मैं कैसे विश्लेषणात्मक रूप से साबित कर सकता हूं कि एक राशि के परिणाम को बेतरतीब ढंग से विभाजित करने से एक घातीय वितरण (जैसे आय और धन)?

Question

विज्ञान में इस वर्तमान लेख में निम्नलिखित का प्रस्ताव किया जा रहा है:

मान लीजिए कि आप 10,000 लोगों के बीच आय में बेतरतीब ढंग से 500 मिलियन विभाजित करते हैं। सभी को बराबर, 50,000 शेयर देने का केवल एक ही तरीका है। इसलिए अगर आप बेतरतीब ढंग से कमाई कर रहे हैं, तो समानता बेहद कम है। लेकिन कुछ लोगों को बहुत अधिक नकदी देने के लिए अनगिनत तरीके हैं और कई लोग थोड़ा या कुछ भी नहीं करते हैं। वास्तव में, उन सभी तरीकों को देखते हुए जो आप आय को विभाजित कर सकते हैं, उनमें से अधिकांश आय का एक घातीय वितरण पैदा करते हैं।

मैंने निम्नलिखित आर कोड के साथ ऐसा किया है जो परिणाम की पुष्टि करता है:

library(MASS)

w <- 500000000 #wealth
p <- 10000 #people

d <- diff(c(0,sort(runif(p-1,max=w)),w)) #wealth-distribution
h <- hist(d, col="red", main="Exponential decline", freq = FALSE, breaks = 45, xlim = c(0, quantile(d, 0.99)))

fit <- fitdistr(d,"exponential")
curve(dexp(x, rate = fit$estimate), col = "black", type="p", pch=16, add = TRUE)

मेरा प्रश्न
मैं यह कैसे साबित कर सकता हूं कि परिणामी वितरण वास्तव में घातीय है?

परिशिष्ट
आपके उत्तर और टिप्पणियों के लिए धन्यवाद। मैंने समस्या के बारे में सोचा है और निम्नलिखित सहज तर्क के साथ आया हूं। मूल रूप से निम्न होता है (खबरदार: ओवरसिम्प्लीफिकेशन आगे): आप राशि के साथ जाते हैं और एक (पक्षपाती) सिक्का उछालते हैं। हर बार जब आप उदाहरण प्राप्त करते हैं तो आप राशि को विभाजित करते हैं। आप परिणामी विभाजन वितरित करते हैं। असतत मामले में सिक्का उछाला एक द्विपद वितरण के बाद, विभाजन ज्यामितीय रूप से वितरित किए जाते हैं। निरंतर एनालॉग्स क्रमशः पॉसन वितरण और घातीय वितरण हैं! (इसी तर्क से यह भी सहज रूप से स्पष्ट हो जाता है कि ज्यामितीय और घातांक वितरण में स्मृतिहीनता का गुण क्यों होता है - क्योंकि सिक्के में स्मृति नहीं है)।

Comments

यदि आप एक-एक करके पैसे देते हैं, तो उन्हें समान रूप से वितरित करने के कई तरीके हैं और उन्हें लगभग समान रूप से वितरित करने के लिए (जैसे एक वितरण जो लगभग सामान्य है और और करीब मानक विचलन के साथ )$50000$$224$

— हेनरी

@ हेनरी: क्या आप कृपया इस प्रक्रिया का थोड़ा और वर्णन कर सकते हैं। विशेष रूप से आप "एक-एक करके" से क्या मतलब है? शायद आप अपना कोड भी दे सकते थे। धन्यवाद।

— vonjd

vonjd: 500 मिलियन सिक्कों से शुरू करें। समान रूप से 10 हजार व्यक्तियों के बीच स्वतंत्र रूप से और बेतरतीब ढंग से प्रत्येक सिक्के को आवंटित करें। प्रत्येक व्यक्ति को कितने सिक्के मिलते हैं।

