कम-रैंक रैखिक प्रणाली का तेजी से संगणना / अनुमान

कम्प्यूटेशनल आंकड़ों में समीकरणों के रैखिक सिस्टम व्याप्त हैं। एक विशेष प्रणाली जिसका मैंने सामना किया है (जैसे, कारक विश्लेषण में) प्रणाली है

A x = b

$Ax=b$

जहां यहाँ एक है एक सख्ती से सकारात्मक विकर्ण साथ विकर्ण मैट्रिक्स, एक है (साथ ) सममित सकारात्मक अर्द्ध निश्चित मैट्रिक्स, और एक मनमाना मैट्रिक्स है। हमें एक विकर्ण रैखिक प्रणाली (आसान) को हल करने के लिए कहा जाता है जिसे कम-रैंक मैट्रिक्स द्वारा गड़बड़ा दिया गया है। ऊपर की समस्या को हल करने का भोला तरीका वुडबरी के फार्मूले का उपयोग करके को उल्टा करना है । हालांकि, यह सही नहीं लगता है, क्योंकि चोल्स्की और क्यूआर फैक्टराइजेशन आमतौर पर रैखिक प्रणालियों (और सामान्य समीकरणों) के समाधान को नाटकीय रूप से तेज कर सकते हैं। मैं हाल ही में आया था

A = D + B Ω B^{T}

$A=D+ B \Omega B^T$

D

$D$

n \times n

$n\times n$

Ω

$\Omega$

m \times m

$m\times m$

m ≪ n

$m\ll n$

B

$B$

n \times m

$n\times m$

A

$A$ निम्नलिखित कागज , जो चोल्स्की दृष्टिकोण को ले जाता है, और वुडबरी के उलट की संख्यात्मक अस्थिरता का उल्लेख करता है। हालांकि, कागज मसौदा के रूप में लगता है, और मुझे संख्यात्मक प्रयोग या अनुसंधान का समर्थन नहीं मिला। मेरे द्वारा बताई गई समस्या को हल करने के लिए कला की स्थिति क्या है?

— ख़ाली जगह से
स्रोत

@gappy, क्या आपने मैट्रिक्स (वुडबरी फॉर्मूला में मध्य अवधि ) के लिए क्यूआर (या चोल्स्की) अपघटन का उपयोग करने पर विचार किया था ? शेष ऑपरेशन सरल मैट्रिक्स गुणन हैं। अस्थिरता का मुख्य स्रोत तब की गणना है । चूंकि मुझे संदेह है कि वुडबरी के साथ संयुक्त क्यूआर या चोल्स्की का यह आवेदन सभी मैट्रिक्स पर क्यूआर से अधिक तेज होगा । यह निश्चित रूप से कला की कोई स्थिति नहीं है, बस सामान्य अवलोकन।

Ω^{- 1} + B D^{- 1} B^{T}

$\Omega^{-1}+BD^{-1}B^T$

Ω^{- 1}

$\Omega^{-1}$

m << n

$m<<n$

A

$A$

— mpiktas

मुझे संदेह है कि माथियास सीगर अधिवक्ता कला की स्थिति के के भीतर हैं , वह एक बहुत ही उज्ज्वल ब्लोक है और इस तरह के मुद्दों को वह बार-बार उस तरह के मॉडल में फसल देता है जिसकी वह जांच करता है। मैं समान कारणों के लिए चोल्स्की आधारित विधियों का उपयोग करता हूं। मुझे संदेह है कि गोलब और वैन लोन द्वारा "मैट्रिक्स कम्प्यूटेशंस" में चर्चा की गई है, जो इस तरह की चीज के लिए मानक संदर्भ है (हालांकि मेरे पास मेरे हाथ की नकल नहीं है)।

ϵ

$\epsilon$

— डिक्रान मार्सुपियल 15

ध्यान दें कि आपकी समस्या सिस्टम को हल करने के बराबर है जहाँ । तो, यह समस्या को थोड़ा सरल करता है। अब, दे , हम जानते हैं कि ज्यादा से ज्यादा के साथ सकारात्मक semidefinite है सकारात्मक eigenvalues। चूंकि , खोजने सबसे बड़ा eigenvalues और इसी eigenvectors विभिन्न तरीकों से किया जा सकता है। इसका समाधान तब जहां , के ईगेंडेकोम्पोजिशन देता है

\bar{B} = D^{- 1 / 2} B

$\bar{B} = D^{-1/2} B$

(I + \bar{B} Ω {\bar{B}}^{T}) x = \bar{b}

$(I + \bar{B}\Omega \bar{B}^T)x = \bar{b}$

\bar{b} = D^{- 1 / 2} b

$\bar{b} = D^{-1/2} b$

Σ = \bar{B} Ω {\bar{B}}^{T}

$\Sigma = \bar{B} \Omega \bar{B}^T$

Σ

$\Sigma$

m

$m$

m ≪ n

$m \ll n$

m

$m$

x = Q (I + Λ)^{- 1} Q^{T} \bar{b}

$x = Q(I + \Lambda)^{-1} Q^T \bar{b}$

Σ = Q Λ Q^{T}

$\Sigma = Q \Lambda Q^T$

Σ

$\Sigma$ ।

— कार्डिनल

छोटे सुधार: (1) समतुल्य प्रणाली है और (2) अंतिम समाधान । (मैंने दोनों मामलों में सामने एक गिरा दिया था ।) ध्यान दें कि सभी व्युत्क्रम विकर्ण मैट्रिक्स के हैं और इसलिए तुच्छ हैं।

(I + \bar{B} Ω {\bar{B}}^{T}) D^{1 / 2} x = \bar{b}

$(I + \bar{B} \Omega \bar{B}^T) D^{1/2} x = \bar{b}$

x = D^{- 1 / 2} Q (I + Λ)^{- 1} Q^{T} D^{- 1 / 2} b

$x = D^{-1/2} Q (I + \Lambda)^{-1} Q^T D^{-1/2} b$

D^{1 / 2}

$D^{1/2}$

x

$x$

— कार्डिनल

@mpiktas: मुझे लगता है कि आपका मतलब था चूंकि संस्करण में आपने मैट्रिक्स उत्पाद को एक आयाम बेमेल के कारण अच्छी तरह से परिभाषित नहीं किया है। :)

Ω^{- 1} + B^{T} D^{- 1} B

$\Omega^{-1} + B^T D^{-1} B$

— कार्डिनल

गोलब एंड वैन लोन द्वारा "मैट्रिक्स कम्प्यूटेशंस" रैंक-पी अपडेट के बाद क्यूआर और चोल्स्की फैक्ट्रीज को अपडेट करने पर अध्याय 12.5.1 में विस्तृत चर्चा की गई है।

— फेबियन पेड्रिगोसा
स्रोत

मुझे पता है, और संबंधित लैपैक फ़ंक्शंस का उल्लेख उस पेपर में किया गया है जिसे मैंने और किताब में जोड़ा है। मुझे आश्चर्य है कि हाथ में समस्या के लिए सबसे अच्छा अभ्यास क्या है, न कि सामान्य अद्यतन समस्या के लिए।

— गप्पी