के लिए न्यूनतम विचरण के साथ निष्पक्ष अनुमानक

चलो $X_1, ...,X_n$ एक यादृच्छिक नमूना एक वितरण फ़ोम होना $Geometric(\theta)$ के लिये $0<\theta<1$ । अर्थात,

p_{θ} (x) = θ (1 - θ)^{x - 1} I_{{1, 2, . . .}} (x)

$p_{\theta}(x)=\theta(1-\theta)^{x-1} I_{\{1,2,...\}}(x)$

के लिए न्यूनतम विचरण के साथ निष्पक्ष अनुमानक का पता लगाएं $g(\theta)=\frac{1}{\theta}$

मेरा प्रयास:

चूंकि ज्यामितीय वितरण घातीय परिवार से है, आंकड़े

\sum X_{i}

$\sum X_i$ के लिए पूर्ण और पर्याप्त है

θ

$\theta$ । इसके अलावा यदि

T (X) = X_{1}

$T(X)=X_1$ के लिए एक अनुमानक है

g (θ)

$g(\theta)$ , यह निष्पक्ष है। इसलिए, राव-ब्लैकवेल प्रमेय और लेहमैन-शेफ़े प्रमेय द्वारा,

W (X) = E [X_{1} | \sum X_{i}]

$W(X) = E[X_1|\sum X_i]$ अनुमानक है जिसे हम ढूंढ रहे हैं।

हमारे पास निम्नलिखित हैं:

$W(X) = \sum_{i=1}^t i\, P(X_1=i|\sum X_i =t) = \sum_{i=1}^t i\, \frac{P(\sum_{i \geq 2} X_i =t-i)P(X_1=i)}{P(\sum_{i \geq 1}X_i =t)}$

चूंकि चर iid ज्यामितीय हैं, इसलिए sums वितरण दोनों नकारात्मक द्विपद हैं। लेकिन मुझे द्विपद गुणांक को बढ़ाने और बेहतर रूप के साथ अंतिम उत्तर देने में परेशानी हो रही है, अगर यह संभव है। मुझे कुछ मदद मिल सकती है तो मुझे खुशी होगी।

धन्यवाद!

संपादित करें: मुझे नहीं लगता कि आप लोग मेरे संदेह को समझते हैं: Ithink मैंने सभी सही कदम उठाए, शायद केवल कुछ संकेतक फ़ंक्शन भूल गए। मैंने जो किया था यह रहा:

. . . = \sum_{i = 1}^{t} i \frac{(\binom{t - i - 1}{n - 2}) θ^{n - i} (1 - θ)^{t - i - n + 1} θ (1 - θ)^{i - 1}}{(\binom{t - 1}{n - 1}) θ^{n} (1 - θ)^{t - n}} = \sum_{i = 1}^{t} i \frac{(\binom{t - i - 1}{n - 2})}{(\binom{t - 1}{n - 1})}

$...=\sum_{i=1}^ti\frac{\binom{t-i-1}{n-2}\theta^{n-i}(1-\theta)^{t-i-n+1} \theta(1-\theta)^{i-1}}{\binom{t-1}{n-1}\theta^n(1-\theta)^{t-n}}=\sum_{i=1}^t i \frac{\binom{t-i-1}{n-2}}{\binom{t-1}{n-1}}$

जैसा कि मैंने कहा, मुझे इसे सरल बनाने और दैहिक सूचकांक के साथ परेशानी हो रही है

— Giiovanna
स्रोत

वास्तव में जियोमेट्रिक वेरिएंट, , और राव-ब्लैकवेल प्रमेय ने उस अद्वितीय न्यूनतम प्रसरण निष्पक्ष अन्वेषक है। लेकिन सीधे इस सशर्त अपेक्षा की गणना करने की कोशिश करने के बजाय, कोई भी यह कह सकता है कि इसलिए कि ध्यान दें, संयोग से, कि ${\cal G}(\theta)$ $X$

E_{θ} [X] = 1 / θ = g (θ)

$\mathbb{E}_\theta[X]=1/\theta=g(\theta)$

\hat{θ} (T) = E_{θ} [X_{1} | \sum_{i = 1}^{n} X_{i} = T]

$\hat{\theta}(T)=\mathbb{E}_\theta\left[X_1\Bigg|\sum_{i=1}^n X_i=T\right]$

E_{θ} [X_{1} | \sum_{i = 1}^{n} X_{i} = T] = \dots = E_{θ} [X_{n} | \sum_{i = 1}^{n} X_{i} = T]

$\mathbb{E}_\theta\left[X_1\Bigg|\sum_{i=1}^n X_i=T\right]=\ldots=\mathbb{E}_\theta\left[X_n\Bigg|\sum_{i=1}^n X_i=T\right]$

E_{θ} [X_{1} | \sum_{i = 1}^{n} X_{i} = T] = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} E_{θ} [X_{i} | \sum_{i = 1}^{n} X_{i} = T] = \frac{T}{n}

$\mathbb{E}_\theta\left[X_1\Bigg|\sum_{i=1}^n X_i=T\right]=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \mathbb{E}_\theta\left[X_i\Bigg|\sum_{i=1}^n X_i=T\right]=\frac{T}{n}$

\sum_{j \geq 2} X_{j}

$\sum_{j\ge 2} X_j$ एक नकारात्मक द्विपद इसलिए अंतिम राशि चाहिए be

N e g (n - 1, θ)

$\cal{N}eg(n-1,\theta)$

P (\sum_{j \geq 2} X_{j} = m) = (\binom{m - 1}{n - 2}) θ^{n - 1} (1 - θ)^{m - n + 1} I_{m > n - 1}

$\mathbb{P}\left(\sum_{j\ge 2} X_j=m\right)={m-1\choose n-2}\theta^{n-1}(1-\theta)^{m-n+1}\mathbb{I}_{m>n-1}$

\sum_{i = 1}^{t - n + 1} i (\binom{t - i - 1}{n - 2}) / (\binom{t - 1}{n - 1})

$\sum_{i=1}^{t-n+1} i {\binom{t-i-1}{n-2}}\bigg/{\binom{t-1}{n-1}}$

— शीआन
स्रोत