दृढ़ संकल्प काम क्यों करता है?

इसलिए मुझे पता है कि अगर हम स्वतंत्र यादृच्छिक चर की राशि का प्रायिकता वितरण ढूंढना चाहते हैं , तो हम यह कहकर और के प्रायिकता वितरण से गणना कर सकते हैं $X + Y$ $X$ $Y$

f_{X + Y} (a) = \int_{x = - \infty}^{\infty} f_{X, Y} (X = x, Y = a - x) d x = \int_{x = - \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (a - x) d x

$f_{X + Y}(a) = \int_{x = -\infty}^{\infty} f_{X, Y}(X = x, Y = a - x)~dx = \int_{x = -\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(a - x)~dx$

Intuitively, यह समझ में आता है, क्योंकि अगर हम संभावना है कि करने के लिए दो यादृच्छिक चर राशि लगाना चाहते हैं , यह मूल रूप से सभी घटनाओं है कि उन चर के संक्षेप करने के लिए नेतृत्व की संभावनाओं का योग है । लेकिन मैं औपचारिक रूप से इस कथन को कैसे साबित कर सकता हूं? $a$ $a$

probability

— जेसिका
स्रोत

थोड़ा अलग सवाल है, लेकिन जवाब समान है ।

— कार्ल

जवाबों:

अधिक सामान्य समाधान मानता है जहां और जरूरी स्वतंत्र नहीं हैं। समस्याओं के लिए एक सामान्य समाधान रणनीति जहां आप सोच रहे हैं कि एक पीडीएफ कहां से आया या इसे कैसे औचित्य दिया जाए, शायद इसके बजाय एक संचयी खोजना है, तो सीडीएफ को एक पीडीएफ में कम करने के लिए अंतर करें। $Z = X + Y$ $X$ $Y$

यह देखना काफी आसान है कि उस मामले में जहाँ - समतल का क्षेत्र है जिसके लिए । $F_Z(z) = \mathrm{P}(Z \leq z) = \int \int_R f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ $R$ $x$ $y$ $x + y \leq z$

यह नीचे दिए गए आरेख में नीला-टोपी वाला क्षेत्र है। इस क्षेत्र को स्ट्रिप्स में तोड़कर इसे एकीकृत करना स्वाभाविक है - मैंने इसे ऊर्ध्वाधर स्ट्रिप्स के साथ किया है लेकिन क्षैतिज लोग करेंगे। प्रभावी रूप से मैं प्रत्येक को-ऑर्डिनेट के लिए एक पट्टी के साथ समाप्त करता हूं , जिसमें से to , और प्रत्येक पट्टी के साथ मैं चाहता हूं कि लाइन ऊपर न बढ़े , इसलिए । $x$ $-\infty$ $\infty$ $y$ $x + y = z$ $y \leq z - x$

z <x + y

अब हमने और संदर्भ में एकीकरण की सीमाएँ प्राप्त कर ली हैं , हम एक प्रतिस्थापन , को निम्न प्रकार से बना सकते हैं, जिसका उद्देश्य को की ऊपरी सीमा के रूप में प्रदर्शित करना है । गणित सीधा है जब तक आप चर को बदलने के लिए जैकबियन के उपयोग को समझते हैं । $x$ $y$ $u=x$ $v=x+y$ $z$ $v$

F_{Z} (z) = \int_{x = - \infty}^{x = \infty} \int_{y = - \infty}^{y = z - x} f_{X, Y} (x, y) d x d y = \int_{v = - \infty}^{v = z} \int_{u = - \infty}^{y = \infty} f_{X, Y} (u, v - u) d u d v

$F_Z(z) = \int_{x = -\infty}^{x=\infty}\int_{y=-\infty}^{y=z-x}f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \int_{v = -\infty}^{v=z}\int_{u=-\infty}^{y=\infty}f_{X,Y}(u,v-u)\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v$

जब तक कुछ शर्तों को पूरा किया जाता है, हम प्राप्त करने के लिए संबंध में अभिन्न संकेत के तहत अंतर कर सकते हैं : $z$

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y} (u, z - u) d u

$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty}f_{X,Y}(u, z-u)\,\mathrm{d}u$

