कम से कम घातीय वितरण के लिए अधिकतम संभावना अनुमानक

मैं इस समस्या को हल करने के तरीके पर अटका हुआ हूं।

तो, हमारे पास लिए यादृच्छिक चर, और दो क्रम हैं । अब, और पैरामीटर और साथ स्वतंत्र घातीय वितरण हैं । हालाँकि, हम और देखने के बजाय और निरीक्षण करते हैं । $X_i$ $Y_i$ $i=1,...,n$ $X$ $Y$ $\lambda$ $\mu$ $X$ $Y$ $Z$ $W$

$Z=\min(X_i,Y_i)$ और $W=1$ यदि $Z_i=X_i$ और 0 यदि $Z_i=Y_i$ । मुझे और के आधार पर $\lambda$ और के अधिकतम संभावना अनुमानकों के लिए बंद-फॉर्म ढूंढने होंगे । इसके अलावा, हमें यह दिखाने की जरूरत है कि ये वैश्विक मैक्सिमा हैं। $\mu$ $Z$ $W$

अब, मुझे पता है कि दो स्वतंत्र घातांक की न्यूनतम दर घातांक दर के बराबर है, इसलिए हम जानते हैं कि $Z$ पैरामीटर साथ घातांक है $\lambda+\mu$ । इस प्रकार हमारा अधिकतम संभावना अनुमानक है: $\hat{\lambda}+\hat{\mu}=\bar{Z}$ ।

लेकिन मैं यहाँ से कहाँ जाना है के साथ फंस गया हूँ। मुझे पता है कि $W$ पैरामीटर साथ एक बर्नौली वितरण है $p=P(Z_i=X_i)$ , लेकिन मुझे नहीं पता कि इस पैरामीटर के बारे में एक बयान में इसे कैसे परिवर्तित किया जाए। उदाहरण के लिए, MLE क्या होगा जो कि और / या $\bar{W}$ संदर्भ में होगा ? मैं समझता हूं कि यदि , तो , लेकिन मुझे यह जानने में कठिन समय मिल रहा है कि किसी भी बीजीय कथन के साथ कैसे आया जाए। $\lambda$ $\mu$ $Z_i=X_i$ $\mu=0$

अद्यतन 1: तो मुझे $Z$ और के संयुक्त वितरण के लिए संभावना प्राप्त करने के लिए टिप्पणियों में बताया गया है $W$ ।

तो जहां । सही बात? मैं नहीं जानता कि और स्वतंत्र नहीं हैं , क्योंकि इस मामले में संयुक्त वितरण को कैसे प्राप्त किया जा सकता है। $f(Z,W)=f(Z|W=1)\cdot p+f(Z|W=0)\cdot (1-p)$ $p=P(Z_i=X_i)$ $Z$ $W$

तो यह हमें, , की परिभाषा द्वारा देता है। लेकिन अब क्या? यह मुझे कहीं नहीं मिलता है। यदि मैं संभावना की गणना करने के चरणों से गुजरता हूं, तो मुझे प्राप्त होता है: ( मिश्रण के प्रत्येक भाग के लिए नमूना आकार के रूप में और का उपयोग ...) $f(Z_i,W_i)=p\lambda e^{-\lambda z_i}+(1-p)\mu e^{-\mu z_i}$ $W$ $m$ $n$

$L(\lambda,\mu)=p^m\lambda^m e^{-\lambda \sum{z_i}}+(1-p)^n\mu^n e^{-\mu \sum{z_i}}$

$\log L=m\log p+m\log\lambda-\lambda \sum{z_i}+n\log(1-p)+n\log\mu-\mu \sum{z_i}$

यदि मैं आंशिक व्युत्पन्न लेता हूं, तो यह मुझे बताता है कि मेरे MLE का और अनुमान पर के सशर्त का औसत है । अर्थात्, $\lambda$ $\mu$ $Z$ $W$

$\hat{\lambda}=\frac{\sum{Z_i}}{m}$

$\hat{\mu}=\frac{\sum{Z_i}}{n}$

तथा

$\hat{p}=\frac{m}{n+m}$

— रयान सिमंस
स्रोत

आज एक ही MLE प्रश्न का उत्तर देने के बाद, क्या मैं आपको कुछ विचारों के लिए उस समाधान की ओर निर्देशित कर सकता हूं ? प्रश्नों के बीच संबंध यह है कि आपका डेटा भी स्वाभाविक रूप से दो असंतुष्ट समूहों में टूट जाता है: वे जहां और जहां । यह सभी प्रपत्र अवलोकन के लिए संभावना लिखने के लिए नीचे आता है ; और , और बीच समरूपता , तुरंत फॉर्म डेटा के लिए संभावना पैदा करता है और फिर आप बंद और चल रहे हैं।

