आवधिक को लगभग आवधिक डेटा से अलग करने के लिए परीक्षण करें

Question

मान लीजिए मैं कुछ अज्ञात समारोह है डोमेन के साथ ℝ , जो मैं निरंतरता जैसे कुछ उचित शर्तों को पूरा करने के लिए पता है। मुझे कुछ समान समतुल्य नमूने अंक t_i = t_0 + i_t के साथ i∈ \ {1,…, n \} पर f (क्योंकि डेटा एक सिमुलेशन से आता है) के सटीक मूल्यों को जानते हैं , जिसे मैं सभी को पकड़ने के लिए पर्याप्त रूप से ठीक मान सकता हूं एफ के प्रासंगिक पहलुओं , उदाहरण के लिए, मैं मान सकता हूं कि दो नमूना बिंदुओं के बीच में एफ के अधिकांश एक स्थानीय चरम पर है । मैं एक परीक्षण की तलाश कर रहा हूं जो मुझे बताता है कि क्या मेरा डेटा f के साथ आवधिक रूप से अनुपालन करता है , अर्थात, ∃τ: f (t + () = f (t) \, ∀ \, t$f$$ℝ$$f$$t_i=t_0 + iΔt$$i∈\{1,…,n\}$$f$$f$$f$$∃τ: f(t+τ)=f(t) \,∀\,t$, जिसकी अवधि कुछ हद तक गूंजती रहती है, उदाहरण के लिए $Δt < τ < n·Δt$ (लेकिन यह बोधगम्य है कि जरूरत पड़ने पर मैं मजबूत अवरोध बना सकता हूं)।

एक अन्य दृष्टिकोण से, मेरे पास डेटा ${x_0, …, x_n}$ और मैं एक ऐसे परीक्षण की तलाश में हूं जो इस सवाल का उत्तर दे कि क्या एक आवधिक कार्य $f$ (उपरोक्त शर्तों को पूरा करना) मौजूद है जैसे कि $f(t_i)=x_i ∀ i$ ।

महत्वपूर्ण बिंदु यह है कि $f$ आवधिकता के कम से कम बहुत करीब है (यह उदाहरण के लिए हो सकता है $f(t) := \sin(g(t)·t)$ या $f(t) := g(t)·\sin(t)$ के साथ $g'(t) ≪ g(t_0)/Δt$ ) इस हद तक कि एक छोटी राशि से एक डेटा बिंदु को बदलने डेटा का अनुपालन सुनिश्चित करने के लिए पर्याप्त होता है करने के लिए $f$ वास्तव में समय-समय पर किया जा रहा है। इस प्रकार फूरियर रूपांतरण या शून्य क्रॉसिंग का विश्लेषण करने जैसी आवृत्ति विश्लेषण के मानक उपकरण बहुत मदद नहीं करेंगे।

ध्यान दें कि मैं जिस परीक्षण की तलाश कर रहा हूं वह संभवतः संभाव्य नहीं होगा।

मेरे पास कुछ विचार हैं कि इस तरह के परीक्षण को खुद कैसे डिजाइन किया जाए लेकिन पहिया को फिर से स्थापित करने से बचना चाहते हैं। इसलिए मैं एक मौजूदा परीक्षण की तलाश में हूं।

Comments

यह देखते हुए कि आपके पास डेटा है , क्या आप समझा सकते हैं कि परीक्षण से आपका मतलब "सांख्यिकीय" नहीं है? फिर आपके मन में किस तरह की परीक्षा है?

— whuber

वैसे, यदि आप आवधिकता के सांख्यिकीय परीक्षण की तलाश में हैं, तो आप यहां शुरू करना चाहते हैं ।

— 19

नमूने के बिंदु कैसे निर्धारित किए गए थे? चूँकि आप संभवतः यह नहीं जानते हैं कि क्या है, तो यदि कोई और व्यक्ति का नमूना , तो क्या वे अलग-अलग "समय" का उपयोग नहीं करेंगे और इसलिए अलग-अलग मूल्य हैं? यही परिवर्तनशीलता है। संयोग से, सटीक डेटा जैसी कोई चीज नहीं है जब तक कि आप एक सैद्धांतिक गणितीय अभ्यास नहीं कर रहे हैं, इसलिए यह समझाना अच्छा होगा कि आपने के मूल्यों को कैसे पाया है । $f$$f$$f$

— whuber

जैसा कि @whuber और अमीबा में गाड़ी चल रही है, इस सवाल का जवाब देना मुश्किल होगा जब तक कि आवधिक और / या परीक्षण की संतोषजनक परिभाषा नहीं दी जाती है। बिना किसी त्रुटि के सैंपल किए गए मनमाने बिंदुओं को देखते हुए अनन्त रूप से कई निरंतर आवधिक कार्य (शाब्दिक परिभाषा का उपयोग करते हुए) होते हैं जो अंकों को फिट करेंगे। यह प्रक्षेप में एक सरल व्यायाम है। लेकिन यह स्पष्ट रूप से इस तथ्य से आपके सवाल का जवाब नहीं है कि यादृच्छिक भविष्यवक्ताओं का एक सेट रैखिक प्रतिगमन के माध्यम से पूरी तरह से अंक फिट होगा । इसलिए, हम आपके स्पष्टीकरण के लिए bated सांस के साथ प्रतीक्षा करते हैं। $n$$n$$n$

