जब विश्वास अंतराल और विश्वसनीय अंतराल के उदाहरण मिलते हैं

विश्वसनीय अंतराल पर विकिपीडिया लेख में , यह कहता है:

किसी एकल पैरामीटर और डेटा के मामले में, जिसे एक ही पर्याप्त आँकड़ा में संक्षेपित किया जा सकता है, यह दिखाया जा सकता है कि विश्वसनीय अंतराल और विश्वास अंतराल मेल खाएगा यदि अज्ञात पैरामीटर एक स्थान पैरामीटर है (अर्थात आगे की संभाव्यता फ़ंक्शन का रूप है Pr (x | μ) = f (x - μ)), एक पूर्व के साथ जो एक समान फ्लैट वितरण है; [५] और यह भी कि यदि अज्ञात पैरामीटर एक स्केल पैरामीटर है (यानी आगे की संभाव्यता फ़ंक्शन के पास Pr है (x) | s) = f (x / s)), जेफ़रीज़ के पूर्व [5] के साथ - बाद वाला क्योंकि इस तरह के स्केल पैरामीटर का लॉगरिदम एक समान वितरण के साथ एक स्थान पैरामीटर में बदल जाता है। लेकिन ये विशिष्ट रूप से विशेष (यद्यपि महत्वपूर्ण) मामले हैं; सामान्य तौर पर इस तरह की कोई समानता नहीं बनाई जा सकती है। "

क्या लोग इसके विशिष्ट उदाहरण दे सकते हैं? 95% CI वास्तव में "95% मौका" के अनुरूप है, इस प्रकार CI की सामान्य परिभाषा "उल्लंघन" है?

confidence-interval credible-interval

— वेन
स्रोत

सामान्य वितरण:

ज्ञात प्रसरण के साथ एक सामान्य वितरण लें। हम इस भिन्नता को सामान्यता खोए बिना 1 कर सकते हैं (केवल प्रत्येक अवलोकन को वर्गमूल के वर्गमूल से विभाजित करके)। इसका नमूना वितरण है:

p (X_{1} . . . X_{N} | μ) = {(2 π)}^{- \frac{N}{2}} \exp (- \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{N} (X_{i} - μ)^{2}) = A \exp (- \frac{N}{2} (\bar{X} - μ)^{2})

$p(X_{1}...X_{N}|\mu)=\left(2\pi\right)^{-\frac{N}{2}}\exp\left(-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}(X_{i}-\mu)^{2}\right)=A\exp\left(-\frac{N}{2}(\overline{X}-\mu)^{2}\right)$

जहाँ एक स्थिरांक है जो केवल डेटा पर निर्भर करता है। इससे पता चलता है कि नमूना माध्य जनसंख्या के लिए पर्याप्त आँकड़ा है। यदि हम पहले एक समान का उपयोग करते हैं, तो लिए पिछला वितरण होगा: $A$ $\mu$

(μ | X_{1} . . . X_{N}) \sim N o r m a l (\bar{X}, \frac{1}{N}) ⟹ (\sqrt{N} (μ - \bar{X}) | X_{1} . . . X_{N}) \sim N o r m a l (0, 1)

$(\mu|X_{1}...X_{N})\sim Normal\left(\overline{X},\frac{1}{N}\right)\implies \left(\sqrt{N}(\mu-\overline{X})|X_{1}...X_{N}\right)\sim Normal(0,1)$

तो विश्वसनीय अंतराल फॉर्म का होगा: $1-\alpha$

(\bar{X} + \frac{1}{\sqrt{N}} L_{α}, \bar{X} + \frac{1}{\sqrt{N}} U_{α})

$\left(\overline{X}+\frac{1}{\sqrt{N}}L_{\alpha},\overline{X}+\frac{1}{\sqrt{N}}U_{\alpha}\right)$

जहाँ और को ऐसे चुना जाता है कि एक मानक सामान्य रैंडम वेरिएबल संतुष्ट करता है: $L_{\alpha}$ $U_{\alpha}$ $Z$

