वितरण के माध्यम के बारे में क्षणों के लिए अंतर्ज्ञान?

Question

क्या कोई इस बात पर अंतर्ज्ञान दे सकता है कि प्रायिकता वितरण के उच्चतर क्षण , तीसरे और चौथे क्षण की तरह, और अनुरूप हैं? विशेष रूप से, तीसरी या चौथी शक्ति के लिए उठाए गए माध्य के बारे में विचलन तिरछापन और कुर्तोसिस के माप में तब्दील क्यों होता है? क्या यह फ़ंक्शन के तीसरे या चौथे डेरिवेटिव से संबंधित है?$p_X$

तिरछापन और कुर्तोसिस की इस परिभाषा पर विचार करें:

$$\begin{matrix} \text{Skewness}(X) = \mathbb{E}[(X - \mu_{X})^3] / \sigma^3, \\[6pt] \text{Kurtosis}(X) = \mathbb{E}[(X - \mu_{X})^4] / \sigma^4. \\[6pt] \end{matrix}$$

इन समीकरणों में हम एक शक्ति के लिए सामान्यीकृत मान बढ़ाते हैं और उसका अपेक्षित मूल्य लेते हैं। यह मेरे लिए स्पष्ट नहीं है कि चार की शक्ति के लिए सामान्यीकृत यादृच्छिक चर को बढ़ाने से "शिखरता" मिलती है या तीन की शक्ति के लिए सामान्यीकृत यादृच्छिक चर को ऊपर उठाने से "तिरछापन" क्यों देना चाहिए। यह जादुई और रहस्यमय लगता है!$(X-\mu)/\sigma$

Comments

तिरछा पर मेरा अंतर्ज्ञान यह ध्यान रखना है कि तीसरी शक्ति नकारात्मकता को बनाए रखती है। इसलिए यदि आपके पास सकारात्मक से अधिक बड़े नकारात्मक विचलन हैं (सकारात्मक रूप से कहें तो), तो आप एक नकारात्मक तिरछी वितरण के साथ समाप्त होते हैं। कुर्तोसिस के लिए मेरा अंतर्ज्ञान यह है कि चौथी शक्ति दूसरी शक्ति की तुलना में औसत से बड़े विचलन को बढ़ाती है। यही कारण है कि हम कुर्तोसिस को एक वितरण की पूंछ को कितना मोटा करते हैं, इसका एक उपाय के रूप में सोचते हैं। ध्यान दें कि मीन म्यू से x की बहुत बड़ी संभावनाएं आगे की शक्ति के लिए उठाई जाती हैं, जो उन्हें प्रवर्धित लेकिन संकेत की उपेक्षा करती हैं।

— वुल्फसाथेदुर

देखें stats.stackexchange.com/questions/84158/...

— whuber

चूंकि 4 शक्तियां 1 शक्तियों की तुलना में आउटलेर्स से बहुत अधिक प्रभावित होती हैं, इसलिए मुझे उम्मीद है कि आप चौथे पल को माध्यिका के बारे में देखने से थोड़ा लाभ प्राप्त करेंगे - कम से कम अगर मजबूती का उद्देश्य था।

— Glen_b -Reinstate Monica

सबसे पहले, ध्यान दें कि इन उच्च क्षणों में विषमता / चरमसीमा के अच्छे / विश्वसनीय उपाय आवश्यक नहीं हैं। उस ने कहा, मुझे लगता है कि बीम पहले तीन क्षणों के लिए एक अच्छा शारीरिक अंतर्ज्ञान देता है, उदाहरण के लिए = बीम संतुलन / स्केल , विचरण = ब्रैकट फ्लेक्चर , तिरछा = सीसा ।

— जियोमैट 22

आप ठीक कह रहे हैं, "peakedness" को मापने के रूप में कुकुदता की व्याख्या है जादुई और रहस्यमय। ऐसा इसलिए है क्योंकि यह बिल्कुल सच नहीं है। कर्टोसिस आपको चोटी के बारे में बिल्कुल कुछ नहीं बताता है। यह केवल पूंछ (आउटलेयर) को मापता है। गणितीय रूप से यह साबित करना आसान है कि शिखर के पास के अवलोकन कर्टोसिस माप में एक मामूली राशि का योगदान करते हैं, भले ही शिखर सपाट, नुकीला, बिमोडल, साइनसोइडल या घंटी के आकार का हो।

