क्यों सामान्य वितरण का कुर्तोसिस 0 के बजाय 3 है

इस कथन से क्या तात्पर्य है कि एक सामान्य वितरण का कर्टोसिस 3 है। क्या इसका मतलब यह है कि क्षैतिज रेखा पर, 3 का मान चरम संभावना से मेल खाता है, अर्थात 3 सिस्टम का मोड है?

जब मैं एक सामान्य वक्र को देखता हूं, तो ऐसा लगता है कि केंद्र में शिखर होता है, उर्फ 0. पर। इसलिए कर्टोसिस 0 नहीं है और 3 क्यों है?

normal-distribution moments kurtosis

— विजेता
स्रोत

के रूप में @Glen_b लिखते हैं, "कुकुदता" गुणांक चौथे मानकीकृत पल के रूप में परिभाषित किया गया है:

यह इतना है कि सामान्य वितरण के लिए,

तो

। अतिरिक्त कुकुदताआमतौर पर से निरूपित किया

है

। ध्यान रखा जाना चाहिए क्योंकि कभी-कभी लेखक "कुर्टोसिस" लिखते हैं और उनका अर्थ है "अतिरिक्त कर्टोसिस"।

β_{2} = \frac{E [(X - μ)^{4}]}{(E [(X - μ)^{2}])^{2}} = \frac{μ_{4}}{σ^{4}}

${\beta_2=}\frac{\operatorname{E}[(X-{\mu})^4]}{(\operatorname{E}[(X-{\mu})^2])^2} {=} \frac{\mu_4}{\sigma^4}$

μ_{4} = 3 σ^{4}

$\mu_4 = 3\sigma^4$

β_{2} = 3

$\beta_2= 3$

γ_{2}

$\gamma_2$

γ_{2} = β_{2} (Normal) - 3

$\gamma_2 = \beta_2(\text{Normal}) -3$

— एलेकोस पापाडोपोलोस

पुन: मेरी पिछली टिप्पणी। अतिरिक्त कुकुदता गुणांक के लिए सही एक्सप्रेशन है

γ_{2} = β_{2} - β_{2} (Normal) = β_{2} - 3

$\gamma_2 = \beta_2 - \beta_2(\text{Normal}) = \beta_2 - 3$

— Alecos पापाडोपौलोस

कर्टोसिस निश्चित रूप से वह स्थान नहीं है जहां शिखर है। जैसा कि आप कहते हैं, कि पहले से ही मोड कहा जाता है।

कुर्टोसिस मानकीकृत चौथा क्षण है: यदि , चर हम पर है, तो जनसंख्या कुकुदता कि मानकीकृत चर की औसत चौथी शक्ति है देख रहे हैं की एक मानकीकृत संस्करण है; । नमूना कुर्तोसिस समान रूप से नमूना मूल्यों के एक मानकीकृत सेट की औसत चौथी शक्ति से संबंधित है (कुछ मामलों में यह एक कारक द्वारा बढ़ाया जाता है जो बड़े नमूनों में 1 पर जाता है)। $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$ $E(Z^4)$

जैसा कि आप ध्यान दें, यह चौथा मानकीकृत क्षण सामान्य यादृच्छिक चर के मामले में 3 है। जैसा कि एलेकोस टिप्पणियों में नोट करता है, कुछ लोग कर्टोसिस को रूप में परिभाषित करते हैं ; जिसे कभी-कभी अतिरिक्त कुर्तोसिस कहा जाता है (यह चौथा क्यूमुलेंट भी है)। Osis कुर्टोसिस ’शब्द को देखते समय आपको इस संभावना को ध्यान में रखना होगा कि विभिन्न लोग एक ही शब्द का उपयोग दो भिन्न (लेकिन निकट संबंधी) मात्राओं को संदर्भित करने के लिए करते हैं। $E(Z^4)-3$

कर्टोसिस को आमतौर पर चोटीदारता * के रूप में वर्णित किया जाता है (कहते हैं, चोटी कितनी तेजी से घुमावदार है - जो संभवतः "कुर्टोसिस" शब्द चुनने का इरादा था) या भारी-पूंछतापन (अक्सर लोग इसे मापने के लिए इसका उपयोग करने में क्या रुचि रखते हैं), लेकिन वास्तविक रूप से सामान्य चौथा मानकीकृत क्षण उन चीजों में से किसी को भी मापता नहीं है।