P r (L_{α} < Z < U_{α}) = 1 - α

$Pr\left(L_{\alpha}<Z<U_{\alpha}\right)=1-\alpha$

अब हम विश्वास अंतराल के निर्माण के लिए इस "महत्वपूर्ण मात्रा" से शुरू कर सकते हैं। फिक्स्ड लिए का नमूना वितरण एक मानक सामान्य वितरण है, इसलिए हम इसे उपरोक्त संभावना में स्थानापन्न कर सकते हैं: $\sqrt{N}(\mu-\overline{X})$ $\mu$

P r (L_{α} < \sqrt{N} (μ - \bar{X}) < U_{α}) = 1 - α

$Pr\left(L_{\alpha}<\sqrt{N}(\mu-\overline{X})<U_{\alpha}\right)=1-\alpha$

तब को हल करने के लिए फिर से व्यवस्था करें , और विश्वास अंतराल विश्वसनीय अंतराल के समान होगा। $\mu$

स्केल पैरामीटर:

स्केल पैरामीटर्स के लिए, pdfs में फॉर्म । हम , जो से मेल खाती है । संयुक्त नमूना वितरण है: $p(X_{i}|s)=\frac{1}{s}f\left(\frac{X_{i}}{s}\right)$ $(X_{i}|s)\sim Uniform(0,s)$ $f(t)=1$

p (X_{1} . . . X_{N} | s) = s^{- N} 0 < X_{1} . . . X_{N} < s

$p(X_{1}...X_{N}|s)=s^{-N}\;\;\;\;\;\;\;0<X_{1}...X_{N}<s$

जिससे हम (अवलोकनों की बराबर पर्याप्त आँकड़ा पाते हैं । अब हम इसका नमूना वितरण पाते हैं: $X_{max}$

P r (X_{m a x} < y | s) = P r (X_{1} < y, X_{2} < y . . . X_{N} < y | s) = {(\frac{y}{s})}^{N}

$Pr(X_{max}<y|s)=Pr(X_{1}<y,X_{2}<y...X_{N}<y|s)=\left(\frac{y}{s}\right)^{N}$

अब हम लेकर इस पैरामीटर को स्वतंत्र बना सकते हैं । इसका अर्थ है कि हमारी " मात्रा" द्वारा जो कि वितरण है। इसलिए, हम ऐसे बीटा परिमाणों का उपयोग करके चुन सकते हैं : $y=qs$ $Q=s^{-1}X_{max}$ $Pr(Q<q)=q^{N}$ $beta(N,1)$ $L_{\alpha},U_{\alpha}$

P r (L_{α} < Q < U_{α}) = 1 - α = U_{α}^{N} - L_{α}^{N}

$Pr(L_{\alpha}<Q<U_{\alpha})=1-\alpha=U_{\alpha}^{N}-L_{\alpha}^{N}$

और हम मूल मात्रा को प्रतिस्थापित करते हैं:

P r (L_{α} < s^{- 1} X_{m a x} < U_{α}) = 1 - α = P r (X_{m a x} L_{α}^{- 1} > s > X_{m a x} U_{α}^{- 1})

$Pr(L_{\alpha}<s^{-1}X_{max}<U_{\alpha})=1-\alpha=Pr(X_{max}L_{\alpha}^{-1}>s>X_{max}U_{\alpha}^{-1})$

और हमारा आत्मविश्वास अंतराल है। पहले हमारे पास जेफ्री के साथ बायेसियन समाधान के लिए:

p (s | X_{1} . . . X_{N}) = \frac{s^{- N - 1}}{\int_{X_{m a x}}^{\infty} r^{- N - 1} d r} = N (X_{m a x})^{N} s^{- N - 1}

$p(s|X_{1}...X_{N})=\frac{s^{-N-1}}{\int_{X_{max}}^{\infty}r^{-N-1}dr}=N (X_{max})^{N}s^{-N-1}$

⟹ P r (s > t | X_{1} . . . X_{N}) = N (X_{m a x})^{N} \int_{t}^{\infty} s^{- N - 1} d s = {(\frac{X_{m a x}}{t})}^{N}

