गामा और ची-चुकता वितरण के बीच संबंध

यदि जहां , अर्थात सभी साथ शून्य माध्य के सामान्य यादृच्छिक चर हैं, उसके बाद

Y = \sum_{i = 1}^{N} X_{i}^{2}

$Y=\sum_{i=1}^{N}X_i^2$

X_{i} \sim N (0, σ^{2})

$X_i \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)$

X_{i}

$X_i$

Y \sim Γ (\frac{N}{2}, 2 σ^{2}) .

$Y \sim \Gamma\left(\frac{N}{2},2\sigma^2\right).$

मुझे पता है कि ची-स्क्वैयर डिस्ट्रीब्यूशन गामा डिस्ट्रीब्यूशन का एक विशेष मामला है, लेकिन रैंडम वेरिएबल लिए ची-स्क्वेरड डिस्ट्रीब्यूशन नहीं कर सकता है । कोई मदद, कृपया? $Y$

chi-squared gamma-distribution

— काका
स्रोत

कुछ पृष्ठभूमि

वितरण वितरण के रूप में परिभाषित किया गया है कि के वर्गों संक्षेप से परिणाम स्वतंत्र यादृच्छिक चर , तो: जहां निरूपित करता है कि यादृच्छिक चर और एक ही वितरण (EDIT: दोनों स्वतंत्रता की डिग्री और इस तरह के वितरण के साथ एक यादृच्छिक चर ) के साथ दोनों ची चुकता वितरण को निरूपित करेंगे । अब, वितरण का pdf है $\chi^2_n$ $n$ $\mathcal{N}(0,1)$

अगर {एक्स}_{1}, ..., {एक्स}_{n} ~ एन (0, 1) और फिर स्वतंत्र हैं Y_{1} = Σ_{मैं = 1}^{n} {एक्स}_{मैं}^{2} ~ χ_{n}^{2},

$\text{If }X_1,\ldots,X_n\sim\mathcal{N}(0,1)\text{ and are independent, then }Y_1=\sum_{i=1}^nX_i^2\sim \chi^2_n,$

X \sim Y

$X\sim Y$

X

$X$

Y

$Y$ $\chi_n^2$ $n$

χ_{n}^{2}

$\chi^2_n$

च_{χ^{2}} (एक्स; n) = \frac{1}{2^{\frac{n}{2}} Γ (\frac{n}{2})} {एक्स}^{\frac{n}{2} - 1} इ^{- \frac{एक्स}{2}}, के लिये एक्स \geq 0 (तथा 0 अन्यथा)।

$f_{\chi^2}(x;n)=\frac{1}{2^\frac{n}{2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}},\quad \text{for } x\geq0\text{ (and $0$ otherwise).}$ तो, वास्तव में वितरण पीडीएफ साथ वितरण का एक विशेष मामला है। अब यह स्पष्ट है कि ।

χ_{n}^{2}

$\chi^2_n$

Γ (p, a)

$\Gamma(p,a)$

च_{Γ} (एक्स; ए, पी) = \frac{1}{ए^{पी} Γ (पी)} {एक्स}^{पी - 1} इ^{- \frac{एक्स}{ए}}, के लिये एक्स \geq 0 (तथा 0 अन्यथा)।

$f_\Gamma(x;a,p)=\frac{1}{a^p\Gamma(p)}x^{p-1}e^{-\frac{x}{a}},\quad \text{for } x\geq0\text{ (and $0$ otherwise).}$

χ_{n}^{2} \sim Γ (\frac{n}{2}, 2)

$\chi_n^2\sim\Gamma\left(\frac{n}{2},2\right)$

आपका मुकदमा

आपके मामले में अंतर आप सामान्य चर है कि है आम के साथ प्रसरण । लेकिन उस मामले में एक समान वितरण उत्पन्न होता है: इसलिए एक यादृच्छिक चर साथ गुणा करने के परिणामस्वरूप वितरण का अनुसरण करता है । यह आसानी से यादृच्छिक चर ( ) के परिवर्तन के साथ प्राप्त किया जाता है : ध्यान दें कि यह वही है जो यह कह रहा है कि $X_i$ $\sigma^2\neq1$

Y_{2} = Σ_{मैं = 1}^{n} {एक्स}_{मैं}^{2} = σ^{2} Σ_{मैं = 1}^{n} {(\frac{{एक्स}_{मैं}}{σ})}^{2} ~ σ^{2} χ_{n}^{2},

$Y_2=\sum_{i=1}^nX_i^2=\sigma^2\sum_{i=1}^n\left(\frac{X_i}{\sigma}\right)^2\sim\sigma^2\chi_n^2,$

