रैखिक परिवर्तन के बाद एक यादृच्छिक वेक्टर का सहसंयोजक

Question

यदि यादृच्छिक वेक्टर है और एक निश्चित मैट्रिक्स है, तो क्या कोई यह समझा सकता है कि क्यों$\mathbf {Z}$$A$

$$\mathrm{cov}[A \mathbf {Z}]= A \mathrm{cov}[\mathbf {Z}]A^\top.$$

Answer 1

एक यादृच्छिक (स्तंभ) वेक्टर $\mathbf Z$ के लिए माध्य वेक्टर $\mathbf{m} = E[\mathbf{Z}]$ , सहसंयोजक मैट्रिक्स को \ operatorname {cov} (\ mathbf {Z}) = E [() के रूप में परिभाषित किया गया है \ mathbf {Z} - \ mathbf {m}) (\ mathbf {Z} - \ mathbf {m}) ^ T]$\operatorname{cov}(\mathbf{Z}) = E[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T]$ । इस प्रकार, A \ mathbf {Z} का सहसंयोजक मैट्रिक्स $A\mathbf{Z}$, जिसका माध्य वेक्टर $A\mathbf{m}$ , को \ start {align} \ operatorname {cov} (A \ mathbf {Z} & = E [ द्वारा दिया जाता है

$$\begin{align}\operatorname{cov}(A\mathbf{Z}) &= E[(A\mathbf{Z}-A\mathbf{m})(A\mathbf{Z}-A\mathbf{m})^T]\\ &= E[A(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^TA^T]\\ &= AE[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T]A^T\\ &= A\operatorname{cov}(\mathbf{Z})A^T. \end{align}$$

Comments

मैंने अपना टाइपो ठीक किया। मेरी त्रुटि को इंगित करने के लिए धन्यवाद।

— user92612

Answer 2

मैं दिलीप सरवटे के जवाब में जोड़ूंगा कि एक ही परिणाम फॉर्म $\mathbf{Z}A^T$ :

$$\mathrm{cov}(\mathbf{Z}A^T) = A\mathrm{cov}(\mathbf{Z})A^T$$

समान दृष्टिकोण का उपयोग करना:

$$\begin{align} \mathrm{cov}(\mathbf{Z}A^T)&=\mathbb{E}[(\mathbf{Z}A^T-\mathbf{m}A^T)(\mathbf{Z}A^T-\mathbf{m}A^T)^T] \\ &=\mathbb{E}[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})A^TA(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T] \\ &=\mathbb{E}[A(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^TA^T] \\ &=A\mathbb{E}[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T]A^T \\ &=A\mathrm{cov}(\mathbf{Z})A^T \\ \end{align}$$

का उपयोग करते हुए कदम में (3): $AB^TBA^T=BAA^TB^T$

$$\begin{align}AB^TBA^T &= \left(\left(AB^TBA^T\right)^T\right)^T \\ &= \left(BA^TAB^T\right)^T \\ &= B\left(BA^TA\right)^T \\ &= BAA^TB^T \end{align}$$