$\implies Pr(s>t|X_{1}...X_{N})=N (X_{max})^{N}\int_{t}^{\infty}s^{-N-1}ds=\left(\frac{X_{max}}{t}\right)^{N}$

अब हम विश्वास अंतराल में प्लग करते हैं, और इसकी विश्वसनीयता की गणना करते हैं

P r (X_{m a x} L_{α}^{- 1} > s > X_{m a x} U_{α}^{- 1} | X_{1} . . . X_{N}) = {(\frac{X_{m a x}}{X_{m a x} U_{α}^{- 1}})}^{N} - {(\frac{X_{m a x}}{X_{m a x} L_{α}^{- 1}})}^{N}

$Pr(X_{max}L_{\alpha}^{-1}>s>X_{max}U_{\alpha}^{-1}|X_{1}...X_{N})=\left(\frac{X_{max}}{X_{max}U_{\alpha}^{-1}}\right)^{N}-\left(\frac{X_{max}}{X_{max}L_{\alpha}^{-1}}\right)^{N}$

= U_{α}^{N} - L_{α}^{N} = P r (L_{α} < Q < U_{α})

$=U_{\alpha}^{N}-L_{\alpha}^{N}=Pr(L_{\alpha}<Q<U_{\alpha})$

और presto, हमारे पास विश्वसनीयता और कवरेज है। $1-\alpha$

— probabilityislogic
स्रोत

एक उत्कृष्ट कृति, धन्यवाद! मैं उम्मीद कर रहा था कि एक उत्तर की तरह हो सकता है, "जब एक सामान्य वितरण से नमूने के मतलब की गणना करते हैं, तो 95% सीआई वास्तव में 95% विश्वसनीय अंतराल" या ऐसा ही कुछ सरल है। (बस इस कथित उत्तर को बनाते हुए, मेरे पास विशिष्ट उदाहरणों के रूप में कोई सुराग नहीं है।)

— वेन

मेरा मानना है कि एक लगातार 95% भविष्यवाणी / सहिष्णुता अंतराल ओएलएस प्रतिगमन और सामान्य त्रुटियों के साथ एक बायेसियन भविष्यवाणी अंतराल से मेल खाती है। ऐसा तब प्रतीत होता है जब मैं किसी भी तरह से, किसी भी तरह के उत्तर के साथ predict.lm के उत्तर की तुलना करता हूं। क्या यह सच है?

— वेन

के लिए , तो आप के लिए एक समान से पहले का उपयोग करते हैं और के लिए पूर्व जेफ्रेय्स , तो आप तुल्यता की है।

Y = α + β X

$Y=\alpha+\beta X$

α, β

$\alpha,\beta$

σ

$\sigma$

— प्रोबेबिलिसलॉजिक

बहुत धन्यवाद! मैं एक कॉन्फिडेंस इंटरवल के संदर्भ में अपने द्वारा किए गए रिग्रेशन के लिए एक CI को समझाने की कोशिश कर रहा हूं, और यह बस एक आम आदमी के दर्शकों से नहीं जुड़ता है, जो एक विश्वसनीय इंटरवल की उम्मीद करता है। मेरे लिए जीवन को बहुत आसान बनाता है ... हालांकि यह समग्र सांख्यिकीय दुनिया के लिए बुरा है, क्योंकि यह सीआई के आम आदमी की गलतफहमी को मजबूत करेगा।

— वेन

@Wayne - स्थिति केवल स्थान पैमाने के परिवारों की तुलना में थोड़ी अधिक सामान्य है। आमतौर पर एक सीआई विश्वसनीय अंतराल के बराबर होगा, अगर यह "पर्याप्त सांख्यिकीय" (जैसा कि ये दोनों थे) पर आधारित है जहां यह मौजूद है। यदि कोई पर्याप्त आंकड़ा नहीं है, तो सीआई को विश्वसनीय अंतराल व्याख्या करने के लिए "सहायक आंकड़े" कहा जाता है।

— प्रोबेबिलिसलॉजिक