— हेनरी

@ हेनरी: मूल कथन यह था कि नकदी उपज को वितरित करने के अधिकांश तरीके एक घातांक वितरण है। नकदी वितरित करने के तरीके और सिक्कों को वितरित करने के तरीके आइसोमॉर्फिक नहीं हैं, क्योंकि 10,000 लोगों के बीच समान रूप से $ 500,000,000 वितरित करने का एक ही तरीका है (प्रत्येक $ 50,000 दें) लेकिन 500,000,000 (/ (50,000) ^ 10,000) तरीके हैं! 10,000 लोगों में से प्रत्येक को 50,000 सिक्के वितरित करना।

— सुपरकाट

@Henry ऊपरवाला टिप्पणी में वर्णित परिदृश्य में, यह शुरुआत से निर्धारित किया जाता है कि प्रत्येक व्यक्ति को सिक्का प्राप्त करने की समान संभावना है। यह स्थिति प्रभावी रूप से सिक्कों को वितरित करने के विभिन्न तरीकों पर समान रूप से विचार करने के बजाय, सामान्य वितरण के लिए एक बड़ा भार प्रदान करती है।

— 23

Answer 1

समस्या को सरल बनाने के लिए, आइए उस मामले पर विचार करें जहां प्रत्येक व्यक्ति के हिस्से के अनुमत मूल्य असतत हैं, उदाहरण के लिए, पूर्णांक। समान रूप से, कोई भी "आय अक्ष" को समान रूप से अंतराल अंतराल में विभाजित करने और मिडपॉइंट द्वारा दिए गए अंतराल में गिरने वाले सभी मूल्यों का अनुमान लगाने की कल्पना कर सकता है।

के रूप में कुल आय दर्शाने , अनुमति वें के रूप में मूल्य , के रूप में लोगों की कुल संख्या , और अंत में, के शेयरों के साथ लोगों की संख्या के रूप में , निम्न शर्तें संतुष्ट होना चाहिए: और $X$$s$$x_{s}$$N$$x_{s}$$n_{s}$

$$\begin{equation} C_{1} (\{n_{s}\})\equiv\sum_{s} n_{s} - N = 0, \end{equation}$$ $$\begin{equation} C_{2} (\{n_{s}\})\equiv \sum_{s} n_{s} x_{s} - X = 0. \end{equation}$$

ध्यान दें कि शेयर को विभाजित करने के कई अलग-अलग तरीके समान वितरण का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि हम दो लोगों के बीच $ 4 को विभाजित करने पर विचार करते हैं, तो ऐलिस को $ 3 और बॉब को 1 डॉलर और इसके विपरीत दोनों समान वितरण देंगे। जैसा कि विभाजन यादृच्छिक है, शेयर को विभाजित करने के लिए इसी तरीके की अधिकतम संख्या के साथ वितरण को होने का सबसे अच्छा मौका है।

इस तरह के वितरण को प्राप्त करने के लिए, एक को अधिकतम ऊपर दी गई दो बाधाओं के तहत। लैगरेंज मल्टीप्लायरों की विधि इसके लिए एक विहित दृष्टिकोण है। इसके अलावा, एक साथ काम करने के लिए चुन सकते हैं के बजाय , जो अपने आप के रूप में " " एक एक लय बढ़ा हुआ कार्य है। यही है, जहाँ लैग्रेंज मल्टीप्लायर हैं। गौर करें कि स्टर्लिंग के सूत्र के अनुसार ,

