प्रश्न का कठिन उत्तर यह है कि 95% आत्मविश्वास अंतराल आपको 95% विश्वास दिलाता है कि सही पैरामीटर मान अंतराल के भीतर है। हालांकि, वह मोटा जवाब अधूरा और गलत दोनों है।
अपूर्णता इस तथ्य में निहित है कि यह स्पष्ट नहीं है कि "95% आत्मविश्वास" का अर्थ कुछ भी ठोस है, या यदि ऐसा होता है, तो यह ठोस अर्थ सांख्यिकीय रूप से भी एक छोटे से नमूने द्वारा सार्वभौमिक रूप से सहमत नहीं होगा। आत्मविश्वास का अर्थ इस बात पर निर्भर करता है कि अंतराल प्राप्त करने के लिए किस पद्धति का उपयोग किया गया था और किस मॉडल का उपयोग किया जा रहा है (जो मुझे आशा है कि नीचे स्पष्ट हो जाएगा)।
अशुद्धि इस तथ्य में निहित है कि बहुत से आत्मविश्वास अंतराल आपको विशेष प्रायोगिक मामले के लिए वास्तविक पैरामीटर मान के स्थान के बारे में कुछ भी बताने के लिए डिज़ाइन नहीं किए गए हैं जो आत्मविश्वास अंतराल उत्पन्न करता है! यह कई लोगों के लिए आश्चर्यचकित करने वाला होगा, लेकिन यह सीधे नेमन-पियर्सन दर्शन से है जो इस उद्धरण में उनके 1933 के पेपर "सांख्यिकीय परिकल्पना के सबसे कुशल परीक्षणों की समस्या" से स्पष्ट रूप से कहा गया है:
हम यह सोचने के लिए इच्छुक हैं कि जहां तक एक विशेष परिकल्पना का संबंध है, संभावना के सिद्धांत पर आधारित कोई भी परीक्षण स्वयं उस परिकल्पना के सत्य या असत्य के कोई भी मूल्यवान प्रमाण प्रदान नहीं कर सकता है।
लेकिन हम परीक्षण के उद्देश्य को दूसरे दृष्टिकोण से देख सकते हैं। यह जानने की उम्मीद किए बिना कि क्या प्रत्येक अलग परिकल्पना सत्य है या गलत है, हम उनके संबंध में उनके साथ व्यवहार करने के लिए नियमों की खोज कर सकते हैं, जिसके बाद हम यह सुनिश्चित करते हैं कि, लंबे समय के अनुभव में, हम अक्सर गलत नहीं होंगे।
अंतराल जो कि एनपी परिकल्पना परीक्षणों के 'उलटा' पर आधारित होते हैं, इसलिए उस परीक्षण से विरासत में मिलेंगे, जो लंबे समय तक त्रुटि वाले गुणों को ज्ञात करने की प्रकृति के परीक्षण के गुणों के बारे में अनुमान लगाए बिना उन्हें उपज देता है! मेरी समझ यह है कि यह आगमनात्मक आक्रमण से बचाता है, जिसे नेमन ने स्पष्ट रूप से एक घृणित माना है।
नेमन ने स्पष्ट रूप से 'विश्वास अंतराल' शब्द का दावा किया है और अपने 1941 बायोमेट्रिक पेपर "फिडुकल तर्क और विश्वास अंतराल के सिद्धांत" में विश्वास अंतराल के सिद्धांत की उत्पत्ति के लिए। एक अर्थ में, तब, जो कुछ भी ठीक से एक आत्मविश्वास अंतराल है, वह अपने नियमों से खेलता है और इसलिए एक व्यक्तिगत अंतराल का अर्थ केवल उस लंबी अवधि की दर के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है जिस पर उस पद्धति द्वारा गणना किए गए अंतराल प्रासंगिक सत्य होते हैं (कवर) पैरामीटर मान।
हमें अब चर्चा को कांटे की शक्ल देने की जरूरत है। एक स्ट्रैंड 'कवरेज' की धारणा का अनुसरण करता है, और दूसरा नॉन-नेमैनियन अंतराल का अनुसरण करता है जो आत्मविश्वास के अंतराल की तरह होता है। मैं पूर्व को स्थगित कर दूंगा ताकि बहुत लंबा होने से पहले मैं इस पद को पूरा कर सकूं।