अगर और स्वतंत्र नहीं हैं तो भी यह काम करता है । लेकिन अगर वे हैं, तो हम दो सीमांत लोगों के उत्पाद के रूप में संयुक्त घनत्व को फिर से लिख सकते हैं: $X$ $Y$

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (u) f_{Y} (z - u) d u

$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty}f_X(u)f_Y(z-u)\,\mathrm{d}u$

डमी चर बिना नुकसान के अगर वांछित हो तो लिखा जा सकता है । $u$ $x$

इंटीग्रल के लिए मेरा अंकन ज्यॉफ्री ग्रिमेट और डोमिनिक वाल्श, संभावना: धारा परिचय , ऑक्सफोर्ड यूनिवर्सिटी प्रेस, न्यूयॉर्क, 2000 की धारा 6.4 का पालन करता है ।

— silverfish
स्रोत

+1 संकेतन के रूप में, कन्वेंशन यह है कि कई इंटीग्रल के बाहरी हिस्से में अंतर बाहरी इंटीग्रल पर लागू होता है; इस प्रकार, फॉर्म की एक अभिव्यक्ति में का एकीकरण संबंध में पहले किया जाता है - यह आंतरिक अभिन्न है - और संबंध में अंतिम किया जाता है - यह बाहरी अभिन्न है। यह अर्थ बदलने के बिना हमें कोष्ठक लगाने के लिए स्वतंत्र छोड़ देता है, जैसे कि ।

\iint \dots d x d y

$\iint \cdots \mathrm{d}x\,\mathrm{d} y$

x

$x$

y

$y$

\int (\int \dots d x) d y

$\int\left(\int \cdots \mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y$

— whuber

@whuber, इसके बारे में सोच रहा है, निश्चित रूप से यह कन्वेंशन है जो मेरे द्वारा ज्ञात प्रत्येक पाठ्यपुस्तक में लागू होता है (इसलिए कई एकीकरण प्रभावी रूप से नेस्टेड इंटीग्रल हैं)। लेकिन ग्रिमेट और वेल्श के माध्यम से "प्रोबैबिलिटी: एन इंट्रोडक्शन" के माध्यम से , सीमा और अंतर दोनों के लिए समान बाएं-दाएं क्रम के अपने स्वयं के सम्मेलन के अनुरूप हैं, उदाहरण के लिए वे !

\int_{u} \int_{v} \int_{w} . . . d u d v d w

$\int_u \int_v \int_w ... du\,dv\,dw$

— सिल्वरफिश नोव

मुझे लगातार आश्चर्य होता है कि कैसे, कई क्षेत्रों के चौराहे पर, हम परस्पर विरोधी सम्मेलनों के संपर्क में हैं। यह विभिन्न पृष्ठभूमि के लोगों के साथ काम करने की खुशियों में से एक है।

— whuber

@ मुझे पता है कि अभिन्न लोगों को बाहर करने के लिए सम्मेलन देशों के बीच बड़े पैमाने पर भिन्न होते हैं - आप टेक्स एसई से इसका आनंद लेंगे। टेक्ससस्टैक्सएक्सचेंज.com/a/88961/25866 और मैं चाहता हूं कि यह कई एकीकरण को कवर करने के लिए विस्तारित किया गया था!

— सिल्वरफिश नोव

यह कथन सही है कि क्या है और केवल यदि दायां हाथ लिए घनत्व की तरह काम करता है ; अर्थात्, $X+Y$

F_{X + Y} (a) = P (X + Y \leq a) = \int_{- \infty}^{a} f_{X + Y} (z) d z = \int_{- \infty}^{a} (\int f_{X} (x) f_{Y} (z - x) d x) d z

$F_{X+Y}(a)=\mathbb{P}(X+Y\le a) = \int_{-\infty}^a f_{X+Y}(z)\,\mathrm{d}z = \int_{-\infty}^a \left(\int f_X(x) f_Y(z-x)\,\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}z$

सभी के लिए । चलो दाहिने हाथ की ओर से शुरू करके इसे सत्यापित करें। $a$

एकीकरण के क्रम को बदलने और प्रतिस्थापन करने के लिए फ़ुबिनी के प्रमेय को लागू करें । इसके याकूब का निर्धारक , इसलिए चर के इस परिवर्तन से कोई अतिरिक्त शब्द नहीं मिलते हैं। ध्यान दें कि क्योंकि और एक-से-एक पत्राचार में हैं और यदि और केवल if , तो हम इंटीग्रल को फिर से लिख सकते हैं $z = x+y$ $1$ $z$ $y$ $-\infty \lt z \le a$ $-\infty \lt y \lt a-x$

= \int (\int_{- \infty}^{a - x} f_{X} (x) f_{Y} (y) d y) d x .