$$\begin{equation} W(\{n_{s}\}) \equiv \frac{N!}{\prod_{s} n_{s}!}, \end{equation}$$ $\ln W$$W$$\ln$ $$\begin{equation} \frac{\partial \ln W}{\partial n_{s}} = \lambda_{1} \frac{\partial C_{1}}{\partial n_{s}} + \lambda_{2} \frac{\partial C_{1}}{\partial n_{s}} = \lambda_{1} + \lambda_{2} x_{s}, \end{equation}$$ $\lambda_{1,2}$ $$\begin{equation} \ln n! \approx n\ln n - n, \end{equation}$$ अग्रणी इस प्रकार, यह उसके बाद होता है जो एक घातीय वितरण है। एक लग्र मल्टीप्लायरों के मूल्यों को बाधाओं का उपयोग करके प्राप्त कर सकता है। पहले बाधा से, $$\begin{equation} \frac{d\ln n!}{dn} \approx \ln n. \end{equation}$$ $$\begin{equation} \frac{\partial \ln W}{\partial n_{s}} \approx -\ln n_{s}. \end{equation}$$ $$\begin{equation} n_{s} \approx \exp\big(-\lambda_{1} - \lambda_{2} x_{s}\big), \end{equation}$$ $$\begin{equation} \begin{split} N &= \sum_{s} n_{s} \approx \sum_{s} \exp\big(-\lambda_{1} - \lambda_{2} x_{s}\big)\\ &\approx \frac{1}{\Delta x} \int_{0}^{\infty} \exp\big(-\lambda_{1} - \lambda_{2} x\big) \,\,dx\\ &=\frac{1}{\lambda_{2}\Delta x}\exp\big(-\lambda_{1}\big), \end{split} \end{equation}$$ जहां अनुमत मूल्यों के बीच रिक्ति है। इसी प्रकार, इसलिए, हमारे पास है $\Delta x$ $$\begin{equation} \begin{split} X &= \sum_{s} n_{s}x_{s} \approx \sum_{s} x_{s}\,\exp\big(-\lambda_{1} - \lambda_{2} x_{s}\big)\\ &\approx \frac{1}{\Delta x} \int_{0}^{\infty} x\,\exp\big(-\lambda_{1} - \lambda_{2} x\big) \,\,dx\\ &=\frac{1}{\lambda_{2}^{2}\,\Delta x}\exp\big(-\lambda_{1}\big). \end{split} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \exp\big(-\lambda_{1}\big) = \frac{N^{2} \Delta x}{X}, \end{equation}$$ और यह वास्तव में एक न्यूनतम या काठी बिंदु के बजाय एक अधिकतम है, जिसे हेसियन ऑफ़ । क्योंकि में रैखिक हैं , यह के समान ही है : और $$\begin{equation} \lambda_{2} = \frac{N}{X}. \end{equation}$$ $\ln W - \lambda_{1} C_{1} - \lambda_{2} C_{2}$$C_{1,2}$$n_{s}$$\ln W$ $$\begin{equation} \frac{\partial^{2} \ln W}{\partial n_{s}^{2}} = -\frac{1}{n_{s}} < 0, \end{equation}$$ $$\begin{equation} \frac{\partial^{2} \ln W}{\partial n_{s}\partial n_{r}} = 0 \quad (s\neq r). \end{equation}$$ इसलिए हेसियन अवतल है, और जो हमने पाया है वह वास्तव में एक अधिकतम है।

फ़ंक्शन वास्तव में वितरण का वितरण है। वितरण के लिए हम आम तौर पर सबसे संभावित एक के करीब होने का निरीक्षण करते हैं, पर्याप्त संकीर्ण होना चाहिए। हेसियन से यह देखा गया है कि यह स्थिति बराबर है । (यह भी शर्त है कि स्टर्लिंग का सूत्र विश्वसनीय है।) इसलिए, वास्तव में घातीय वितरण को देखने के लिए, आय अक्ष में विभाजन (ओपी के हिस्टोग्राम में डिब्बे के अनुरूप) पर्याप्त चौड़ा होना चाहिए ताकि एक विभाजन में लोगों की संख्या बहुत अधिक हो। एकता से। पूंछ की ओर, जहां शून्य पर जाता है, यह स्थिति हमेशा विफल रहने के लिए नियत है।$W(\{n_{s}\})$$W(\{n_{s}\})$$n_{s}\gg 1$$n_{s}$

नोट: यह ठीक यही है कि भौतिकविदों ने सांख्यिकीय मैकेनिक्स में बोल्ट्जमैन वितरण को कैसे समझा । घातीय वितरण इस मामले के लिए अनिवार्य रूप से सटीक है, क्योंकि हम ।$N\sim 10^{23}$

Comments

धन्यवाद, कृपया Glen_b के उत्तर पर एक नज़र डालें। क्या यह आपके उत्तर के अनुरूप है?