दरअसल, केंडल और स्टुअर्ट की पहली मात्रा काउंटरटेम्पल देती है जो बताती है कि उच्च कर्टोसिस जरूरी नहीं कि या तो उच्च शिखर (एक मानकीकृत चर में) या नटखट पूंछ (बल्कि इसी तरह से) कि तीसरे क्षण में बहुत से लोगों के साथ जुड़ा नहीं है सोचो यह करता है)।

हालांकि कई स्थितियों में दोनों के साथ जुड़े रहने की कुछ प्रवृत्ति होती है, जिसमें अधिक चरमता और भारी तनाव अक्सर देखा जाता है जब कुर्टोसिस अधिक होता है - हमें बस यह सोचकर सावधान रहना चाहिए कि यह जरूरी है।

कर्टोसिस और तिरछापन दृढ़ता से संबंधित हैं (कुर्तोसिस तिरछेपन के वर्ग की तुलना में कम से कम 1 अधिक होना चाहिए, कुर्तोसिस की व्याख्या कुछ आसान है जब वितरण लगभग सममित होता है।

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Darlington (1970) और मूर्स (1986) से पता चला कि कुकुदता की चौथी पल उपाय के बारे में "कंधे" प्रभाव परिवर्तनशीलता में है - , और Balanda और MacGillivray (1988) इस संदर्भ से संबंधित अस्पष्ट संदर्भ में इसके बारे में सोच (सुझाव है और इसे मापने के कुछ अन्य तरीकों पर विचार करें)। वितरण निकट के बारे में ध्यान केंद्रित किया गया है, तो , तो कुकुदता जबकि यदि वितरण से दूर फैला हुआ है, (जरूरी) है छोटे (जो एक साथ यह केंद्र और चाल संभावना में ढेर में पूंछ में लगते हैं इसे कंधों से दूर ले जाने के लिए), चौथे पल का कुर्तोसिस बड़ा होगा। $\mu\pm\sigma$ $\mu\pm\sigma$ $\mu\pm\sigma$

कर्टोसिस के बारे में पढ़ने के लिए डी कार्लो (1997) विकिपीडिया जैसे अधिक बुनियादी संसाधनों के बाद एक उचित प्रारंभिक स्थान है।

संपादित करें: मैं कुछ सामयिक पूछताछ देख रहा हूं कि क्या उच्च शिखर (0 के पास मूल्य) कुर्तोसिस को बिल्कुल प्रभावित कर सकते हैं। जवाब हां है, निश्चित रूप से यह कर सकता है। यह मामला है यह एक मानकीकृत चर का चौथा क्षण होने का परिणाम है - एक मानकीकृत चर के चौथे क्षण को बढ़ाने के लिए आपको स्थिर रखते हुए को बढ़ाना होगा । इसका मतलब यह है कि पूंछ में आगे बढ़ने की संभावना कुछ और के साथ अंदर होनी चाहिए $E(Z^4)$ $E(Z^2)$ $(-1,1)$ ); और इसके विपरीत - यदि आप 1 पर विचरण करते समय केंद्र में अधिक भार डालते हैं, तो आप पूंछ में कुछ बाहर भी डालते हैं।

[एनबी टिप्पणियों के रूप में चर्चा की यह एक सामान्य कथन के रूप में गलत है; कुछ अलग बयान की आवश्यकता है।]

विचरण को स्थिर रखने का यह प्रभाव कर्टोसिस की चर्चा से सीधे जुड़ा हुआ है क्योंकि डार्लिंगटन और मूर के पत्रों में "कंधों के बारे में भिन्नता" है। यह परिणाम कुछ हस्त-धारणा नहीं है, लेकिन एक सादा गणितीय तुल्यता है - कोई इसे कुतर्कों को गलत तरीके से प्रस्तुत किए बिना नहीं रख सकता है।