$=\int \left(\int_{-\infty}^{a-x}f_X(x)f_Y(y)\,\mathrm{d} y\right)\mathrm{d}x.$

द्वारा परिभाषा इस पर अभिन्न अंग है की $\mathbb{R}^2$

= \iint I (x + y \leq a) f_{X} (x) f_{Y} (y) d y d x

$=\iint I(x+y\le a)f_X(x)f_Y(y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x$

जहां एक सेट का सूचक कार्य करता । अंत में, चूंकि और स्वतंत्र हैं, सभी के लिए , अभिन्न को केवल अपेक्षा के रूप में प्रकट करना $I$ $X$ $Y$ $f_{(X,Y)}(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$ $(x,y)$

= \iint I (x + y \leq a) f_{(X, Y)} (x, y) d y d x = E (I (X + Y \leq a)) = P (X + Y \leq a),

$=\iint I(x+y\le a)f_{(X,Y)}(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x = \mathbb{E}(I(X+Y\le a))=\mathbb{P}(X+Y\le a),$

जैसी इच्छा।

अधिक आम तौर पर, यहां तक कि जब या से एक या दोनों का वितरण कार्य नहीं होता है, तब भी हम प्राप्त कर सकते हैं $X$ $Y$

F_{X + Y} (a) = E_{X} (F_{Y} (a - X)) = E_{Y} (F_{X} (a - Y))

$F_{X+Y}(a) = \mathbb{E}_X\left(F_Y(a-X)\right) = \mathbb{E}_Y\left(F_X(a-Y)\right)$

सीधे बुनियादी परिभाषाओं से, संकेतकों की उम्मीद का उपयोग कर आगे पीछे संभावनाओं और उम्मीदों और के संबंध में अलग उम्मीदों में गणना को तोड़ने के लिए स्वतंत्रता धारणा शोषण के बीच जाने के लिए और : $X$ $Y$

\begin{aligned} P (X + Y \leq a) & = E (I (X + Y \leq a)) \\ = E_{X} (E_{Y} (I (X + Y \leq a)) \\ = E_{X} (P_{Y} (Y \leq a - X)) \\ = E_{X} (F_{Y} (a - X)) . \end{aligned}

$\eqalign{ \mathbb{P}(X+Y\le a) &= \mathbb{E}(I(X+Y\le a)) \\ &= \mathbb{E}_X\left(\mathbb{E}_Y(I(X+Y\le a)\right) \\ &= \mathbb{E}_X\left(\mathbb{P}_Y(Y\le a-X)\right) \\ &=\mathbb{E}_X(F_Y(a-X)). }$

इसमें असतत यादृच्छिक चर के लिए सामान्य सूत्र शामिल हैं, उदाहरण के लिए, सामान्य से थोड़ा भिन्न रूप में यद्यपि (क्योंकि यह सीडीएफ के संदर्भ में संभावना जन कार्यों के बजाय कहा गया है)।

आप अंतर्विनिमय डेरिवेटिव और अभिन्न के बारे में एक मजबूत पर्याप्त प्रमेय है, तो आप दोनों पक्षों सम्मान के साथ करने के लिए अंतर कर सकते हैं घनत्व प्राप्त करने के लिए एक स्ट्रोक में, $a$ $f_{X+Y}$

\begin{aligned} f_{X + Y} (a) & = \frac{d}{d a} F_{X + Y} (a) = E_{X} (\frac{d}{d a} F_{Y} (a - X)) = E_{X} (f_{Y} (a - X)) \\ = \int f_{X} (x) f_{Y} (a - x) d x . \end{aligned}

$\eqalign{ f_{X+Y}(a) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a} F_{X+Y}(a) =\mathbb{E}_X\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a} F_Y(a-X)\right) = \mathbb{E}_X \left(f_Y(a-X)\right) \\ &= \int f_X(x) f_Y(a-x) \,\mathrm{d} x. }$

— व्हीबर
स्रोत