— कार्डिनल

किसी भी ऐसे जो परिमेय एकाधिक नहीं है , आपके पास मौजूद डेटा को हमेशा period के एक सतत आवधिक कार्य के नमूने के रूप में देखा जा सकता है क्योंकि आपके पास कोई एकाधिक है। इससे @ कार्डिनल अवलोकनों की ओर जाता है, जो इस बात पर ध्यान देता है कि यह निष्कर्ष उपयोगी होने के लिए बहुत तुच्छ है, लेकिन फिर भी आपने इसे नियमबद्ध करने के लिए कोई मापदंड प्रदान नहीं किया है। $\tau$$\Delta t$$\tau$$\tau$

— whuber

Answer 1

जैसा कि मैंने कहा, मैं इस बात का अंदाज़ा यह करने के लिए किया था, जो मैंने महसूस किया, परिष्कृत और के बारे में एक कागज है, जो अब प्रकाशित किया जाता है लिखा है: अराजकता 25, 113,106 (2015) - arXiv पर प्रीप्रिंट ।

जांच की गई मानदंड लगभग प्रश्न में स्केच के समान है: डेटा को समय बिंदुओं पर पर दिया गया यह देखते हुए कि परीक्षण कोई फ़ंक्शन और एक : ऐसा:$x_1, \ldots, x_n$$t_0, t_0 + Δt, \ldots, t_0 + nΔt$$f: [t_0, t_0 + Δt] → ℝ$$τ ∈ [2Δt,(n-1)Δt]$

• $f(t_0 + iΔt)=x_i\quad \forall i∈\{1,…,n\}$
• $f(t+τ)=f(t) \quad∀t∈[t_0, t_0 + Δt-τ]$
• $f$ से अनुक्रम कोई और अधिक स्थानीय एक्सट्रीमा है , शुरुआत करने के लिए ज्यादा से ज्यादा एक extremum करीब है और के अंत के संभावित अपवाद के साथ प्रत्येक।$x$$f$

परीक्षण को छोटी त्रुटियों के लिए संशोधित किया जा सकता है, जैसे कि सिमुलेशन विधि की संख्यात्मक त्रुटियां।

^{मुझे उम्मीद है कि मेरा पेपर भी जवाब देता है कि मुझे इस तरह की परीक्षा में दिलचस्पी क्यों थी।}

Answer 2

असतत फूरियर ट्रांसफॉर्म (DFT) का उपयोग करके डेटा को फ़्रीक्वेंसी डोमेन में बदलना। यदि डेटा पूरी तरह से आवधिक है, तो उच्च मूल्य के साथ बिल्कुल एक आवृत्ति बिन होगा, और अन्य डिब्बे शून्य होंगे (या शून्य के पास, वर्णक्रमीय रिसाव देखें)।

ध्यान दें कि फ़्रीक्वेंसी रिज़ॉल्यूशन । तो यह पता लगाने की सटीकता के लिए सीमा निर्धारित करता है।$\frac{\text{sampling frequency}}{\text{Number of samples}}$

Comments

जैसा कि मैंने पहले ही सवाल में कहा था, फूरियर ट्रांसफॉर्म (कम से कम सभी अपने आप में) दूर-दूर तक सटीक भी नहीं है कि जिन मतभेदों में मेरी दिलचस्पी है उनका पता लगाने के लिए और मुश्किल से ही और बीच कोई अंतर पता । इसके अलावा, आप जो दावा कर रहे हैं वह केवल साइनसोइडल डेटा के लिए है। किसी भी अन्य डेटा के लिए, सबमरोनिक्स दिखाए जाएंगे। $\sin(x)$$(1+εx)·\sin(x)$

— Wrllprmft

Answer 3

यदि आप वास्तविक आवधिक संकेत जानते हैं, तो गणना करें

$\text{difference} = \Big|\text{theoretical data} - \text{measured data}\big|$

फिर के तत्वों का योग करें । यदि यह एक सीमा से ऊपर है (फ्लोटिंग पॉइंट अंकगणित से त्रुटि पर विचार करें) डेटा आवधिक नहीं है।$\text{difference}$

Comments

इस तथ्य के अलावा कि मुझे अंतर्निहित संकेत नहीं पता है, इसका आवधिकता से कोई लेना-देना नहीं है, लेकिन जब भी मैं अंतर्निहित संकेत को जानता हूं तो यह काम करेगा।

— Wrzlprmft