— पीटर वेस्टफॉल

Answer 1

इन परिभाषाओं का एक अच्छा कारण है, जो स्पष्ट हो जाता है जब आप मानकीकृत यादृच्छिक चर के क्षणों के लिए सामान्य रूप को देखते हैं। इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, पहले वें मानकीकृत केंद्रीय क्षण के सामान्य रूप पर विचार करें :$n$†$^\dagger$

$$\phi_n = \mathbb{E} \Bigg[ \Bigg( \frac{X - \mathbb{E}[X]}{\mathbb{S}[X]} \Bigg)^n \text{ } \Bigg].$$

पहले दो मानकीकृत केंद्रीय क्षण मान और , जो सभी वितरणों के लिए हैं, जिनके लिए उपरोक्त मात्रा अच्छी तरह से परिभाषित है। इसलिए, हम गैर-तुच्छ मानकीकृत केंद्रीय क्षणों पर विचार कर सकते हैं जो मान के लिए होते हैं । हमारे विश्लेषण की सुविधा के लिए हम परिभाषित करते हैं:$\phi_1=0$$\phi_2=1$$n \geqslant 3$

$$\begin{equation} \begin{aligned} \phi_n^+ &= \mathbb{E} \Bigg[ \Bigg| \frac{X - \mathbb{E}[X]}{\mathbb{S}[X]} \Bigg|^n \text{ } \Bigg| X > \mathbb{E}[X] \Bigg] \cdot \mathbb{P}(X > \mathbb{E}[X]), \\[8pt] \phi_n^- &= \mathbb{E} \Bigg[ \Bigg| \frac{X - \mathbb{E}[X]}{\mathbb{S}[X]} \Bigg|^n \text{ } \Bigg| X < \mathbb{E}[X] \Bigg] \cdot \mathbb{P}(X < \mathbb{E}[X]). \end{aligned} \end{equation}$$

ये गैर-नकारात्मक मात्राएं हैं जो वें को इसके अपेक्षित मूल्य से ऊपर या नीचे होने पर मानकीकृत यादृच्छिक चर सशर्त की पूर्ण शक्ति प्रदान करती हैं। अब हम इन भागों में मानकीकृत केंद्रीय क्षण का विघटन करेंगे।$n$

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विषम मान पूंछ में तिरछा मापते हैं:$n$ के किसी भी विषम मान के लिए हमारे पास क्षण समीकरण में एक विषम शक्ति होती है और इसलिए हम मानकीकृत केंद्रीय क्षण को रूप में लिख सकते हैं। इस रूप से हम देखते हैं कि मानकीकृत केंद्रीय क्षण हमें मानकीकृत यादृच्छिक चर के वें निरपेक्ष शक्ति के बीच का अंतर देता है, इस पर सशर्त क्रमशः इसके मतलब से ऊपर या नीचे होता है।$n \geqslant 3$$\phi_n = \phi_n^+ - \phi_n^-$$n$

इस प्रकार, किसी भी विषम शक्ति हमें एक माप मिलेगा जो सकारात्मक मान देता है यदि मानकीकृत यादृच्छिक चर की अपेक्षित निरपेक्ष शक्ति औसत से नीचे के मान से ऊपर के मानों के लिए अधिक है, और यदि अपेक्षित हो तो नकारात्मक मान देता है निरपेक्ष शक्ति, माध्य से नीचे के मानों की तुलना में माध्य से ऊपर के मानों के लिए कम है। इनमें से किसी भी मात्रा को यथोचित रूप से "तिरछापन" के एक उपाय के रूप में माना जा सकता है, उच्च शक्तियों के साथ मूल्यों से अधिक सापेक्ष वजन होता है जो कि औसत से दूर हैं।$n \geqslant 3$

