{X}^{2}) - σ_{X}^{2}) b \\ + \frac{1}{4} ((X^{2} - 2 X μ_{X} + μ_{X}^{2}) - σ_{X}^{2})^{2} b^{2}] \end{aligned}

$\begin{aligned} Var(Y_2) &= E[( g(\mu_X) + (X-\mu_X)a + \frac12 (X-\mu_X)^2 b - g(\mu_X) - \frac12 \sigma_X^2 b )^2] \\ &= E\left[((X-\mu_X)a + \left(\frac12 (X-\mu_X)^2 - \frac12 \sigma_X^2)b\right)^2\right] \\ &= E\left[(ca + \left(\frac12 c^2 - \frac12 \sigma_X^2)b\right)^2\right] \\ & = E[c^2 a^2 + ca(c^2 - \sigma_X^2)b + \frac14(c^2-\sigma_X^2)^2 b^2] \\ & = E[(X^2 - 2X \mu_X + \mu_X^2)a^2 + (X-\mu_X)a((X^2 - 2X\mu_X + \mu_X^2) - \sigma_X^2)b \\ & + \frac14((X^2 - 2X\mu_X + \mu_X^2)-\sigma_X^2)^2 b^2] \end{aligned}$

ध्यान दें कि उपरोक्त समीकरणों में, , , और । क्या है ? $a = g'(\mu_X)$ $b = g''(\mu_X)$ $c = X-\mu_X$ $Var(Y_2)$

धन्यवाद।

self-study mathematical-statistics error

— jrand
स्रोत

आप पर क्यों रुक गए ? क्योंकि दूसरे क्रम सन्निकटन की द्विघात क्रिया है , अपने विचरण आम तौर पर के क्षणों शामिल होगी अप करने के लिए । तीसरा क्षण शून्य हो सकता है, लेकिन चौथा क्षण निश्चित रूप से प्रदर्शित होने वाला है और किसी भी चीज़ को रद्द नहीं किया जाना चाहिए।

X^{3}

$X^3$

X

$X$

X

$X$

2 \cdot 2 = 4

$2 \cdot 2 = 4$

— whuber

मान लिया जाये कि , हम की अनुमानित विचरण प्राप्त कर सकते हैं के दूसरे क्रम टेलर विस्तार का उपयोग के बारे में इस प्रकार है: $Y=g(X)$ $Y$ $g(X)$ $\mu_X=\mathbf{E}[X]$

\begin{array}{rcl} V a r [Y] & = & V a r [g (X)] \\ \approx & V a r [g (μ_{X}) + g^{'} (μ_{X}) (X - μ_{X}) + \frac{1}{2} g^{″} (μ_{X}) (X - μ_{X})^{2}] \\ = & (g^{'} (μ_{X}))^{2} σ_{X}^{2} + \frac{1}{4} (g^{″} (μ_{X}))^{2} V a r [(X - μ_{X})^{2}] \\ + g^{'} (μ_{X}) g^{″} (μ_{X}) C o v [X - μ_{X}, (X - μ_{X})^{2}] \\ = & (g^{'} (μ_{X}))^{2} σ_{X}^{2} + \frac{1}{4} (g^{″} (μ_{X}))^{2} E [(X - μ_{X})^{4} - σ_{X}^{4}] \\ + g^{'} (μ_{X}) g^{″} (μ_{X}) (E (X^{3}) - 3 μ_{X} (σ_{X}^{2} + μ_{X}^{2}) + 2 μ_{X}^{3}) \\ = & (g^{'} (μ_{X}))^{2} σ_{X}^{2} \\ + \frac{1}{4} (g^{″} (μ_{X}))^{2} (E [X^{4}] - 4 μ_{X} E [X^{3}] + 6 μ_{X}^{2} (σ_{X}^{2} + μ_{X}^{2}) - 3 μ_{X}^{4} - σ_{X}^{4}) \\ + g^{'} (μ_{X}) g^{″} (μ_{X}) (E (X^{3}) - 3 μ_{X} (σ_{X}^{2} + μ_{X}^{2}) + 2 μ_{X}^{3}) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \mathbf{Var}[Y] &=& \mathbf{Var}[g(X)]\\ &\approx& \mathbf{Var}[g(\mu_X)+g'(\mu_X)(X-\mu_X)+\frac{1}{2}g''(\mu_X)(X-\mu_X)^2]\\ &=& (g'(\mu_X))^2\sigma_{X}^{2}+\frac{1}{4}(g''(\mu_X))^2\mathbf{Var}[(X-\mu_X)^2]\\ & & +g'(\mu_X)g''(\mu_X)\mathbf{Cov}[X-\mu_X,(X-\mu_X)^2]\\ &=& (g'(\mu_X))^2\sigma_{X}^{2}+\frac{1}{4}(g''(\mu_X))^2\mathbf{E}[(X-\mu_X)^4-\sigma_{X}^{4}]\\ & & +g'(\mu_X)g''(\mu_X)\left(\mathbf{E}(X^3)-3\mu_X(\sigma_{X}^{2}+\mu_{X}^{2})+2\mu_{X}^{3}\right)\\ &=& (g'(\mu_X))^2\sigma_{X}^{2}\\ & & +\frac{1}{4}(g''(\mu_X))^2\left(\mathbf{E}[X^4]-4\mu_X\mathbf{E}[X^3]+6\mu_{X}^{2}(\sigma_{X}^{2}+\mu_{X}^{2})-3\mu_{X}^{4}-\sigma_{X}^{4}\right)\\ & & +g'(\mu_X)g''(\mu_X)\left(\mathbf{E}(X^3)-3\mu_X(\sigma_{X}^{2}+\mu_{X}^{2})+2\mu_{X}^{3}\right)\\ \end{eqnarray*}$

