गैर-शून्य असममित विचरण के साथ एसिम्प्टोटिक स्थिरता - यह क्या दर्शाता है?

मुद्दा पहले भी सामने आया है, लेकिन मैं एक विशिष्ट प्रश्न पूछना चाहता हूं जो एक उत्तर को स्पष्ट करने का प्रयास करेगा जो इसे स्पष्ट करेगा (और वर्गीकृत करेगा):

"गरीब आदमी की विषमताएं" में, कोई भी स्पष्ट अंतर रखता है

(ए) यादृच्छिक चर का एक क्रम जो एक निरंतरता के लिए प्रायिकता में परिवर्तित होता है

के विपरीत है

(बी) यादृच्छिक चर का एक क्रम जो एक यादृच्छिक चर (और इसलिए इसके वितरण में) की संभावना में परिवर्तित होता है।

लेकिन "समझदार आदमी की विषमताएं" में, हमारे पास मामला भी हो सकता है

(सी) यादृच्छिक चर का एक क्रम जो सीमा में गैर-शून्य संस्करण बनाए रखने के दौरान संभाव्यता में परिवर्तित होता है।

मेरा प्रश्न है (नीचे मेरे स्वयं के खोजपूर्ण उत्तर से चोरी):

हम एक आकलनकर्ता कि asymptotically संगत है, लेकिन कैसे समझ सकते हैं भी एक गैर शून्य, परिमित विचरण है? यह प्रसरण क्या दर्शाता है? इसका व्यवहार "सामान्य" सुसंगत अनुमानक से कैसे भिन्न होता है?

(सी) में वर्णित घटना से संबंधित धागे (टिप्पणियों में भी देखें):

— एलेकोस पापाडोपोलोस
स्रोत

जिस तरह से आप "गरीब आदमी की विषमताएं" को भुनाने के लिए मुझे लगता है कि मुझे एक संदर्भ का लापता ज्ञान होना चाहिए (या संभवतः इसे देखा है, लेकिन इसे भूल गए हैं, जो बहुत अधिक मात्रा में है); या तो एक वास्तविक पुस्तक या कागज, या संभवतः सिर्फ एक सांस्कृतिक संदर्भ भी। मैं "गरीब आदमी का डेटा ऑग्मेंटेशन" (टान्नर और वेई) जानता हूं, लेकिन मुझे नहीं लगता कि यह उस चीज से जुड़ा है जो आप प्राप्त कर रहे हैं। मुझे किसकी याद आ रही है?

— Glen_b -Reinstate मोनिका

@GEG_B आप कुछ भी याद नहीं करते हैं - मैंने सिर्फ (= बौद्धिक पहुंच) के ज्ञान के स्तर के विपरीत शब्द बना दिया है। विषमतावादी सिद्धांत है कि मेरे जैसे लोगों को, कार्डिनल जैसे लोगों के खिलाफ है। पूंजीकरण सिर्फ एक विपणन रणनीति थी।

— एलेकोस पापाडोपोलोस

जवाबों:

मैं आपके प्रश्न का बहुत संतोषजनक उत्तर नहीं दूंगा क्योंकि ऐसा लगता है कि मैं थोड़ा बहुत खुला हुआ हूं, लेकिन मुझे इस बात पर प्रकाश डालने की कोशिश करनी चाहिए कि यह प्रश्न कठिन क्यों है।

मुझे लगता है कि आप इस तथ्य से जूझ रहे हैं कि पारंपरिक टोपोलॉजी का उपयोग हम संभावित वितरण पर करते हैं और यादृच्छिक चर खराब होते हैं। मैंने अपने ब्लॉग पर इसके बारे में एक बड़ा अंश लिखा है लेकिन मुझे संक्षेप में बताने की कोशिश करता हूं: आप अभिसरण के अर्थों के बारे में सराहनीय धारणाओं का उल्लंघन करते हुए कमजोर (और कुल-भिन्नता) अर्थों में अभिसरण कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए, आप विचलन = 1 होते हुए एक स्थिर की ओर कमजोर टोपोलॉजी में परिवर्तित हो सकते हैं (जो कि वास्तव में आपका $Z_n$ अनुक्रम कर रहा है)। इसके बाद एक सीमा वितरण (कमजोर टोपोलॉजी में) होता है, जो कि इस राक्षसी यादृच्छिक चर है जो कि 0 के बराबर समय का अधिकांश होता है, लेकिन असीम रूप से शायद ही कभी अनंत के बराबर होता है।

मैं व्यक्तिगत रूप से इसका मतलब यह लेता हूं कि कमजोर टोपोलॉजी (और कुल-भिन्नता टोपोलॉजी भी) अभिसरण की एक खराब धारणा है जिसे त्याग दिया जाना चाहिए। हमारे द्वारा वास्तव में उपयोग किए जाने वाले अधिकांश कनवर्जेन्स उससे अधिक मजबूत हैं। हालांकि, मैं वास्तव में नहीं जानता कि कमजोर टोपोलॉजी sooo के बजाय हमें क्या उपयोग करना चाहिए ...