— vonjd

@vonjd आपका स्वागत है! मुझे लगता है कि उसका जवाब मेरे अनुरूप है। मेरे लिए ऐसा लगता है कि वह निम्नलिखित अर्थों में पॉइसन प्रक्रिया का एक सादृश्य बना रहा है: 50,000 के "औसत समय अंतराल" के साथ एक पॉइसन प्रक्रिया पर विचार करें, और 10,000 घटनाओं की गणना करें। फिर, औसतन, "कुल समय अंतराल" 50,000 x 10,000 = 500 मिलियन है।

— higgsss

@vonjd मैंने अपना उत्तर अपडेट किया। सबसे विशेष रूप से, मैंने इस शर्त पर चर्चा को जोड़ा कि जो वितरण हम आम तौर पर देखते हैं वह सबसे संभावित वितरण के करीब है।

— higgsss

असतत मामलों पर विचार करते समय, क्या यह देखना उपयोगी होगा कि टी चीजों को एन लोगों ((एन + टी -1) चुनने (एन -1) के तरीकों में विभाजित किया जा सकता है? यदि पहला व्यक्ति f चीजें प्राप्त करता है, तो शेष राशि वितरित करने के तरीकों की संख्या ((N + Tf-2) चुन (N-2)) है; 0 से N तक के मानों के लिए योग का योग, सब कुछ वितरित करने के तरीकों की कुल संख्या है।

— सुपरकट

@ सुपरफ़ैट यह मेरे लिए घातांक वितरण को प्राप्त करने का एक और तरीका है। मान लीजिए कि (हम के मूल्यों पर विचार है कि करीब वितरण की पूंछ के लिए नहीं कर रहे हैं)। फिर, चुनें । $T\gg N,f$$f$$(N+T-f-2)$$(N-2) = (N+T-f-2)!/(N-2)!/(T-f)!$ $\propto (N+T-f-2)!/(T-f)! \approx (T-f)^{N-2} \approx T^{N-2} e^{-(N-2)f/T}$

— 1

Answer 2

वास्तव में आप साबित कर सकते हैं कि यह वास्तव में घातीय नहीं है, लगभग तुच्छ:

इस संभावना की गणना करें कि एक दिया गया हिस्सा मिलियन से अधिक है । इस संभावना के साथ तुलना करें कि एक घातीय यादृच्छिक चर मिलियन से अधिक है ।$500$$500$

हालाँकि, यह देखना उतना कठिन नहीं है कि आपके समान-अंतर उदाहरण के लिए यह घातीय के करीब होना चाहिए।

एक पॉइसन प्रक्रिया पर विचार करें - जहां कुछ आयामों के साथ घटनाएँ यादृच्छिक पर होती हैं। अंतराल की प्रति यूनिट की घटनाओं में एक पॉइसन वितरण है, और घटनाओं के बीच का अंतर घातीय है।

यदि आप एक निश्चित अंतराल लेते हैं, तो एक पॉइसन प्रक्रिया में होने वाली घटनाओं को अंतराल में समान रूप से वितरित किया जाता है। देखें यहाँ ।

[हालांकि, ध्यान दें कि क्योंकि अंतराल परिमित है, आप बस अंतराल अंतराल की तुलना में बड़े अंतराल का निरीक्षण नहीं कर सकते हैं, और अंतराल लगभग इतना है कि बड़ी संभावना नहीं होगी (उदाहरण के लिए, एक इकाई अंतराल में - यदि आप 0.04 और अंतराल देखते हैं 0.01, आपके द्वारा देखा जाने वाला अगला अंतर 0.95 से बड़ा नहीं हो सकता है।]]

तो अंतराल के वितरण पर एक निश्चित अंतराल पर ध्यान देने के प्रभाव के अलावा (जो बड़े लिए कम हो जाएगा , अंतराल में अंकों की संख्या), आप उन अंतरालों को तेजी से वितरित होने की उम्मीद करेंगे।$n$

