क्या इसका मतलब है = माध्य का अर्थ है कि एक असमान वितरण सममित है?

Question

एक असमान वितरण के लिए, यदि माध्य = माध्य है तो क्या यह कहना पर्याप्त है कि वितरण सममित है?

मीन और माध्य के बीच संबंध में विकिपीडिया कहता है :

"यदि वितरण सममित है तो माध्य माध्य के बराबर है और वितरण में शून्य तिरछापन होगा। यदि, इसके अलावा, वितरण असमान है, तो माध्य = माध्य = विधा है। यह सिक्के के टॉस का मामला है या श्रृंखला 1,2,3,4, ... ध्यान दें, हालांकि, यह समझदारी सामान्य रूप से सही नहीं है, अर्थात शून्य तिरछापन का मतलब यह नहीं है कि माध्य माध्य के बराबर है। "

हालांकि, मुझे जो जानकारी चाहिए, उसे चमकाने के लिए यह (मेरे लिए) बहुत सीधा नहीं है। कोई मदद कृपया।

Answer 1

यहाँ एक छोटा सा प्रतिरूप है जो सममित नहीं है: -3, -2, 0, 0, 1, 4 मोड = माध्य = माध्य = 0 के साथ एक-एक है।

संपादित करें: एक भी छोटा उदाहरण -2, -1, 0, 0, 3 है।

यदि आप नमूने के बजाय एक यादृच्छिक चर की कल्पना करना चाहते हैं, तो समर्थन को {-2, -1, 0, 3} के रूप में ले लें, प्रायिकता द्रव्यमान फ़ंक्शन 0.2 के साथ उन सभी पर 0 को छोड़कर जहां यह 0.4 है।

Comments

मेरा मानना ​​है कि -2, -1, 0, 0, 3 "सबसे छोटा" असतत प्रतिरूप है: हमें एक मोड बनाने के लिए दो समान मूल्यों की आवश्यकता होती है, एक तीसरा अलग मूल्य जोड़ने से माध्य बराबर करने से रोका जा सकता है, और एक चौथा मान केवल बहाल कर सकता है मतलब समरूपता को बहाल करके मंझले की बराबरी करना। मुझे यह भी संदेह है कि ये संख्या "सबसे छोटी" (0 के करीब) पूर्णांक संभव है, क्योंकि 3 सबसे छोटी पूरी संख्या है जिसे हम दो अलग-अलग पूर्ण संख्याओं के योग के रूप में लिख सकते हैं। डिस्टिक्ट महत्वपूर्ण है, जैसा कि -1, -1, 0, 0, 2 अब असमान नहीं होगा! स्वाभाविक रूप से, हम इस संपत्ति के साथ एक नया डेटा सेट प्राप्त करने के लिए पैमाने और अनुवाद कर सकते हैं।

— सिल्वर फिश

Answer 2

यह एक टिप्पणी के रूप में शुरू हुआ, लेकिन बहुत लंबा हो गया; मैंने इसे एक उत्तर के रूप में बनाने का फैसला किया।

एलेक्सिस का ठीक उत्तर तात्कालिक प्रश्न से संबंधित है (संक्षेप में: i। कि तार्किक रूप से अर्थ ! और ii। उलटा कथन वास्तव में सामान्य रूप से गलत है), और सिल्वरफ़िश काउंटरटेम्पल्स देती है।${A\implies B}$$B\implies A$

मैं कुछ अतिरिक्त मुद्दों से निपटना चाहता हूं और पहले से ही यहां कुछ व्यापक उत्तर बता रहा हूं जो कुछ हद तक संबंधित हैं।

1. आपके द्वारा उद्धृत विकिपीडिया पृष्ठ पर कथन कड़ाई से सत्य नहीं है। उदाहरण के लिए, कैची वितरण, जो निश्चित रूप से इसके मध्य के बारे में सममित है, पर विचार करें, लेकिन इसका कोई मतलब नहीं है। कथन के लिए एक क्वालीफायर की आवश्यकता होती है जैसे कि 'माध्य और तिरछा अस्तित्व प्रदान करता है'। यहां तक ​​कि अगर हम इसे पहले वाक्य की पहली छमाही में कमजोर बयान के लिए कम करते हैं, तब भी इसे "मतलब मौजूद है" की आवश्यकता है।

