एक परिवर्तन के तहत फिशर जानकारी देखी

वाई। पवन द्वारा "ऑल लाइकलीहुड: स्टैटिस्टिकल मॉडलिंग एंड इन्वेंशन यूज़ लाइकलीहुड" से, री-पैरामीटराइजेशन की संभावना को रूप में परिभाषित किया गया है। ताकि यदि एक-से-एक है, तो (पृष्ठ 45)। मैं एक्सरसाइज 2.20 दिखाने की कोशिश कर रहा हूं जिसमें कहा गया है कि अगर स्केलर है (और मुझे लगता है कि को स्केलर फ़ंक्शन के रूप में अच्छी तरह से माना जाता है), तो जहां $\theta\mapsto g(\theta)=\psi$

L^{*} (ψ) = max_{{θ : g (θ) = ψ}} L (θ)

$L^*(\psi)=\max_{\{\theta:g(\theta)=\psi\}} L(\theta)$

g

$g$

L^{*} (ψ) = L (g^{- 1} (ψ))

$L^*(\psi)=L(g^{-1}(\psi))$

θ

$\theta$

g

$g$

I^{*} (g (\hat{θ})) = I (\hat{θ}) {| \frac{\partial g (\hat{θ})}{\partial \hat{θ}} |}^{- 2},

$I^*(g(\hat{\theta}))=I(\hat{\theta})\left|\frac{\partial g(\hat{\theta})}{\partial \hat{\theta}}\right|^{-2},$

I (θ) = - \frac{\partial^{2}}{\partial θ^{2}} l (θ)

$I(\theta)=-\frac{\partial^2}{\partial\theta^2} l(\theta)$ मनाया गया फिशर जानकारी और

l (θ) = \log L (θ)

$l(\theta)=\log L(\theta)$ ।

अगर $g$ वन-टू-वन है तो चेन-रूल और इनविजिबल सिद्धांत का उपयोग करते हुए यह सीधा है। मैं बस कुछ चीजों के बारे में सोच रहा हूं:

वह निरपेक्ष मूल्य लिखने पर जोर क्यों देता है? यह छोड़ दिया जा सकता है, है ना?
द्वारा $\frac{\partial g(\hat{\theta})}{\partial \hat{\theta}}$ वह समारोह का मतलब है $\frac{\partial g(\theta)}{\partial \theta}$ पर मूल्यांकन किया जाता $\theta=\hat{\theta}$ , है ना? यदि यह मामला है, तो क्या यह नोटेशन का खराब विकल्प नहीं है? मेरा मानना है कि इस कृमि के लिए सामान्य शॉर्टहैंड नोटेशन $\frac{\partial g(\hat{\theta})}{\partial \theta}$ ।
यह कैसे दिखाया जाता है जब $g$ जरूरी एक-से-एक नहीं है?

— स्टीफन हैनसेन
स्रोत

निरपेक्ष मूल्य अनावश्यक है। यह सिर्फ एक टाइपो हो सकता है।
तुम सही हो। इससे भी बेहतर अंकन होगा $\frac{dg(\theta)}{d\theta}\Bigg|_{\theta=\hat{\theta}}$ ।
यह सामान्य रूप से धारण नहीं करता है। कुछ ठीक करें और को । व्युत्पन्न हर लिए शून्य होने के बाद से खंड अपरिभाषित होगा । $\psi_0$ $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ $g(\theta)=\psi_0$ $\theta$

नियमित मामले का एक स्केच:

चिकनी के लिए वन-टू-वन साथ । चूँकि, , हमारे पास इसलिए, $g$ $\psi=g(\theta)$ $d/d\psi = d\theta/d\psi\cdot d/d\theta$

\begin{aligned} I^{*} (ψ) & = - \frac{d^{2} L^{*} (ψ)}{d ψ^{2}} = - \frac{d}{d ψ} (\frac{d L^{*} (ψ)}{d ψ}) = - \frac{d}{d ψ} (\frac{d L^{*} (ψ)}{d θ} \frac{d θ}{d ψ}) \\ = - \frac{d^{2} L^{*} (ψ)}{d θ^{2}} {(\frac{d θ}{d ψ})}^{2} - \frac{d L^{*} (ψ)}{d θ} \frac{d^{2} θ}{d ψ^{2}} \frac{d θ}{d ψ} . \end{aligned}

$\begin{align} I^*(\psi) &= -\frac{d^2L^*(\psi)}{d\psi^2} = -\frac{d}{d\psi}\left(\frac{dL^*(\psi)}{d\psi} \right) = -\frac{d}{d\psi}\left(\frac{dL^*(\psi)}{d\theta} \frac{d\theta}{d\psi}\right) \\ &= - \frac{d^2L^*(\psi)}{d\theta^2}\left(\frac{d\theta}{d\psi}\right)^2 - \frac{dL^*(\psi)}{d\theta}\frac{d^2\theta}{d\psi^2} \frac{d\theta}{d\psi}\, . \end{align}$

\begin{aligned} I^{*} (g (\hat{θ})) & = - \frac{d^{2} L^{*} (g (\hat{θ}))}{d θ^{2}} {(\frac{d θ}{d ψ})}^{2} - \frac{d L^{*} (g (\hat{θ}))}{d θ} \frac{d^{2} θ}{d ψ^{2}} \frac{d θ}{d ψ} \\ = - \frac{d^{2} L (g^{- 1} (g (\hat{θ})))}{d θ^{2}} {(\frac{d g (θ)}{d θ} |_{θ = g^{- 1} (g (\hat{θ}))})}^{- 2} - \frac{d L (g^{- 1} (g (\hat{θ})))}{d θ} \frac{d^{2} θ}{d ψ^{2}} \frac{d θ}{d ψ} \\ = I (\hat{θ}) {(\frac{d g (θ)}{d θ} |_{θ = \hat{θ}})}^{- 2}, \end{aligned}

$\begin{align} I^*(g(\hat{\theta})) &= -\frac{d^2L^*(g(\hat{\theta}))}{d\theta^2}\left(\frac{d\theta}{d\psi}\right)^2 - \frac{dL^*(g(\hat{\theta}))}{d\theta}\frac{d^2\theta}{d\psi^2} \frac{d\theta}{d\psi} \\ &= -\frac{d^2L(g^{-1}(g(\hat{\theta})))}{d\theta^2} \left(\frac{dg(\theta)}{d\theta}\Bigg|_{\theta=g^{-1}(g(\hat{\theta}))}\right)^{-2} - \frac{dL(g^{-1}(g(\hat{\theta})))}{d\theta}\frac{d^2\theta}{d\psi^2} \frac{d\theta}{d\psi} \\ &= I(\hat{\theta}) \left(\frac{dg(\theta)}{d\theta}\Bigg|_{\theta=\hat{\theta}}\right)^{-2} \, , \end{align}$ जिसमें हमने ।

d L (g^{- 1} (g (\hat{θ}))) / d θ = d L (\hat{θ}) / d θ = 0

$dL(g^{-1}(g(\hat{\theta})))/d\theta=dL(\hat{\theta})/d\theta=0$

— जेन
स्रोत

मेरे सभी संदेहों को दूर करने के लिए और निरंतर साथ उस सरल प्रति-उदाहरण के लिए धन्यवाद । नियमित मामले का आपका स्केच मेरे द्वारा किए गए समान है, इसलिए यह सब अच्छा है। धन्यवाद।

g

$g$

— स्टीफन हैनसेन