अब आपके कोड में, आप यूनिफ़ॉर्म रखकर इकाई अंतराल को विभाजित कर रहे हैं और फिर क्रमिक आँकड़ों में अंतराल का पता लगा रहे हैं। यहां इकाई अंतराल समय या स्थान नहीं है, लेकिन पैसे के एक आयाम का प्रतिनिधित्व करता है (पैसे की कल्पना करें क्योंकि 50000 मिलियन सेंट समाप्त होने के लिए निर्धारित हैं, और यूनिट अंतराल को कवर करने वाली दूरी को कॉल करते हैं; यहां तक ​​कि हमारे पास एक प्रतिशत के अंश हो सकते हैं); हम अंक रखते हैं, और यह अंतराल को "शेयरों" में विभाजित करता है । एक अंतराल में पॉइसन प्रक्रिया और एकसमान बिंदुओं के बीच संबंध के कारण, वर्दी के क्रम के आंकड़ों में अंतराल घातीय दिखेंगे, जब तक बहुत छोटा नहीं है।$n$$n+1$$n$

अधिक विशेष रूप से, पोइसन प्रक्रिया पर रखे गए अंतराल में शुरू होने वाले किसी भी अंतराल को अंतराल के अंत में चलने से "सेंसर किया गया" (प्रभावी रूप से, इससे कम अन्यथा अन्यथा होता) होने का मौका है।

$\hspace{1cm}$

लंबे अंतराल अधिक होते हैं, जो छोटे लोगों की तुलना में अधिक होते हैं, और अंतराल में अधिक अंतराल का मतलब औसत अंतराल लंबाई कम होना चाहिए - अधिक छोटा अंतराल। 'कट ऑफ' होने की यह प्रवृत्ति छोटे लोगों की तुलना में अधिक अंतराल के वितरण को प्रभावित करेगी, (और अंतराल के लिए सीमित कोई अंतराल अंतराल की लंबाई से अधिक नहीं होगा - इसलिए अंतराल के आकार का वितरण आसानी से घट जाना चाहिए। पूरे अंतराल के आकार पर शून्य)।

आरेख में, अंत में एक लंबे अंतराल को छोटा काट दिया गया है, और प्रारंभ में अपेक्षाकृत कम अंतराल भी छोटा है। ये प्रभाव हमें घातांकता से दूर करते हैं।

( समान आदेश आँकड़ों के बीच अंतराल का वास्तविक वितरण बीटा (1, n) है।)$n$

इसलिए हमें छोटे मूल्यों में बड़े लुक एक्सपोनेंशियल पर वितरण को देखना चाहिए , और फिर बड़े मूल्यों पर कम घातांक, क्योंकि इसके सबसे बड़े मूल्यों पर घनत्व अधिक तेज़ी से बंद हो जाएगा।$n$

यहाँ n = 2 के लिए अंतराल के वितरण का एक अनुकरण है:

बहुत घातीय नहीं है।

लेकिन n = 20 के लिए, यह बहुत करीब लग रहा है; वास्तव में जितना बड़ा होता है, इसका मतलब घातीय ।$n$$\frac{1}{n+1}$

अगर वह वास्तव में औसत 1/21 के साथ घातीय था, तो समान होगा ... लेकिन हम इसे देख सकते हैं: काफी:$\exp(-21x)$

कम मूल्यों में गैर-एकरूपता अंतराल के बड़े मूल्यों से मेल खाती है - जो हम चर्चा से ऊपर से उम्मीद करेंगे, क्योंकि पोइसन प्रक्रिया को "एक छोटे अंतराल" से काटने का प्रभाव हमें दिखाई नहीं देता है। सबसे बड़ा अंतराल। लेकिन जैसा कि आप अधिक से अधिक मूल्यों को लेते हैं, जो आगे पूंछ में निकल जाता है, और इसलिए परिणाम लगभग अधिक समान दिखाई देने लगता है। पर अंतराल (पैसे के शेयरों का प्रतिनिधित्व) बहुत बड़ा मान तेजी से बहुत संभावना नहीं पर छोड़कर वितरित, बहुत बहुत के करीब होना चाहिए -, बराबर प्रदर्शन वर्दी से अलग करने के लिए कठिन हो जाएगा।$n=10000$

Comments

तो बस आपको सही तरीके से समझने के लिए: आप कह रहे हैं कि यह घातीय नहीं है ? higgsss ऊपर साबित होता है कि यह घातीय है!