W = 0

$W=0$

W = 1

$W=1$

(Z, W) = (z, 0)

$(Z,W)=(z,0)$

X

$X$

Y

$Y$

μ

$\mu$

λ

$\lambda$

(z, 1)

$(z,1)$

— व्हिबर

अधिकतम संभावना लिखने के लिए जल्दी मत करो! सबसे पहले, के संयुक्त वितरण को व्यक्त करें , फिर के नमूने से जुड़ी संभावना को , जो कि घातीय धारणा के कारण बंद-रूप में होता है। तब और केवल तब आप फ़ंक्शन को अधिकतम करने का प्रयास कर सकते हैं और इसलिए अधिकतम संभावना प्राप्त कर सकते हैं।

(Z, W)

$(Z,W)$

(Z_{i}, W) =_{i})

$(Z_i,W)=_i)$

— शीआन

@whuber: (+1) यह वास्तव में सीधा है और इसमें 's' और ' बीच पृथक्करण शामिल है लेकिन दोनों समूहों में और दोनों शामिल हैं , क्योंकि वे दोनों जानकारी और , ।

(z_{i}, 1)

$(z_i,1)$

(z_{i}, 0)

$(z_i,0)$

μ

$\mu$

λ

$\lambda$

X_{i}

$X_i$

Y_{i}

$Y_i$

W_{i} = I (X_{i} < Y_{i})

$W_i=\mathbb{I}(X_i<Y_i)$

— शीआन

@ शीआन यह सही है - और सामान्य-सिद्धांत उदाहरण के साथ समानताएं मैं पकड़ना जारी रखने के लिए लिंक करता हूं, क्योंकि दोनों समूह सामान्य पैरामीटर (स्केल) के बारे में जानकारी प्रदान करते हैं , जिनके अनुमान में "पूलिंग" डेटा शामिल होगा। समूहों से। यहाँ यह देखा जाएगा कि हमें बताता है कि कैसे लिए (दर, या व्युत्क्रम पैमाने ) का अनुमान अलग-अलग अनुमानों में और लगाया जाना चाहिए ।

σ

$\sigma$

\bar{W}

$\bar W$

λ + μ

$\lambda+\mu$

Z

$Z$

λ

$\lambda$

μ

$\mu$

— व्हिबर

मैंने दूसरे सूत्र के माध्यम से पढ़ा है, किधर, लेकिन मैं ईमानदारी से नहीं समझता कि इस उदाहरण पर कैसे लागू किया जाए। जेड और डब्ल्यू स्वतंत्र नहीं हैं, तो मैं संयुक्त वितरण कैसे प्राप्त करूं?

— रयान सीमन्स

मेरे पास टिप्पणी करने के लिए पर्याप्त बिंदु नहीं हैं, इसलिए मैं यहां लिखूंगा। मुझे लगता है कि आपके द्वारा पोस्ट की जाने वाली समस्या को उत्तरजीविता विश्लेषण के नजरिए से देखा जा सकता है, यदि आप निम्नलिखित पर विचार करें:

$X_i$ : सही उत्तरजीविता समय,

$Y_i$ : समय,

दोनों का और स्वतंत्र के साथ एक घातीय वितरण है । तब मनाया गया जीवित समय और सेंसर संकेतक है। $X$ $Y$ $Z_i$ $W_i$

यदि आप उत्तरजीविता विश्लेषण से परिचित हैं, मेरा मानना है कि आप इस बिंदु से शुरू कर सकते हैं।

नोट: एक अच्छा स्रोत: DRCox और D.Oakes द्वारा जीवन रक्षा डेटा का विश्लेषण

नीचे एक उदाहरण दिया गया है: उत्तरजीविता के वितरण के पीडीएफ को मानते हुए । फिर उत्तरजीविता क्रिया है: । और लॉग-संभावना है: $f(t)=\rho e^{-\rho t}$ $S(t)=e^{-\rho t}$

$\mathcal{l}= \sum_u \log f(z_i) + \sum_c \log S(z_i)$

बिना सेंसर वाले लोगों ( ) और सेंसर किए हुए लोगों ( ) पर योग के साथ क्रमशः। $u$ $c$

इस तथ्य के कारण कि जहां एच (टी) खतरा कार्य है, यह लिखा जा सकता है: $f(t)=h(t)S(t)$

$\mathcal{l}= \sum_u \log h(z_i) + \sum \log S(z_i)$

$\mathcal{l}= \sum_u \log \rho - \rho \sum z_i$

और अधिकतम संभावना आकलनकर्ता की है: $\hat{\rho}$ $\rho$

$\hat{\rho}=d/\sum z_i$ जहां के मामलों की कुल संख्या है $d$ $W_i=1$

— jujae
स्रोत