क्षणों की विधि के पीछे तर्क क्या है?

क्यों "क्षणों की विधि" में, हम बिंदु अनुमानक खोजने के लिए जनसंख्या के क्षणों के लिए नमूना क्षणों की बराबरी करते हैं?

इसके पीछे तर्क कहाँ है?

intuition method-of-moments

यह अच्छा होगा यदि हम अपने समुदाय में इस एक से निपटने के लिए एक भौतिक विज्ञानी थे।

— मग

@ मेरी, मुझे भौतिक विज्ञान से कोई संबंध नहीं दिखता।

— अक्कल

@ अक्षल वे फिजिक्स में भी फंक्शन के क्षणों का उपयोग करते हैं, और यह हमेशा अच्छा होता है जब कोई बेहतर व्याख्या के लिए समानांतर बनाता है।

— मुगें

जैसा कि इस उत्तर में उल्लेख किया गया है , बड़ी संख्या का कानून एक नमूना क्षण द्वारा जनसंख्या के क्षण का अनुमान लगाने के लिए एक औचित्य (यद्यपि स्पर्शोन्मुख) प्रदान करता है, जिसके परिणामस्वरूप (अक्सर) सरल, सुसंगत आकलनकर्ता

— Glen_b -Reinstate Monon

पूरे विचार का उपयोग क्षणों का उपयोग करते हुए मापदंडों का प्रतिनिधित्व करने के लिए नहीं है? जैसे अगर आप पोइसन डिस्ट्रीब्यूशन के पैरामीटर का अनुमान लगाने की कोशिश करते हैं, तो इसका मतलब (पहला क्षण) पाकर आप इसे अपने पैरामीटर लैम्बडा के लिए एक अनुमानक के रूप में उपयोग कर सकते हैं।

— डेनिस 631

जवाबों:

पहचान और स्वतंत्र रूप से वितरित यादृच्छिक चर से वास्तविकताओं से युक्त एक नमूना एर्गोडिक है। ऐसे मामले में, "नमूना क्षण" आम वितरण के सैद्धांतिक क्षणों के लगातार अनुमानक हैं , यदि सैद्धांतिक क्षण मौजूद हैं और परिमित हैं। $n$

इस का मतलब है कि

\begin{matrix} (1) & {\hat{μ}}_{k} (n) = μ_{k} (θ) + e_{k} (n), e_{k} (n) \overset{p}{\to} 0 \end{matrix}

$\hat \mu_k(n) = \mu_k(\theta) + e_k(n), \;\;\; e_k(n) \xrightarrow{p} 0 \tag{1}$

तो हम इसी नमूना क्षण के साथ सैद्धांतिक क्षण की समानता से

{\hat{μ}}_{k} (n) = μ_{k} (θ) \Rightarrow \hat{θ} (n) = μ_{k}^{- 1} ({\hat{μ}}_{k} (n)) = μ_{k}^{- 1} [μ_{k} (θ) + e_{k} (n)]

$\hat \mu_k(n) = \mu_k(\theta) \Rightarrow \hat \theta(n) = \mu_k^{-1}(\hat \mu_k(n)) = \mu_k^{-1}[\mu_k(\theta) + e_k(n)]$

तो ( पर निर्भर नहीं करता है ) $\mu_k$ $n$

plim \hat{θ} (n) = plim [μ_{k}^{- 1} (μ_{k} (θ) + e_{k})] = μ_{k}^{- 1} (μ_{k} (θ) + plim e_{k} (n))

$\text{plim} \hat \theta(n) = \text{plim}\big[\mu_k^{-1}(\mu_k(\theta) + e_k)\big] = \mu_k^{-1}\big(\mu_k(\theta) + \text{plim}e_k(n)\big)$

= μ_{k}^{- 1} (μ_{k} (θ) + 0) = μ_{k}^{- 1} μ_{k} (θ) = θ

$=\mu_k^{-1}\big(\mu_k(\theta) + 0\big) = \mu_k^{-1}\mu_k(\theta) = \theta$

इसलिए हम ऐसा करते हैं क्योंकि हम अज्ञात मापदंडों के लिए निरंतर अनुमानक प्राप्त करते हैं।

— एलेकोस पापाडोपोलोस
स्रोत

e_{k} (n) \overset{p}{\to} 0

$e_k(n) \xrightarrow{p} 0$

@leaf संभावना सीमा

— Alecos पापाडोपौलोस

यदि यह संभावना सीमा के बजाय नियमित सीमा होती तो क्या होता?

— उपयोगकर्ता 31466

यह हमें बताएगा कि अनुमानक एक स्थिर हो जाता है, न कि यह संभावित रूप से एक को देता है। शायद आपको यादृच्छिक चर के अभिसरण के तरीकों को देखना चाहिए, विकिपीडिया का एक सभ्य परिचय है, en.wikipedia.org/wiki/Convergence_of_random_variables

— एलेकोस पापाडोपोलोस

μ_{k}

$\mu_k$

T (F) = \int t (x) d F (x)

$T(F) = \int t(x) \, {\rm d}F(x)$

F (x)

$F(x)$

F (x) = \int_{\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} \exp [- \frac{(u - μ)^{2}}{2 σ^{2}}] d u

$F(x) = \int_{\infty}^x \frac1{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\bigl[ - \frac{(u-\mu)^2}{2\sigma^2} \bigr] \, {\rm d}u$

F_{n} (x) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} 1 {x_{i} \leq x}

$F_n(x) = \frac 1n \sum_{i=1}^n 1\{ x_i \le x \}$

d F_{n} (x)

${\rm d}F_n(x)$

d F_{n} (x)

${\rm d}F_n(x)$

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} t (x_{i})

$\frac1n \sum_{i=1}^n t(x_i)$

T (\cdot)

$T(\cdot)$

F_{n} (x)

$F_n(x)$

F (x)

$F(x)$

— StasK
स्रोत

मैंने इसे "सादृश्य सिद्धांत" नहीं सुना है, लेकिन यह वास्तव में अक्सर इस्तेमाल किया जाने वाला अर्थमितीय विश्लेषण पैटर्न है: नमूना अनुमानक को प्लग करें जब भी आबादी पैरामीटर की आवश्यकता होती है लेकिन अज्ञात।

— अक्कल

@ अक्षल: "नमूना अनुमानक को प्लग करें जब भी जनसंख्या पैरामीटर की जरूरत है लेकिन अज्ञात है।" क्या इस दृष्टिकोण को केवल आँकड़े नहीं कहा जाता है?

— user603

@ user603: नहीं, नहीं। अन्य वैकल्पिक दृष्टिकोण हैं, और प्लू-इन अनुमानक खराब हो सकते हैं।

— kjetil b halvorsen