क्या सरल रेखीय प्रतिगमन में अवरोधन और ढलान के अनुमान स्वतंत्र हैं?

Question

एक रैखिक मॉडल पर विचार करें

$y_i= \alpha + \beta x_i + \epsilon_i$

और ढलान और अवरोधन के लिए अनुमान और साधारण कम से कम वर्गों का उपयोग कर। गणितीय आँकड़ों के लिए यह संदर्भ यह बयान करता है कि और स्वतंत्र हैं (उनके प्रमेय के प्रमाण में)।$\hat{\alpha}$$\hat{\beta}$$\hat{\alpha}$$\hat{\beta}$

मुझे यकीन नहीं है कि मैं समझता हूं कि क्यों। जबसे

$\hat{\alpha}=\bar{y}-\hat{\beta} \bar{x}$

क्या इसका मतलब यह नहीं है कि और सहसंबद्ध हैं? मैं शायद यहाँ कुछ स्पष्ट याद कर रहा हूँ।$\hat{\alpha}$$\hat{\beta}$

Answer 1

निम्नलिखित उप-पृष्ठ पर उसी साइट पर जाएं:

https://onlinecourses.science.psu.edu/stat414/node/278

आप अधिक स्पष्ट रूप से देखेंगे कि वे सरल लीनियर प्रतिगमन मॉडल को उसके नमूना माध्य पर केंद्रित प्रतिगामी के साथ निर्दिष्ट करते हैं । और यह बताता है कि वे बाद में ऐसा क्यों कहते हैं$\hat \alpha$ तथा $\hat \beta$ स्वतंत्र हैं।

मामले के लिए जब गुणांक एक प्रतिगामी के साथ अनुमानित किया जाता है जो केंद्रित नहीं है, उनका सहसंयोजक है

$$\text{Cov}(\hat \alpha,\hat \beta) = -\sigma^2(\bar x/S_{xx}), \;\;S_{xx} = \sum (x_i^2-\bar x^2)$$

तो आप देखते हैं कि यदि हम एक रजिस्ट्रार का उपयोग करते हैं जो कि केंद्रित है $\bar x$, इसे कहते हैं $\tilde x$, the above covariance expression will use the sample mean of the centered regressor, $\tilde {\bar x}$, जो शून्य होगा, और इसलिए यह भी शून्य होगा, और गुणांक अनुमानक स्वतंत्र होंगे।

इस पोस्ट में सरल रेखीय प्रतिगमन ओएलएस बीजगणित पर अधिक है।

Comments

मैं उपयोग करने पर विचार करूंगा $Cov(\hat \alpha, \hat \beta | X)$ के बजाय $Cov(\hat \alpha, \hat \beta)$। अन्यथा ऐसा लगता है$\bar x$ तथा $S_{xx}$जनसंख्या समकक्षों द्वारा प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है। या मैं गलत हूँ?

— रिचर्ड हार्डी