— vonjd

मुझे अपना उत्तर उद्धृत करने दें: (i) "आप यह साबित कर सकते हैं कि यह वास्तव में घातीय नहीं है" लेकिन (ii) एक समान अंतराल के लिए जिसे आपने देखा था ... "यह घातीय के करीब होना चाहिए" ... "जब तक n नहीं है बहुत छोटा।" ... क्या अस्पष्ट है?

— Glen_b

मैंने (तुच्छ, स्पष्ट) प्रमाण को रेखांकित किया कि यह वास्तव में मेरे उत्तर में घातांक नहीं है। higgss साबित नहीं होता है कि यह है घातीय। वह (उत्कृष्ट) उत्तर पूरी तरह से मेरे कथनों के अनुरूप है। इसमें, higgsss यह साबित करता है कि यह लगभग घातांक होगा:$n_{s} \approx \exp\big(-\lambda_{1} - \lambda_{2} x_{s}\big)$

— Glen_b

मुझे लगता है कि यह उत्तर समस्या को देखने का एक शानदार तरीका है, और अधिक उत्थान के योग्य है। फिर भी मुझे डर है कि पोइसन प्रक्रिया के अनुरूप कैसे काम करता है (उदाहरण के लिए, "समय" किसके अनुरूप है) अस्पष्ट दिखाई दे सकता है। क्या आप कुछ और जानकारी देने को तैयार होंगे?

— higgsss

@higgsss मैंने थोड़ा पुनर्जन्म लिया है (समय के संदर्भ को हटाते हुए), थोड़ा विस्तार और एक लिंक जोड़ा। मैं बाद में कुछ और चर्चा जोड़ सकता हूं। यदि आपके पास कोई विशिष्ट सुझाव है, तो मुझे अपने उत्तर को और बेहतर बनाने में दिलचस्पी होगी।

— Glen_b

Answer 3

मान लीजिए कि पैसा असीम रूप से विभाज्य है, इसलिए हम पूर्णांक के बजाय वास्तविक संख्या से निपट सकते हैं।

फिर व्यक्तियों में विभाजित का समान वितरण प्रत्येक व्यक्ति लिए सीमांत घनत्व देगा। लिए , और के प्रत्येक व्यक्ति के लिए एक सीमांत संचयी प्रायिकता$t=500000000$$n=10000$

$$p(x)=\frac{n-1}{t}\left(1-\frac{x}{t}\right)^{n-2}$$ $0 \le x \le t$ $$P(X \le x)=1 - \left(1-\frac{x}{t}\right)^{n-1}.$$

यदि आप इसे लागू करना चाहते हैं तो सीमांत वितरण का उपयोग करके किसी भी व्यक्ति को एक यादृच्छिक राशि आवंटित करें , फिर को और से और दोहराएं। ध्यान दें कि जब , यह प्रत्येक व्यक्ति को शेष राशि में एक समान सीमांत वितरण देगा, जितना कोई उम्मीद कर सकता है; जब आप शेष बचे सभी पैसे एकल व्यक्ति को देते हैं।$X$$t$$t-X$$n$$n-1$$n=2$$n=1$

ये अभिव्यक्तियाँ घातीय के बजाय बहुपद हैं, लेकिन बड़े आप संभवतः एक घातांक वितरण से उनके प्रभाव को अलग करना मुश्किल पाएंगे, जो कि एक पैरामीटर । वितरण asymptotically घातांक है क्योंकि रूप में । $n$$\frac{n}{t}$$\left(1-\frac{y}{m}\right)^{m} \to \exp(-y)$$m \to \infty$