क्या तुम सच में के बीच एक आवश्यक अंतर जानना चाहते हैं तो और , यहाँ मेरी ले रहा है: दोनों आकलनकर्ता के लिए [0,1] के बराबर हैं -loss (जब अपनी गलती का आकार कोई फर्क नहीं पड़ता)। हालांकि, काफी बेहतर है, तो अपनी गलतियों का आकार कोई फर्क है, क्योंकि है कभी कभी भयंकर रूप विफल रहता है। $\hat \theta= \bar X+Z_n$ $\tilde \theta=\bar X$ $\tilde \theta$ $\hat \theta$

— गिलौम देहेने
स्रोत

२-१०-२०१४: दुर्भाग्य से (मेरे लिए), किसी ने भी अभी तक यहाँ एक उत्तर के रूप में योगदान नहीं किया है-क्योंकि यह एक अजीब, "विकट" सैद्धांतिक मुद्दा है और इससे अधिक कुछ नहीं दिखता है?

उपयोगकर्ता कार्डिनल के लिए एक टिप्पणी उद्धृत करने के लिए अच्छी तरह से (जो मैं बाद में पता लगाऊंगा)

"यहाँ एक बेशक बेतुका है, लेकिन सरल उदाहरण है विचार वास्तव में वर्णन करने के लिए क्या गलत हो जाने के लिए और क्यों कर सकते हैं।। यह व्यावहारिक अनुप्रयोगों है (मेरे जोर) उदाहरण:। पर विचार करें परिमित दूसरे पल के साथ ठेठ आईआईडी मॉडल हैं। जहां से स्वतंत्र है और संभावना के साथ प्रत्येक और शून्य अन्यथा, के साथ है मनमाना। फिर $\hat θ_n=\bar X_n+Z_n$ $Z_n$ $\bar X_n$ $Z_n=\pm an$ $1/n^2$ $a>0$ निष्पक्ष है, से नीचे घिरा विचरण है, औरलगभग निश्चित रूप से (यह दृढ़ता से संगत है)। मैं पूर्वाग्रह के संबंध में एक अभ्यास के रूप में छोड़ता हूं ”। $\hat θ_n$ $a^2$ $\hat θ_n→\mu$

Maverick यादृच्छिक चर यहाँ , तो आइए देखें कि हम इसके बारे में क्या कह सकते हैं। चर समर्थन हासिल है इसी संभावनाओं के साथ । यह शून्य के आसपास सममित है, इसलिए हमारे पास है $Z_n$
$\{-an,0,an\}$ $\{1/n^2,1-2/n^2,1/n^2\}$

E (Z_{n}) = 0, Var (Z_{n}) = \frac{(- a n)^{2}}{n^{2}} + 0 + \frac{(a n)^{2}}{n^{2}} = 2 a^{2}

$E(Z_n) = 0,\;\; \text{Var}(Z_n) = \frac {(-an)^2}{n^2} + 0 + \frac {(an)^2}{n^2} = 2a^2$

ये क्षण पर निर्भर नहीं करते हैं इसलिए मुझे लगता है कि हमें तुच्छ रूप से लिखने की अनुमति है $n$

lim_{n \to \infty} E (Z_{n}) = 0, lim_{n \to \infty} Var (Z_{n}) = 2 a^{2}

$\lim_{n\rightarrow \infty} E(Z_n) = 0,\;\;\lim_{n\rightarrow \infty}\text{Var}(Z_n) = 2a^2$

गरीब आदमी की विषमता में, हम सीमित वितरण के क्षणों को बराबर करने के लिए क्षणों की सीमा के लिए एक शर्त के बारे में जानते हैं। तो एक निरंतर करने के लिए परिमित मामले वितरण और converges के मई के पल (के रूप में हमारे मामला है), तो, अगर इसके अलावा, $r$

\exists δ > 0 : lim sup E (| Z_{n} |^{r + δ}) < \infty

$\exists \delta >0 :\lim \sup E(|Z_n|^{r+\delta}) < \infty$

की सीमा वें क्षण होगा सीमित वितरण के मई के पल। हमारे मामले में $r$ $r$

E (| Z_{n} |^{r + δ}) = \frac{| - a n |^{r + δ}}{n^{2}} + 0 + \frac{| a n |^{r + δ}}{n^{2}} = 2 a^{r + δ} \cdot n^{r + δ - 2}

$E(|Z_n|^{r+\delta}) = \frac {|-an|^{r+\delta}}{n^2} + 0 + \frac {|an|^{r+\delta}}{n^2} = 2a^{r+\delta}\cdot n^{r+\delta-2}$

