Eigenvectors की दृश्य व्याख्या के बारे में उलझन: नेत्रहीन विभिन्न डेटासेट में एक ही eigenvectors कैसे हो सकते हैं?

Question

बहुत सी सांख्यिकी पाठ्यपुस्तक एक सहज मैट्रिक्स के आइजनवेक्टर क्या हैं, का एक सहज चित्रण प्रदान करती हैं:

वैक्टर यू और ज़ेड ईजेनवेक्टर (अच्छी तरह से, आइगेनैक्स) बनाते हैं। यह समझ में आता है। लेकिन एक चीज जो मुझे भ्रमित करती है, वह यह है कि हम ईजनवेक्टरों को सहसंबंध मैट्रिक्स से निकालते हैं , न कि कच्चे डेटा से। इसके अलावा, कच्चे डेटासेट जो काफी भिन्न होते हैं उनमें समरूप सहसंबंध मैट्रिक्स होते हैं। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित दोनों का सहसंबंध परिपक्वता है:

$$\left[\begin{array}{} 1 & 0.97 \\ 0.97 &1\end{array}\right]$$

जैसे कि उनके पास एक ही दिशा में इंगित करने वाले स्वदेशी हैं:

$$\left[\begin{array}{} .71 & -.71 \\ .71 & .71\end{array}\right]$$

लेकिन यदि आप उसी दृश्य व्याख्या को लागू करने के लिए थे, जिसमें कच्चे डेटा में कौन से दिशाएं आइजनवेक्टर थीं, तो आपको विभिन्न दिशाओं में इंगित करने वाले वैक्टर मिलेंगे।

क्या कोई मुझे बता सकता है कि मैं कहां गलत हो गया हूं?

दूसरा संपादित करें : यदि मैं इतना साहसी हो सकता हूं, तो नीचे दिए गए उत्कृष्ट उत्तरों से मैं भ्रम की स्थिति में आने में सक्षम था और इसका चित्रण किया था।

1. तथ्य यह है के साथ दृश्य स्पष्टीकरण coheres eigenvectors से निकाला कि सहप्रसरण मैट्रिक्स अलग हैं।

   सहसंयोजक और Eigenvectors (लाल):

   $$\left[\begin{array}{} 1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{} .7 & -.72 \\ .72 & .7\end{array}\right]$$

   सहसंयोजक और Eigenvectors (नीला):

   $$\left[\begin{array}{} .25 & .5 \\ .5 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{} .43 & -.9 \\ .9 & .43\end{array}\right]$$

2. सहसंबंध matrices मानकीकृत चर के सहसंयोजक matrices को दर्शाता है। मानकीकृत चरों के दृश्य निरीक्षण से पता चलता है कि मेरे उदाहरण में समान ईजनवेक्टर क्यों निकाले जाते हैं:

Comments

यदि आप सहसंबंध का मूल्यांकन करना चाहते हैं , तो आपको अपने स्कैप्लेट्स को तराजू के साथ खींचना होगा जिसमें घटकों के मानक विचलन समान हैं। यह आपकी किसी भी छवि में मामला नहीं है (शायद दूसरे में लाल डॉट्स को छोड़कर), जो एक कारण हो सकता है कि आप इस भ्रामक को ढूंढ सकें।

— व्हिबर

मैं आपके प्रश्न की सचित्र सराहना करता हूं। यह लोगों को इसे समझने में मदद करता है और भविष्य के संदर्भ के लिए थ्रेड के मूल्य में जोड़ता है। हालाँकि, इस बात से अवगत रहें कि ~ 10% पुरुष लाल-हरा रंग-बिरंगे होते हैं। 2 रंगों के साथ, लाल और नीला अधिक सुरक्षित हो सकता है।