चूँकि यह घटना प्रत्येक विषम शक्ति , "तिरछापन" के एक माप के लिए प्राकृतिक विकल्प तिरछा के रूप में को परिभाषित करना है । यह उच्च विषम शक्तियों की तुलना में कम मानकीकृत केंद्रीय क्षण है, और उच्च-क्रम वाले क्षणों पर विचार करने से पहले निचले क्रम के क्षणों का पता लगाना स्वाभाविक है। आंकड़ों में हमने इस मानकीकृत केंद्रीय क्षण को तिरछापन के रूप में संदर्भित करने की परंपरा को अपनाया है , क्योंकि यह सबसे कम मानकीकृत केंद्रीय क्षण है जो वितरण के इस पहलू को मापता है। (उच्च विषम शक्तियां भी तिरछापन के प्रकार को मापती हैं, लेकिन माध्य से दूर मूल्यों पर अधिक और अधिक जोर देने के साथ।)$n \geqslant 3$$\phi_3$

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यहां तक ​​कि पूंछ के माप के$n$ मूल्य के मान भी : के किसी भी मूल्य के लिए भी हमारे पास क्षण समीकरण में एक समान शक्ति है और इसलिए हम मानकीकृत केंद्रीय क्षण को रूप में लिख सकते हैं । इस रूप से हम देखते हैं कि मानकीकृत केंद्रीय क्षण हमें क्रमशः मानकीकृत यादृच्छिक चर के वें निरपेक्ष शक्ति का योग देता है, इस पर सशर्त इसके औसत से ऊपर या नीचे होता है।$n \geqslant 3$$\phi_n = \phi_n^+ + \phi_n^-$$n$

इस प्रकार, किसी भी शक्ति हमें एक उपाय मिलेगा जो गैर-नकारात्मक मान देता है, अगर उच्चतर मान के साथ यदि मानकीकृत यादृच्छिक चर के वितरण की पूंछ मोटी हैं। ध्यान दें कि यह मानकीकृत यादृच्छिक चर के संबंध में एक परिणाम है , और इसलिए पैमाने में परिवर्तन (परिवर्तन को बदलते हुए) का इस उपाय पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। बल्कि, यह प्रभावी रूप से वितरण के विचरण के लिए मानकीकरण करने के बाद, पूंछ के मोटापे की माप है। इनमें से किसी भी मात्रा को यथोचित रूप से "कुर्तोसिस" के एक उपाय के रूप में माना जा सकता है, उच्च शक्तियों के साथ मूल्यों से अधिक सापेक्ष वजन होता है जो कि औसत से दूर हैं।$n \geqslant 3$

के बाद से इस घटना हर भी सत्ता के लिए होता है , के आदिस्वरूप उपाय के लिए स्वाभाविक पसंद कुकुदता परिभाषित करने के लिए है कुकुदता के रूप में। यह उच्चतर समान शक्तियों की तुलना में कम मानकीकृत केंद्रीय क्षण है, और उच्च-क्रम वाले क्षणों पर विचार करने से पहले निचले क्रम के क्षणों का पता लगाना स्वाभाविक है। आँकड़ों में हमने इस मानकीकृत केंद्रीय क्षण को "कुर्तोसिस" के रूप में संदर्भित करने के सम्मेलन को अपनाया है, क्योंकि यह सबसे कम मानकीकृत केंद्रीय क्षण है जो वितरण के इस पहलू को मापता है। (उच्चतर शक्तियाँ भी कर्टोसिस के प्रकारों को मापती हैं, लेकिन माध्य से दूर मूल्यों पर अधिक और अधिक जोर देने के साथ।)$n \geqslant 3$φ 4$\phi_4$

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$^\dagger$ इस समीकरण को किसी भी वितरण के लिए अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है जिसके पहले दो क्षण मौजूद हैं, और जिसमें गैर-शून्य संस्करण है। हम मानेंगे कि ब्याज का वितरण बाकी विश्लेषण के लिए इस वर्ग में आता है।

Answer 2

इसी तरह का सवाल एक संभावना वितरण के 'क्षणों' के बारे में ऐसा क्या है? मैंने उसको एक भौतिक उत्तर दिया जो क्षणों को संबोधित करता है।