Answer 4

कहने के लिए, "मान लीजिए कि आप 10,000 लोगों के बीच आय में बेतरतीब ढंग से 500 मिलियन विभाजित करते हैं" प्रश्न का उत्तर देने के लिए अपर्याप्त रूप से विशिष्ट है। कई अलग-अलग यादृच्छिक प्रक्रियाएं हैं जिनका उपयोग निश्चित संख्या में लोगों को एक निश्चित राशि आवंटित करने के लिए किया जा सकता है, और परिणामस्वरूप वितरण के लिए प्रत्येक की अपनी विशेषताएं होंगी। यहां तीन सामान्य प्रक्रियाएं हैं जिनके बारे में मैं सोच सकता था, और प्रत्येक धन का वितरण।

library(MASS)

w <- 500000000 #wealth
p <- 10000 #people

विधि 1, ओपी द्वारा पोस्ट की गई:

यादृच्छिक रूप से समान रूप से [0, w) से 'p' संख्याएँ चुनें। इन्हें क्रमबद्ध करें। आगे की ओर to 0 ’लगाएं। इस सूची में क्रमिक तत्वों के बीच अंतर के द्वारा डॉलर की मात्रा का प्रतिनिधित्व करें।

d <- diff(c(0,sort(runif(p-1,max=w)),w)) #wealth-distribution
h <- hist(d, col="red", main="Exponential decline", freq = FALSE, breaks = 45,
     xlim = c(0, quantile(d, 0.99)))
fit <- fitdistr(d,"exponential")
curve(dexp(x, rate = fit$estimate), col = "black", type="p", 
      pch=16, add = TRUE)

विधि 2:

यादृच्छिक रूप से समान रूप से [0, w) से 'p' संख्याएँ। इन 'वेट' पर विचार करें, इसलिए 'डब्ल्यू' वास्तव में इस स्तर पर मायने नहीं रखता है। वज़न को सामान्य करें। प्रत्येक भार के अनुरूप 'w' के अंश द्वारा दर्शाई गई डॉलर की राशियाँ सौंपें।

d <- runif(p,max=w) #weigh-distribution
d <- d/sum(d)*w #wealth-distribution
h <- hist(d, col="red", main="pretty uniform", freq = FALSE, breaks = 45, 
          xlim = c(0, quantile(d, 0.99)))

विधि 3:

शुरुआत 'p' 0s से करें। w बार, उनमें से एक को जोड़ते हैं, समान रूप से यादृच्छिक पर चयनित।

d <- rep(0, p)
for( i in 1:5000000){ ## for-loops in R are terrible, but this gives the idea.
    k <- floor(runif(1, max=p)) + 1    
    d[k] = (d[k] + 1)
}
h <- hist(d, col="red", main="kinda normalish?", freq = FALSE, breaks = 45,
          xlim = c(0, quantile(d, 0.99)))

Answer 5

मुझे अपने परिशिष्ट के बारे में कुछ जोड़ना चाहिए।

निरंतर मामले में, जैसा कि Glen_b और हेनरी द्वारा बताया गया है, प्रत्येक व्यक्ति को प्राप्त होने वाली राशि के लिए सटीक PDF is start जहां लोगों की संख्या है, और कुल राशि है।

$$\begin{equation} p(x) = \frac{N-1}{X}\left(1-\frac{x}{X}\right)^{N-2}, \end{equation}$$ $N$$X$

असतत मामले में, यह मानते हुए कि वितरित करने के लिए सिक्के हैं , किसी विशेष व्यक्ति के लिए सिक्के प्राप्त करने की संभावना है जब , तो दो मामले एक दूसरे से सहमत होते हैं। पर्याप्त रूप से बड़े और जब तक हम पूंछ से दूर रहते हैं, वे घातीय वितरण की तरह दिखते हैं।$M$$m$एम»एन

$$\begin{equation} p(m) = \frac{N-1}{M+1}\prod_{j=0}^{N-3}\left(1-\frac{m}{M-j}\right)^{N-2}. \end{equation}$$ $M\gg N$$N$