$(-1,1)$ $(-1,1)$

[संदर्भ में केंडल और स्टुअर्ट का मेरा समावेश इसलिए है क्योंकि उनकी कर्टोसिस की चर्चा इस बिंदु के लिए भी प्रासंगिक है।]

तो हम क्या कह सकते हैं? कुकुदता अक्सर एक उच्च चोटी के साथ और एक भारी पूंछ के साथ जुड़ा हुआ है, बिना होने या तो सूख होने के लिये। निश्चित रूप से पूंछ के साथ खेलकर कुर्तोसिस को उठाना आसान है (क्योंकि 1 एसडी से अधिक दूर जाना संभव है), फिर विचरण को स्थिर रखने के लिए केंद्र को समायोजित करना, लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि चोटी का कोई प्रभाव नहीं है; यह सुनिश्चित रूप से करता है, और कोई इसके बजाय ध्यान केंद्रित करके कुर्तोसिस में हेरफेर कर सकता है। कर्टोसिस बड़े पैमाने पर है, लेकिन न केवल पूंछ के भारीपन के साथ जुड़ा हुआ है - फिर से, कंधे के परिणाम के बारे में भिन्नता को देखें; कुछ भी नहीं है कि क्या कर्टोसिस देख रहा है, एक अपरिहार्य गणितीय अर्थ में।

संदर्भ

बालंदा, केपी और मैकगिलिव्रे, एचएल (1988),
"कर्टोसिस: ए क्रिटिकल रिव्यू।"
अमेरिकी सांख्यिकीविद् 42 , 111-119।

डार्लिंगटन, रिचर्ड बी (1970),
"इज़ कर्टोसिस रियली" पीकडनेस? "।
अमेरिकी सांख्यिकीविद् 24 , 19-22।

Moors, JJA (1986),
"कुर्टोसिस का अर्थ: डार्लिंगटन ने फिर से लिखा।"
अमेरिकी सांख्यिकीविद् 40 , 283-284।

डेकार्लो, एलटी (1997),
"कर्टोसिस के अर्थ और उपयोग पर।"
साइकोल। तरीके, 2 , 292-307।

केंडल, एमजी, और ए। स्टुअर्ट,
द एडवांस्ड थ्योरी ऑफ़ स्टेटिस्टिक्स ,
वॉल्यूम। 1, 3 एड।
(हाल के संस्करणों में स्टुअर्ट और ऑर्ड हैं)

— Glen_b -Reinstate मोनिका
स्रोत

0

$0$

3

$3$

कर्टोसिस पर वेस्टफॉल का लेख, कर्टोसिस को पीकडनेस के रूप में, 1905-2014 RIP विचार करने योग्य है। : यह एक peakedness उपाय लिंक यहाँ के रूप में कुकुदता के ज्ञान के प्रसार के लिए (दूसरों के भी ऊपर सूचीबद्ध के अलावा) DeCarlo की आलोचना ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC4321753

— Lil'Lobster

@ मुझे लगता है कि वेस्टफॉल उनके मामले को खत्म कर देता है। (लगभग) पूरी तरह से भारी पूंछ पर ध्यान केंद्रित करके, वह कड़ाई से गलत है। जबकि कर्टोसिस भारी पूंछ के साथ काफी मजबूती से जुड़ा हुआ है, कर्टोसिस भारी रूप से भारी पूंछ नहीं है (काउंटरटेक्मेन्स जहां भारी पूंछ कम कुर्तोसिस के साथ जाते हैं, वे आसानी से मिल जाते हैं, जैसा कि ऊपर दिए गए कुछ संदर्भों में शामिल है; वे भी बनाना आसान है)। कर्टोसिस शिखरता के साथ कम दृढ़ता से जुड़ा हुआ है लेकिन वहां अभी भी एक संघ है; जोर देकर कहा कि यह शिखरवाद नहीं है वह अपनी आलोचनाओं में बहुत दूर चला जाता है (इसी तरह की आलोचना उसके अपने निष्कर्षों पर लागू होती है)। ... ctd

— Glen_b -Reinstate मोनिका

Glen_b, आप और मैं दोनों को गणित पसंद है। यदि आप "मेरे मामले पर काबू पाने" के लिए मेरी आलोचना करने जा रहे हैं, तो कृपया मुझे अपना गणितीय तर्क दें जो पियर्सन के कुर्तोसिस को "शिखरता" से जोड़ता है।