"कोणीय त्वरण कोणीय वेग का व्युत्पन्न है, जो समय के संबंध में कोण का व्युत्पन्न है, अर्थात, । विचार करें कि दूसरा क्षण एक परिपत्र गति पर लागू टोक़ के अनुरूप है, या यदि आप उस परिपत्र (यानी, कोणीय, ) गति का त्वरण / मंदी (भी दूसरा व्युत्पन्न) करेंगे । इसी तरह, तीसरा क्षण होगा। परिवर्तन की दरों की दर में परिवर्तन की दर, यानी, सर्कुलर मोशन के क्रमिक व्युत्पन्न के परिवर्तन की दर बनाने के लिए, और इसी तरह आगे के क्षणों के लिए, टॉर्क के परिवर्तन की दर और आगे बढ़ें ...। "$\dfrac{d\omega}{dt}=\alpha,\,\dfrac{d\theta}{dt}=\omega$$\theta$

लिंक को देखें क्योंकि भौतिक उदाहरणों के साथ यह कल्पना करना आसान है।

कुरकुरेपन की तुलना में तिरछा समझना आसान है। एक नकारात्मक तिरछापन, दाईं ओर सकारात्मक तिरछापन की तुलना में एक भारी बाईं पूंछ (या आगे की ओर नकारात्मक दिशा) है।

विकिपीडिया वेस्टफॉल (2014) का हवाला देता है और इसका मतलब है कि उच्च कर्टोसिस या तो यादृच्छिक चर के लिए उत्पन्न होता है, जिसमें दूर के प्रस्तोता होते हैं या एक या दो भारी पूंछ के साथ घनत्व कार्यों के लिए दावा करते हैं कि डेटा या घनत्व की किसी भी केंद्रीय प्रवृत्ति का कुर्तोसिस मूल्य पर अपेक्षाकृत कम प्रभाव पड़ता है। कुर्तोसिस के निम्न मूल्य विपरीत होंगे, अर्थात, एक्सिस आउटलेर की कमी और दोनों पूंछों की सापेक्ष लपट।$x$

Comments

तिरछा के पीडीएफ का संतुलन बिंदु है , और कुर्तोसिस के पीडीएफ का संतुलन बिंदु है । दोनों परिवर्तनों ने पूंछ, कुर्तोसिस को अधिक "खिंचाव" किया। यदि एक पूर्णांक 0 पर रखे जाने पर का पीडीएफ दाईं ओर गिरता है, तो मूल वितरण में सकारात्मक तिरछा है। यदि किसी पूर्णांक को 3.0 पर रखा जाता है, तो का पीडीएफ दाईं ओर गिरता है, तो मूल वितरण सामान्य वितरण की तुलना में भारी होता है। यहाँ, "पूंछ का भारीपन" द्रव्यमान की तुलना में अधिक सटीक रूप से उत्तोलन करता है। मूर की व्याख्या "एकाग्रता" के दोनों उल्लेखों के बारे में बिल्कुल सही नहीं है। Z 4 Z 3 Z $Z^3$$Z^4$$Z^3$$Z^4$

— पीटर वेस्टफॉल

@PeterWestfall मैं मानता हूं कि Moors की व्याख्या अपूर्ण है। सटीक भाषा भी आसानी से प्राप्त करने के बिना भ्रमित नहीं है। उदाहरण के लिए "लीवरेज" लें। उत्तोलन का अर्थ है पहला क्षण और किसी को दूसरे क्षण के लिए "लीवरेज्ड लीवरेज" जैसी किसी चीज़ का आविष्कार करना होगा, जो कि रोशनी से अधिक भ्रमित कर सकता है। आपका दृष्टिकोण एक उपन्यास अवधारणा का आविष्कार करने के लिए प्रकट होता है, अर्थात, "उत्तोलन उत्तोलन," जो ज्यामितीय परिवर्तनों पर संकेत देता है, जिसके लिए कुछ ऐसे अधिवक्ताओं का भी दावा किया जा सकता है जो इसके पक्षधर हैं जो दूसरों के लिए भी विवादास्पद और गैर-भौतिक होने के जोखिम में आत्मनिर्भर हैं। ।

— कार्ल

$U$$U = Z^4$

$Z^4$$Z$

$Z^2$