क्रमिक रूप से एक गेंद का चयन करके और इसे चिह्नित करके गेंदों की संख्या का अनुमान लगाना

Question

कहते हैं कि मेरे पास एक बैग में एन बॉल हैं। अपने पहले ड्रॉ पर, मैं गेंद को चिह्नित करता हूं और इसे बैग में बदल देता हूं। अपने दूसरे ड्रॉ पर, अगर मैं एक चिह्नित गेंद उठाता हूं तो मैं इसे बैग में वापस कर देता हूं। यदि, हालांकि, मैं एक गैर-चिह्नित गेंद उठाता हूं तो मैं इसे चिह्नित करता हूं और इसे बैग में वापस करता हूं। मैं इसे किसी भी संख्या में ड्रा के लिए जारी रखता हूं। बैग में अपेक्षित संख्या में ड्रॉ दिए गए और ड्रॉ के चिह्नित / अचिह्नित इतिहास की अपेक्षित संख्या क्या है?

Comments

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— a.arfe

"अपेक्षित संख्या" को एक अपेक्षित मूल्य के सामान्य तकनीकी अर्थ में नहीं समझा जा सकता है, क्योंकि इसके लिए कोई संभावना वितरण नहीं है $N$। ऐसा लगता है जैसे आप एक अनुमानक के लिए पूछ रहे हैं$N$।

— whuber

Answer 1

यहाँ एक विचार है। चलो$\mathcal{I}$ प्राकृतिक संख्याओं का एक सूक्ष्म उपसमुच्चय बनें जो इसके लिए संभावित मूल्यों के रूप में काम करेगा $N$। मान लीजिए कि हमारे पास पहले से अधिक वितरण है$\mathcal{I}$। एक गैर-यादृच्छिक सकारात्मक पूर्णांक को ठीक करें$M$। चलो$k$ एक बार में एक गेंद को चिह्नित करने की संख्या को दर्शाते हुए यादृच्छिक चर हो $M$बैग से खींचता है। लक्ष्य खोजना है$E(N|k)$। इसका कार्य होगा$M,k$ और पूर्व।

बायस नियम से हमारे पास है

$$\begin{align} P(N=j|k) &= \frac{P(k|N=j)P(N=j)}{P(k)}\\ &= \frac{P(k|N=j)P(N=j)}{\sum_{r \in \mathcal{I}} P(k|N=r)P(N=r)} \end{align}$$

कम्प्यूटिंग $P(k|N=j)$ एक ज्ञात गणना है जो कूपन कलेक्टरों की समस्या पर एक प्रकार है। $P(k|N=j)$ संभावना है कि हम निरीक्षण करते हैं $k$ में अलग कूपन $M$ जब होते हैं तब ड्रॉ होता है $j$कुल में कूपन। के लिए एक तर्क के लिए यहाँ देखें

$$P(k|N=j) = \frac{\binom{j}{k}k!S(M,k)}{j^M}$$

जहां दूसरी तरह की एक स्टर्लिंग संख्या को दर्शाता है । हम फिर गणना कर सकते हैं$S$

$$E(N|k) = \sum_{j \in \mathcal{I}}jP(N=j|k)$$

नीचे विभिन्न और लिए कुछ गणनाएँ दी गई हैं । प्रत्येक मामले में हम पर एक समान का उपयोग करते हैं$k$$M$$[k,10k]$

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline M & k & E(N)\\\hline 10 & 5 & 7.99 \\ 15 & 5 & 5.60 \\ 15 & 10 & 23.69\\ 30 & 15 & 20.00\\ 30 & 20 & 39.53 \\ \hline \end{array}$$