— पीटर वेस्टफॉल

Gelen_b, आपकी टिप्पणी "इसका मतलब यह है कि पूंछ में आगे बढ़ने की संभावना मू + + सिग्मा और इसके विपरीत कुछ और के साथ होनी चाहिए - यदि आप 1 पर विचरण करते समय केंद्र में अधिक भार डालते हैं, तो आप कुछ भी करते हैं पूंछ में बाहर "झूठ है। यह नहीं होना चाहिए। आप म्यू + - सिग्मा स्थिरांक के अंदर संभाव्यता (वास्तव में संपूर्ण वितरण) रख सकते हैं और वितरण के कुछ पैरामीट्रिक परिवारों के भीतर अनन्तता के लिए कर्टोसिस को बढ़ा सकते हैं। यहां देखें: math.stackexchange.com/questions/167656/…

— पीटर वेस्टफॉल

यहां यह समझने के लिए एक प्रत्यक्ष दृश्य है कि संख्या "3" सामान्य वितरण के कर्टोसिस के संबंध में क्या कहती है।

चलो $X$ आम तौर पर वितरित किया जाता है, और चलो $Z = (X-\mu)/\sigma$ । चलो $V = Z^4$ । के पीडीएफ के ग्राफ पर विचार करें $V$ , $p_V(v)$ । यह वक्र शून्य के दाईं ओर है, और अनंत तक फैला हुआ है, जिसमें 0.999 मात्रात्मक 117.2 है, लेकिन द्रव्यमान का अधिकांश भाग शून्य के पास है; उदाहरण के लिए, 1.0 से 68% कम है।

इस वितरण का अर्थ कुर्तोसिस है। माध्य को समझने का एक सामान्य तरीका पीडीएफ ग्राफ के "संतुलन का बिंदु" है। अगर $X$ सामान्य है, यह वक्र $p_V(v)$ 3.0 पर संतुलन।

यह प्रतिनिधित्व यह भी बताता है कि कर्टोसिस एक वितरण की पूंछ के भारीपन को क्यों मापता है। अगर $X$ गैर-सामान्य है, वक्र $p_V(v)$ कुर्टोसिस 3.0 से अधिक होने पर "दाईं ओर गिरता है", और इस मामले में इसका घनत्व $X$ कहा जा सकता है "सामान्य वितरण की तुलना में भारी-पूंछ वाला"। इसी तरह, वक्र $p_V(v)$ कुर्टोसिस 3.0 से कम होने पर "बाईं ओर गिरता है", और इस मामले में इसका घनत्व $X$ कहा जा सकता है "सामान्य वितरण की तुलना में हल्का-पूंछ वाला।"

आमतौर पर यह माना जाता है कि उच्च कर्टोसिस केंद्र के पास अधिक द्रव्यमान को संदर्भित करता है (अर्थात, पीडीएफ में 0 के पास अधिक द्रव्यमान $p_V(v)$ )। जबकि कई मामलों में यह सच है, यह स्पष्ट रूप से शून्य के पास (संभवतः बढ़ा हुआ) द्रव्यमान नहीं है जो उच्च कर्टोसिस मामले में ग्राफ को "सही पर गिरने" का कारण बनता है। इसके बजाय पूंछ उत्तोलन है।

इस दृष्टिकोण से, कर्टोसिस की अनिवार्य रूप से सही "टेल वेट" व्याख्या को विशेष रूप से "टेल लीवर" के रूप में चित्रित किया जा सकता है ताकि "पूंछ में बढ़े हुए द्रव्यमान" के साथ "बढ़ी हुई पूंछ वजन" से बचने के लिए "पूंछ उत्तोलन" हो सके। आखिरकार, यह संभव है कि उच्च कुर्तोसिस पूंछ में कम द्रव्यमान से मेल खाती है, लेकिन जहां यह कम द्रव्यमान अधिक दूर की स्थिति में है।

"मुझे खड़े होने की जगह दो, और मैं पृथ्वी को हिला दूंगा।" -Archimedes

— पीटर वेस्टफॉल
स्रोत