एआर की स्थिरता के लिए एक प्रमाण (2)


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एक मतलब केंद्रित एआर (2) प्रक्रिया पर विचार

Xt=ϕ1Xt1+ϕ2Xt2+ϵt
जहां ϵt मानक सफेद शोर प्रक्रिया है। बस सादगी की खातिर मुझे फोन करते हैं ϕ1=b और ϕ2=a । विशेषताओं की जड़ों पर ध्यान केंद्रित समीकरण मुझे मिल गया
z1,2=b±b2+4a2a
पाठ्यपुस्तकों में शास्त्रीय स्थिति निम्नलिखित हैं:
{|a|<1a±b<1
मैं यानी प्रणाली (मेथेमेटिका की मदद से) मैन्युअल रूप से हल करने के लिए जड़ों पर असमानताओं, की कोशिश कीप्राप्त करने के सिर्फएक±<1Can तीसरे हालत (|एक|<1) हो रही है एक दूसरे के लिए पिछले दो समाधान जोड़ने की वसूली जाएक++एक-<2एक<1है कि कुछ संकेत विचार के माध्यम से हो जाता है| | <1? या मुझे कोई हल याद आ रहा है?
{|bb2+4a2a|>1|b+b2+4a2a|>1
a±b<1
|a|<1a+b+ab<2a<1|a|<1

जवाबों:


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मेरा अनुमान है कि आप जिस विशिष्ट समीकरण से प्रस्थान कर रहे हैं, वह मेरा अलग है। मुझे सहमत होने के लिए मुझे कुछ चरणों में आगे बढ़ना चाहिए।

पर विचार करें समीकरण

λ2ϕ1λϕ2=0

यदि z "मानक" विशेषता समीकरण का एक जड़ है 1ϕ1zϕ2z2=0 और सेटिंग z1=λ, मानक एक को फिर से लिखने के रूप में इस से प्रदर्शन प्राप्त:

1ϕ1zϕ2z2=0z2ϕ1z1ϕ2=0λ2ϕ1λϕ2=0
इसलिए,AR(2)की स्थिरता के लिए एक वैकल्पिक स्थितियह है कि पहले डिस्प्ले की सभी जड़ेंयूनिट सर्कल केअंदरहोती हैं|z|>1|λ|=|z1|<1

हम प्राप्त करने के लिए इस प्रतिनिधित्व का उपयोग stationarity त्रिकोण एक का AR(2) प्रक्रिया, कि है कि एक AR(2) स्थिर है अगर निम्न तीन शर्तों को पूरा करते हैं:

  1. ϕ2<1+ϕ1
  2. ϕ2<1ϕ1
  3. ϕ2>1

याद तुम (यदि वास्तविक) पहले प्रदर्शन की जड़ों में लिख सकते हैं कि के रूप में

λ1,2=ϕ1±ϕ12+4ϕ22
पहले दो शर्तों को खोजने के लिए 2

फिर, AR(2) स्थिर iff |λ|<1 , इसलिए (यदि λi असली हैं):

1<ϕ1±ϕ12+4ϕ22<12<ϕ1±ϕ12+4ϕ2<2
दो की बड़ी λi से घिरा है ϕ1+ϕ12+4ϕ2<2 , या:
ϕ1+ϕ12+4ϕ2<2ϕ12+4ϕ2<2ϕ1ϕ12+4ϕ2<(2ϕ1)2ϕ12+4ϕ2<44ϕ1+ϕ12ϕ2<1ϕ1
ϕ2<1+ϕ1

λiϕ12<4ϕ2

λ1,2=ϕ1/2±i(ϕ12+4ϕ2)/2.
The squared modulus of a complex number is the square of the real plus the square of the imaginary part. Hence,
λ2=(ϕ1/2)2+((ϕ12+4ϕ2)/2)2=ϕ12/4(ϕ12+4ϕ2)/4=ϕ2.
This is stable if |λ|<1, hence if ϕ2<1 or ϕ2>1, as was to be shown. (The restriction ϕ2<1 resulting from ϕ22<1 is redundant in view of ϕ2<1+ϕ1 and ϕ2<1ϕ1.)

Plotting the stationarity triangle, also indicating the line that separates complex from real roots, we get

enter image description here

Produced in R using

phi1 <- seq(from = -2.5, to = 2.5, length = 51) 
plot(phi1,1+phi1,lty="dashed",type="l",xlab="",ylab="",cex.axis=.8,ylim=c(-1.5,1.5))
abline(a = -1, b = 0, lty="dashed")
abline(a = 1, b = -1, lty="dashed")
title(ylab=expression(phi[2]),xlab=expression(phi[1]),cex.lab=.8)
polygon(x = phi1[6:46], y = 1-abs(phi1[6:46]), col="gray")
lines(phi1,-phi1^2/4)
text(0,-.5,expression(phi[2]<phi[1]^2/4),cex=.7)
text(1.2,.5,expression(phi[2]>1-phi[1]),cex=.7)
text(-1.75,.5,expression(phi[2]>1+phi[1]),cex=.7)

this is a very detailed explanation.
Marco

@Christoph: Is there a typo in the answer? Look at equation for λ2. Also, what do you mean by square of a complex number? If z=a+bi then z2=a2b2+2iab. How do you say square of a complex number is "square of the real plus the square of the imaginary part"
shani

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Thanks, quite right! I was referring to the sqaured modulus, see the edit.
Christoph Hanck

@ChristophHanck, what is your take on Aksakal's answers in these two threads: 1 and 2? Are they in conflict with your answer, and if so, what is the correct answer?
Richard Hardy

I think he is quite right when defining weak stationarity as constancy of the first two moments. Often, and also in the present thread, "stationarity" and "existence of a causal representation", i.e., a summable MA() representation without dependence on the future, are conflated. What my answer therefore more precisely shows is conditions for the existence of the latter.
Christoph Hanck
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