Y

$Y$

χ_{n}^{2}

$\chi_n^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

Y_{2} = σ^{2} Y_{1}

$Y_2=\sigma^2Y_1$

च_{σ^{2} χ^{2}} (एक्स; n) = च_{χ^{2}} (\frac{एक्स}{σ^{2}}; n) \frac{1}{σ^{2}} ।

$f_{\sigma^2\chi^2}(x;n)=f_{\chi^2}\left(\frac{x}{\sigma^2};n\right)\frac{1}{\sigma^2}.$

Y_{2} \sim Γ (\frac{n}{2}, 2 σ^{2})

$Y_2\sim\Gamma\left(\frac{n}{2},2\sigma^2\right)$ चूंकि गामा के पैरामीटर द्वारा को अवशोषित किया जा सकता है ।

σ^{2}

$\sigma^2$

a

$a$

ध्यान दें

यदि आप स्क्रैच (जो कि छोटे बदलावों के तहत के साथ स्थिति पर भी लागू होता है) से the की pdf प्राप्त करना चाहते हैं , तो आप मानक परिवर्तन का उपयोग करके लिए पहले चरण का अनुसरण कर सकते हैं। यादृच्छिक चर के लिए। उसके बाद, आप या तो अगले चरणों का पालन कर सकते हैं या गामा वितरण के गुणों में भरोसा करने वाले सबूत को छोटा कर सकते हैं और ऊपर वर्णित साथ इसके संबंध । $\chi^2_n$ $\sigma^2\neq1$ $\chi_1^2$ $\chi^2_n$

— epsilone
स्रोत

अच्छा वर्णन (+1)। लेकिन मुझे संदेह है जब आप कहते हैं कि संभवतः यह होना चाहिए जहांऔर अंत में,

Y_{2} \sim σ^{2} χ_{n}^{2},

$Y_2\sim\sigma^2\chi_n^2,$

Y_{2} = σ^{2} U,

$Y_2=\sigma^2U,$

U \sim χ_{n}^{2} .

$U\sim\chi_n^2.$

f_{σ^{2} U} (x; n) = f_{χ^{2}} (\frac{x}{σ^{2}}; n) \frac{1}{σ^{2}} .

$f_{\sigma^2 U}(x;n)=f_{\chi^2}\left(\frac{x}{\sigma^2};n\right)\frac{1}{\sigma^2}.$

— काका

धन्यवाद @ काका। पहले बिंदु पर, वास्तव में संकेतन मैं उस यादृच्छिक चर का जिक्र कर रहा हूं जो तब उत्पन्न होता है जब आप एक चर को गुणा करते हैं , इसलिए हम दोनों एक ही कह रहे हैं। .. दूसरे बिंदु पर, याद रखें कि वह संकेतन है जिसका उपयोग मैंने a के घनत्व को संदर्भित करने के लिए किया था (पैरामीटर एक दूसरे तर्क के रूप में प्रकट होता है)। आपके नोटेशन के साथ, का घनत्व रूप में पढ़ा जाएगा , जो भी ठीक है, लेकिन आप दो बार दोहरा रहे हैं ।

σ^{2} χ_{n}^{2}

$\sigma^2\chi_n^2$

χ_{n}^{2}

$\chi^2_n$

σ^{2}

$\sigma^2$

f_{χ^{2}} (x; n)

$f_{\chi^2}(x;n)$

χ_{n}^{2}

$\chi^2_n$

n

$n$

σ^{2} χ_{n}^{2}

$\sigma^2\chi^2_n$

f_{χ_{n}^{2}} (x; n)

$f_{\chi_n^2}(x;n)$

n

$n$

— एप्सिलोन

लेकिन पहले ही समीकरण में आपने को वितरण के रूप में परिभाषित किया

X_{n}^{2}

$\mathcal{X}_n^2$

\sum_{i = 1}^{N} X_{i}^{2} .

$\sum_{i=1}^N X_i^2.$

— काका

हाँ, और के लिए समीकरण में 'एस विचरण , इसलिए की तरह है पहले समीकरण में।

Y_{2}

$Y_2$

X_{i}

$X_i$

σ^{2}

$\sigma^2$

\frac{X_{i}}{σ}

$\frac{X_i}{\sigma}$

X_{i}

$X_i$

— एप्सिलोन

χ_{n}^{2}

$\chi_n^2$ स्वतंत्रता की डिग्री के साथ ची वितरण फ़ंक्शन को दर्शाता है और इस तरह के वितरण का एक यादृच्छिक चर भी है। यह शायद संकेतन का दुरुपयोग है, लेकिन अर्थ स्पष्ट होना चाहिए। मैं उत्तर को स्पष्ट करने के लिए फिर भी इसे संपादित करूंगा।

n

$n$

— एप्सिलोन