जैसा कि @whuber ने टिप्पणियों में बताया है, यह के तीसरे और चौथे केंद्रीय क्षणों का उपयोग करके थोड़ा साफ किया जा सकता है । एक केंद्रीय क्षण को रूप में परिभाषित किया गया है । ध्यान दें कि । इस नई संकेतन का उपयोग करते हुए, हमारे पास उस $X$ $\mu_k=\mathbf{E}[(X-\mu_X)^k]$ $\sigma_{X}^{2}=\mu_2$

V a r [Y] \approx (g^{'} (μ_{X}))^{2} σ_{X}^{2} + g^{'} (μ_{X}) g^{″} (μ_{X}) μ_{3} + \frac{1}{4} (g^{″} (μ_{X}))^{2} (μ_{4} - σ_{X}^{4})

$\mathbf{Var}[Y]\approx(g'(\mu_X))^2\sigma_{X}^{2}+g'(\mu_X)g''(\mu_X)\mu_3+\frac{1}{4}(g''(\mu_X))^2(\mu_4-\sigma_{X}^{4})$

— assumednormal
स्रोत

यह सही तरीका है, लेकिन क्या आप और बीच सहसंयोजक को शामिल करना नहीं ?

X - μ_{X}

$X-\mu_X$

(X - μ_{X})^{2}

$(X-\mu_X)^2$

— whuber

@whuber हां मैंने किया। यह बात बताने के लिए धन्यवाद। मैं जल्द ही इसे संपादित करूंगा।

— २१:४१ पर २१

आप दूसरे, तीसरे और चौथे केंद्रीय क्षणों, , , और संदर्भ में उत्तर लिखकर स्वयं को कुछ परेशानी से बचा सकते हैं । आपको ।

σ^{2}

$\sigma^2$

μ_{3}

$\mu_3$

μ_{4}

$\mu_4$

σ^{2} g^{'} (μ)^{2} + μ_{3} g^{'} (μ) g^{″} (μ) + \frac{1}{4} (μ_{4} - σ^{4}) g^{″} (μ)^{2}

$\sigma^2 g'(\mu )^2 + \mu_3 g'(\mu ) g''(\mu )+\frac{1}{4} \left(\mu_4-\sigma ^4\right) g''(\mu )^2$

— whuber

@ वृंद - मेरी क्षमायाचना। मुझे नहीं पता था कि आपके मूल पोस्ट में यह था। मैं अपने पद को नहीं हटा रहा हूँ, हालाँकि, टाइप करने में थोड़ा समय लगा।

— ग्रहण

@ मोम, व्हीबर: उत्तर और स्पष्टीकरण के लिए धन्यवाद।

— वृंद