दोनों मामलों में, जैसा कि हम इस वास्तविक संभाव्यता वितरण से बार नमूना ले रहे हैं , परिमित नमूना आकार के साथ जुड़ी त्रुटि होगी।$N$

हालांकि, त्रुटि विश्लेषण का प्रदर्शन सीधा नहीं लगता है क्योंकि इस मामले में विभिन्न नमूने स्वतंत्र नहीं हैं। उन्हें कुल राशि का योग करना है, और पहला व्यक्ति कितना प्राप्त करता है दूसरे व्यक्ति के लिए संभाव्यता वितरण को प्रभावित करता है, और इसी तरह।

मेरा पिछला उत्तर इस मुद्दे से ग्रस्त नहीं है, लेकिन मुझे लगता है कि यह देखना उपयोगी होगा कि इस दृष्टिकोण में इसे कैसे हल किया जा सकता है।

Answer 6

उत्कीर्ण उत्तरों द्वारा किया गया अच्छा सैद्धांतिक विश्लेषण। हालाँकि, यहाँ मेरा सरल, अनुभवजन्य दृष्टिकोण है कि वितरण घातीय क्यों है।

जब आप पैसे को बेतरतीब ढंग से वितरित करते हैं , तो आइए आप इसे एक-एक करके समझते हैं। S को मूल राशि होने दें।

पहले आदमी के लिए, आपको 0 और एस के बीच एक यादृच्छिक राशि चुननी चाहिए। इस प्रकार, औसतन, आप S / 2 चुनेंगे और S / 2 के साथ बने रहेंगे।

दूसरे आदमी के लिए, आप यादृच्छिक रूप से 0 और, औसतन S / 2 के बीच चयन करेंगे। इस प्रकार, आप औसतन S / 4 चुनेंगे और S / 4 के साथ बने रहेंगे।

तो, आप मूल रूप से प्रत्येक समय (सांख्यिकीय रूप से बोलने) में राशि का विभाजन करेंगे।

हालांकि एक वास्तविक जीवन के उदाहरण में आपके पास लगातार आधे मूल्य नहीं होंगे, इससे पता चलता है कि वितरण की उम्मीद क्यों की जानी चाहिए।

Comments

आपका एल्गोरिथ्म दूसरों को किसी की तुलना में पहले व्यक्ति को अधिक पैसा देने के लिए दसियों करता है। ऐसे अन्य दृष्टिकोण हैं जिनमें यह पूर्वाग्रह नहीं है।

— हेनरी

@ हेनरी आप पैसे कैसे साझा करना शुरू करेंगे? आपको किसी के साथ शुरू करना चाहिए। और जब आप करते हैं, तो आपके सामने पूरी राशि होती है। उसे एक यादृच्छिक अंश देने का शाब्दिक अर्थ है संपूर्ण राशि से यादृच्छिक पर चयन करना। कोई यह नहीं कह सकता है कि "प्रथम पुरुष" होने की धारणा गलत है, क्योंकि अन्यथा जो पैसा साझा करता है वह केवल पुरुषों की संख्या से राशि को विभाजित करेगा क्योंकि वह पहले से जानता है कि कितने लोग हैं। यह सिर्फ मेरी बात है: जब आप कहते हैं कि आप पैसे को "बेतरतीब ढंग से" विभाजित करते हैं, तो बस एक आदमी को अधिक पैसा मिलेगा

— बोगडान एलेक्जेंड्रू

बोगदान अलेक्जेंड्रू: मेरे एल्गोरिथ्म (एक अन्य जवाब) में यह विशेषता है कि प्रत्येक व्यक्ति के लिए वितरण समान है चाहे वे पहले चुने गए हों, मध्य या अंतिम में। यह आवंटित की जा रही कुल राशि से विवश अंतरिक्ष में एक समान घनत्व से मेल खाती है।

— हेनरी