के लिए किसी के लिए इस अंतर पाया , तो यह पर्याप्त हालत विचरण के लिए नहीं रखता है (यह मतलब के लिए पकड़ करता है)। दूसरा तरीका अपनाएं: का स्पर्शोन्मुख वितरण क्या है ? क्या CDF सीमा में एक गैर-पतित CDF में परिवर्तित होता है? $r\geq2$ $\delta >0$
$Z_n$ $Z_n$

यह देखने के लिए नहीं है जैसे कि यह करता है: सीमित समर्थन किया जाएगा (अगर हम इस लिखने के लिए अनुमति दी जाती है), और इसी संभावनाओं । मेरे लिए एक निरंतर की तरह लग रहा है। लेकिन अगर हमारे पास पहले से सीमित वितरण नहीं है, तो हम इसके क्षणों के बारे में कैसे बात कर सकते हैं? $\{-\infty, 0, \infty\}$ $\{0,1,0\}$

फिर, आकलनकर्ता के लिए वापस जा , के बाद से एक निरंतर करने के लिए भी और converges, यह प्रतीत होता है कि $\hat \theta_n$ $\bar X_n$

एक (गैर तुच्छ) सीमित वितरण नहीं है, लेकिन यह सीमा पर एक विचरण करता है। या, शायद यह भिन्नता अनंत है? लेकिन एक निरंतर वितरण के साथ एक अनंत विचरण? $\hat \theta_n$

हम इसे कैसे समझ सकते हैं? यह हमें अनुमानक के बारे में क्या बताता है? सीमा पर आवश्यक अंतर है, के बीच, क्या है और ? $\hat \theta_n = \bar X_n + Z_n$ $\tilde \theta_n = \bar X_n$

— एलेकोस पापाडोपोलोस
स्रोत

मूर्खतापूर्ण संदर्भ अनुरोध: क्या आपके पास एक (अच्छा) स्रोत है: "यदि r-th पल एक स्थिर में परिवर्तित होता है, तो r से कम सभी क्षण r से सीमित क्षणों के वितरण में परिवर्तित हो जाते हैं?"। मुझे पता है कि यह सच है, लेकिन मुझे एक अच्छा स्रोत कभी नहीं मिला

— गिलोयूम देहेने

δ

$\delta$

E (| Z_{n} |^{r + δ}

$E(|Z_n|^{r+\delta}$

शायद यह अच्छा होगा कि किसी भी तरह (@ चैट में?) पिंग किया जाए ताकि वह इस चर्चा में शामिल हो जाए।

— अमीबा का कहना है कि मोनिका

@amoeba कार्डिनल एक अनुमानक है जो यहां सही उत्तर के रूप में परिवर्तित होता है, लेकिन मुझे याद है कि मैं सफलता के बिना अतीत में उसे शामिल करने की कोशिश कर रहा था।

— एलेकोस पापाडोपोलोस

n

$n$

एक अनुमानक संभावना में सुसंगत है, लेकिन एमएसई में नहीं है यदि अनुमानक "विस्फोट" की एक मध्यस्थता से छोटी संभावना है। जबकि एक दिलचस्प गणितीय जिज्ञासा, किसी भी व्यावहारिक उद्देश्य के लिए यह आपको परेशान नहीं करना चाहिए। किसी भी व्यावहारिक उद्देश्य के लिए, आकलनकर्ताओं के पास सीमित समर्थन होता है और इस तरह विस्फोट नहीं हो सकता है (वास्तविक दुनिया असीम रूप से छोटी नहीं है, न ही बड़ी है)।

यदि आप अभी भी "वास्तविक दुनिया" के निरंतर सन्निकटन का आह्वान करना चाहते हैं, और आपका सन्निकटन ऐसा है, जो संभाव्यता में रूपांतरित होता है, एमएसई में नहीं, तो इसे इस रूप में लें: आपका अनुमानक मनमाने ढंग से बड़ी संभावना के साथ सही हो सकता है, लेकिन वहाँ हमेशा यह विस्फोट का एक छोटा सा मौका होगा। सौभाग्य से, जब यह होता है, तो आप नोटिस करेंगे, ताकि अन्यथा, आप इस पर भरोसा कर सकें। :-)

— JohnRos
स्रोत

\hat{θ} = \bar{X} + Z_{n}

$\hat \theta = \bar X + Z_n$

lim E ({\hat{θ}}^{2}) = 2 a^{2}

$\lim E(\hat \theta^2) = 2a^2$

प्रश्न विशेष रूप से एक अनुमानक की व्याख्या से संबंधित है जो संभाव्यता में परिवर्तित होता है और एमएसई में नहीं होता है (एक गैर-गायब गठबंधन के कारण)।

— जॉनरोस

आप ठीक कह रहे हैं, मैंने सिर्फ एक ऋण के साथ एक प्लस चिह्न को भ्रमित किया है।

— एलेकोस पापाडोपोलोस