2. आपका प्रश्न आंशिक रूप से शून्य तिरछाता के साथ समरूपता का अनुमान लगाता है (मेरा मानना ​​है कि आप तीसरे क्षण तिरछा होना चाहते हैं, लेकिन इसी तरह की चर्चा अन्य तिरछा उपायों के लिए लिखी जा सकती है)। 0 तिरछापन होने का अर्थ समरूपता नहीं है। आपके उद्धरण के बाद के हिस्से और एलेक्सिस द्वारा उद्धृत विकिपीडिया के खंड ने इसका उल्लेख किया है, हालांकि दूसरे उद्धरण में दिए गए स्पष्टीकरण कुछ ट्विकिंग का उपयोग कर सकते हैं।

यह उत्तर दर्शाता है कि तीसरे क्षण तिरछापन और माध्य और माध्यिका के बीच संबंध की दिशा कमजोर है (तीसरे क्षण तिरछापन और दूसरा-पियर्सन तिरछापन की आवश्यकता नहीं है)।

आइटम 1. इस उत्तर पर एक असतत प्रतिरूप देता है, लेकिन सिल्वरफ़िश द्वारा दिए गए एक से अलग।

संपादित करें: मैंने अंत में उस असमान उदाहरण को खोदा जिसे मैं वास्तव में पहले देख रहा था।

में इस सवाल का जवाब मैं निम्नलिखित परिवार का उल्लेख:

$\frac{1}{24}\exp(-x^{1/4}) [1 -\alpha \sin(x^{1/4})]$

Taking two specific members (say the blue and green densities in the specific example at that linked answer, which have $\alpha=0$, and $\alpha=\frac{_1}{^2}$ respectively), and flipping one about the x-axis and taking a 50-50 mixture of the two, we would get a unimodal asymmetric density with all odd moments zero:

(grey lines show the blue density flipped about the x-axis to make the asymmetry plain)

Whuber gives another example here with zero skewness that's continuous, unimodal and asymmetric. I've reproduced his diagram:

which shows the example and the same flipped about the mean (to clearly show the asymmetry) but you should go read the original, which contains a lot of useful information.

[Whuber's answer here gives another asymmetric continuous family of distributions with all the same moments. Doing the same "choose two, flip one and take a 50-50 mixture" trick has the same outcome of asymmetric with all odd moments zero, but I think it doesn't give unimodal results here (though perhaps there are some examples).]

The answer here discusses the relationship between mean, median and mode.

This answer discusses hypothesis tests of symmetry.

Comments

Many thanks. Your referring to this stats.stackexchange.com/questions/56511/… was actually the cause of asking the above question.

— kaka

Answer 3

No.

If, in addition, the distribution is unimodal, then the mean = median = mode.

In the same way that "If the baby animal is a chicken, then its origin is an egg" does not imply that "If the origin is an egg, then the baby animal is a chicken."

From the same Wikipedia article:

In cases where one tail is long but the other tail is fat, skewness does not obey a simple rule. For example, a zero value indicates that the tails on both sides of the mean balance out, which is the case both for a symmetric distribution, and for asymmetric distributions where the asymmetries even out, such as one tail being long but thin, and the other being short but fat.

Comments

Note that in the unimodal symmetric case, you can have (easy to construct examples) mean = meadian = point with minimal (0) density!

— kjetil b halvorsen

Answer 4

Interesting and easy to understand examples come from the binomial distribution.

Here are binomial probabilities for 0(1)5 successes in 5 trials when the probability of success is 0.2. It's immediate that the mean is 0.2 $\times$ 5 $=$ 1, which inspection of probabilities confirms as also the median and the (single) mode, but the distribution is clearly not symmetric. There are naturally many other examples of skewed binomials with mean a positive integer.

            1        2
    +-------------------+
  1 |       0   .32768  |
  2 |       1    .4096  |
  3 |       2    .2048  |
  4 |       3    .0512  |
  5 |       4    .0064  |
  6 |       5   .00032  |
    +-------------------+

Stata code for this display was mata : (0..5)' , binomialp(5, (0..5), 0.2)' and presumably it is as simple or simpler in any statistical software worth mentioning.

As a matter of psychology rather than logic, this example can't be convincingly dismissed as pathological (as in other problems one might discount distributions for which certain moments do not even exist) or as a bizarre or trivial example contrived for the purpose (as for example the invented data described by @Silverfish or 0, 0, 1, 1, 1, 3).