शोर टिप्पणियों से सही मतलब का निर्धारण

मेरे पास फॉर्म (मतलब, stdev) के डेटा बिंदुओं का एक बड़ा सेट है। मैं इसे एक एकल (बेहतर) माध्य और एक (उम्मीद) छोटे मानक विचलन को कम करना चाहता हूं।

स्पष्ट रूप से मैं केवल गणना कर सकता हूं , हालांकि यह इस तथ्य को ध्यान में नहीं रखता है कि कुछ डेटा बिंदु दूसरों की तुलना में काफी अधिक सटीक हैं। $\frac{\sum data_{mean}}{N}$

इसे सरलता से कहने के लिए, मैं इन डेटा बिंदुओं के भारित औसत को पहले से निकालना चाहता हूं, लेकिन यह नहीं जानता कि मानक विचलन के संदर्भ में वजन का कार्य क्या होना चाहिए।

normal-distribution repeated-measures weighted-mean

— माइकल
स्रोत

आप फार्म के माध्य के लिए एक रैखिक अनुमानक की तलाश करते हैं $\mu$

\hat{μ} = \sum_{i = 1}^{n} α_{i} x_{i}

$\hat{\mu} = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i x_i$

जहां वजन हैं और अवलोकन हैं। उद्देश्य वजन के लिए उचित मूल्यों को खोजना है। चलो हो सच का मानक विचलन , या के साथ मेल नहीं हो सकता है हो सकता है अनुमान मानक विचलन आप की संभावना है। मान लें कि अवलोकन निष्पक्ष हैं; यही कारण है कि, उनकी अपेक्षाएँ सभी मीन बराबर हैं । इन शब्दों में हम गणना कर सकते हैं कि है $\alpha_i$ $x_i$ $\sigma_i$ $x_i$ $\mu$ $\hat{\mu}$

E [\hat{μ}] = \sum_{i = 1}^{n} α_{i} E [x_{i}] = μ \sum_{i = 1}^{n} α_{i}

$\mathbb{E}[\hat{\mu}] = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \mathbb{E}[x_i] = \mu \sum_{i=1}^{n} \alpha_i$

और (प्रदान असंबंधित हैं) इस अनुमानक का विचरण है $x_i$

Var [\hat{μ}] = \sum_{i = 1}^{n} α_{i}^{2} σ_{i}^{2} .

$\operatorname{Var}\left[\hat{\mu}\right] = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i^2 \sigma_i^2.$

इस बिंदु पर कई लोगों की आवश्यकता है कि अनुमानक निष्पक्ष हो; यही है, हम चाहते हैं कि इसकी उम्मीद सही मायने में समान हो। इसका मतलब है कि वजन एकता के लिए योग होना चाहिए। इस प्रतिबंध के अधीन, अनुमानक की सटीकता (माध्य वर्ग त्रुटि के साथ मापी गई) को विचरण को कम करके अनुकूलित किया जाता है। अद्वितीय समाधान (आसानी से एक लैग्रेग गुणक के साथ प्राप्त किया जाता है या एक दूरी को कम करने की समस्या के रूप में ज्यामितीय रूप से स्थिति की फिर से व्याख्या करके) यह है कि वेट लिए आनुपातिक होना चाहिए । $\alpha_i$ $1/\sigma_i^2$ सम-टू-यूनिटी प्रतिबंध उनके मूल्यों को कम करता है, उपज देता है

\hat{μ} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} / σ_{i}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} 1 / σ_{i}^{2}}

$\hat{\mu} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i / \sigma_i^2}{\sum_{i=1}^{n} 1 / \sigma_i^2}$

तथा

Var [\hat{μ}] = \frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} 1 / σ_{i}^{2}} = \frac{1}{n} {(\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{σ_{i}^{2}})}^{- 1} .

$\operatorname{Var}\left[\hat\mu\right] = \frac{1}{\sum_{i=1}^{n} 1 / \sigma_i^2} = \frac{1}{n} \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{\sigma_i^2}\right)^{-1}.$

शब्दों में,

माध्य का न्यूनतम-भिन्नता रहित अनुमानक वज़न के भिन्न रूपांतरों के विपरीत आनुपातिक बनाकर प्राप्त किया जाता है; उस अनुमानक का विचरण गुना भिन्न रूपांतरों का होता है। $1/n$

हम आम तौर पर असली variances नहीं जानते हैं । हम जो कुछ कर सकते हैं, उसके बारे में अनुमानों के विपरीत रूपांतरों (आपके मानक विचलन के वर्ग) के विपरीत आनुपातिक बनाना है और यह अच्छी तरह से काम करेगा। $\sigma_i$

— व्हीबर
स्रोत

और इस उत्तर से संबंधित है, व्हिबर से भी: आंकड़े

— हेनरी

यदि हम "टिप्पणियों को निष्पक्ष नहीं मान लेते हैं" तो क्या होगा? उस कथन के साथ आप कह रहे हैं कि यदि अनंत यादृच्छिक व्यक्तिगत मापों को अवलोकन जोड़ा जाता है तो हमें इसका मतलब म्यू मिलता है?

x_{i}

$x_i$

— user1420303