कई अलग-अलग दृष्टिकोण हैं जो उपज अंतराल को गैर-नेमैनियन विश्वास अंतराल कहा जा सकता है। इनमें से पहला है फिशर का फिडुकल अंतराल। ('फिडुकियल' शब्द कई लोगों को डरा सकता है और दूसरों से अलग-थलग कर सकता है, लेकिन मैं इसे एक तरफ छोड़ दूंगा ...) कुछ प्रकार के डेटा के लिए (जैसे कि अज्ञात जनसंख्या विचरण के साथ सामान्य) फिशर की विधि द्वारा गणना किए गए अंतराल संख्यात्मक रूप से समान हैं। अंतराल जो कि नेमैन की विधि द्वारा गणना की जाएगी। हालांकि, वे व्याख्याओं को आमंत्रित करते हैं जो कि बिल्कुल विरोध में हैं। नेमैनियन अंतराल विधि के केवल लंबे समय तक कवरेज गुणों को दर्शाते हैं, जबकि फिशर के अंतराल का उद्देश्य विशेष प्रयोग के लिए वास्तविक पैरामीटर मानों के संबंध में आगमनात्मक निष्कासन का समर्थन करना है।
तथ्य यह है कि अंतराल सीमा का एक सेट दो दार्शनिक रूप से अलग-अलग प्रतिमानों के आधार पर तरीकों से आ सकता है, वास्तव में भ्रामक स्थिति पैदा करता है - परिणामों की व्याख्या दो विरोधाभासी तरीकों से की जा सकती है। फिड्यूअल तर्क से 95% संभावना है कि एक विशेष 95% फिडुकल अंतराल में सही पैरामीटर मान होगा। नेमन की पद्धति से हम केवल इतना ही जानते हैं कि उस तरीके से गणना किए गए अंतराल के 95% में सही पैरामीटर मान होगा, और यह कहना होगा कि अंतराल की संभावना के बारे में भ्रमित करने वाली चीजें हैं जिनमें सच्चे पैरामीटर मान अज्ञात है लेकिन 1 या 0 है।
काफी हद तक, नेमन के दृष्टिकोण ने फिशर के ऊपर बोलबाला कर दिया है। मेरी राय में, यह सबसे दुर्भाग्यपूर्ण है, क्योंकि इससे अंतराल की स्वाभाविक व्याख्या नहीं होती है। (नेमन और पियर्सन के ऊपर दिए गए उद्धरण को फिर से पढ़ें और देखें कि क्या यह प्रायोगिक परिणामों की आपकी प्राकृतिक व्याख्या से मेल खाता है। अधिकांश ऐसा नहीं होता है।)
यदि वैश्विक त्रुटि दर के संदर्भ में एक अंतराल की सही ढंग से व्याख्या की जा सकती है, लेकिन स्थानीय हीनता की दृष्टि से भी सही है, तो मुझे बाद के उपयोगकर्ताओं द्वारा अधिक प्राकृतिक व्याख्या से अंतराल उपयोगकर्ताओं को बार करने का एक अच्छा कारण नहीं दिखता है। इस प्रकार मेरा सुझाव है कि एक विश्वास अंतराल की उचित व्याख्या निम्नलिखित में से एक है:
नेमैनियन: यह 95% अंतराल एक विधि द्वारा निर्मित किया गया था जो लंबे समय में (हमारे सांख्यिकीय अनुभव के ...) में 95% अवसरों पर वास्तविक पैरामीटर मान को कवर करने वाले अंतराल पैदा करता है।
फिशरियन: इस 95% अंतराल में सच्चे पैरामीटर मान को कवर करने की 95% संभावना है।
(बायेसियन और संभावना के तरीके भी वांछनीय लगातार गुणों के साथ अंतराल प्राप्त करेंगे। इस तरह के अंतराल थोड़ा अलग व्याख्याओं को आमंत्रित करते हैं जो शायद नेमैनियन की तुलना में अधिक प्राकृतिक महसूस करेंगे।)