— गूँग -

बहुत धन्यवाद, मैंने आपके द्वारा सुझाए गए रंगों को सही किया है

— मुकदमा डोह निम

कोई बात नहीं, @SueDohNimh। सभी के लिए इसे बुद्धिमान बनाने के लिए धन्यवाद। एक अलग नोट पर, मैं [PCA]टैग रखूंगा। यदि आप प्रश्न पर फिर से ध्यान केंद्रित करना चाहते हैं, या इस से संबंधित एक नया (संबंधित) प्रश्न और लिंक पूछना चाहते हैं, तो यह ठीक है, लेकिन मुझे लगता है कि यह प्रश्न पीसीए-ईश को टैग की योग्यता के लिए पर्याप्त है।

— गूँग - मोनिका

अच्छा काम, @SueDohNimh। यदि आप चाहते हैं तो आप इसे संपादित करने के बजाय अपने प्रश्न के उत्तर के रूप में भी जोड़ सकते हैं।

— गूँग - मोनिका

Answer 1

आपको सहसंबंध मैट्रिक्स पर पीसीए करने की ज़रूरत नहीं है; आप कोवरियन मैट्रिक्स को भी विघटित कर सकते हैं। ध्यान दें कि ये आम तौर पर अलग-अलग समाधान निकालेंगे। (इस पर और अधिक के लिए, देखें: सहसंबंध या सहसंयोजक पर पीसीए? )

आपके दूसरे आंकड़े में, सहसंबंध समान हैं, लेकिन समूह अलग दिखते हैं। वे अलग दिखते हैं क्योंकि उनके पास अलग-अलग सहसंयोजक हैं। हालाँकि, संस्करण भी भिन्न हैं (उदाहरण के लिए, लाल समूह एक्स 1 की एक विस्तृत श्रृंखला पर भिन्न होता है), और सहसंबंध मानक विचलन ( )। नतीजतन, सहसंबंध समान हो सकते हैं। ${\rm Cov}_{xy} / {\rm SD}_x{\rm SD}_y$

फिर से, अगर आप कोवरियस मैट्रिस का उपयोग करके इन समूहों के साथ पीसीए करते हैं, तो आप कॉरेलेशन मैट्रिस का उपयोग करने की तुलना में एक अलग परिणाम प्राप्त करेंगे।

Comments

+1 आपने शायद यह भी देखा होगा कि दो चर के साथ सहसंबंध मैट्रिक्स में हमेशा एक ही दो eigenvectors होते हैं, और , कोई फर्क नहीं पड़ता कि सहसंबंध क्या है। ( 1 , - 1 $(1,1)$$(1,-1)$

— व्हिबर

+1 क्या @whuber ने लिखा है, लेकिन ध्यान दें कि संबंधित eigenvalues ​​सहसंबंध मूल्य पर निर्भर करते हैं।

— अमीबा

यह सच है, लेकिन सहसंबंध के आधार पर कोव मैट्रिक्स के eigenvectors अलग-अलग हो सकते हैं।

— गूँज - मोनिका

हाय दोस्तों, बहुत धन्यवाद। मैं जानता था कि इसके बजाय सहसंयोजक matrices का उपयोग करने से अलग-अलग eigenvectors उत्पन्न होते हैं; यह चिंता का एक और स्रोत था क्योंकि मैंने मुझे चिंता में डाल दिया था कि सहसंबंध मैट्रिस का उपयोग करने के बजाय मैं उपयोग की जा रही जानकारी को कम कर रहा था और इसलिए कम सटीक रहा। क्या आपकी प्रतिक्रियाओं के आधार पर यह निष्कर्ष निकालना समझदारी होगी कि प्रदान की गई दृश्य व्याख्या केवल सच में कोरलेरेशन मैट्रिक्स के बजाय कच्चे डेटा के सहसंयोजक मैट्रिक्स के आइजनवेक्टरों पर लागू होती है?

— मुकदमा दोह निम

वास्तव में, @SueDohNimh नहीं है। यदि आप सहसंबंध मैट्रिक्स का उपयोग करना चाहते हैं तो आप दृश्य व्याख्या का उपयोग कर सकते हैं, बस पहले अपने चर का मानकीकरण करें।

— गूँग - मोनिका