की स्वतंत्रता के पीछे अंतर्ज्ञान क्या है

Question

मैं उम्मीद कर रहा था कि कोई व्यक्ति यह तर्क देते हुए बता सकता है कि यादृच्छिक चर $Y_1=X_2-X_1$ और $Y_2=X_1+X_2$ , $X_i$ मानक सामान्य वितरण क्यों हैं, सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र हैं। उस तथ्य का प्रमाण एमजीएफ तकनीक से आसानी से प्राप्त होता है, फिर भी मैं इसे बेहद प्रति-सहजता में पाता हूं।

मैं इसलिए यहाँ अंतर्ज्ञान की सराहना करता हूँ, यदि कोई हो।

पहले ही, आपका बहुत धन्यवाद।

संपादित करें : सदस्यता आदेश सांख्यिकी नहीं दिखाते हैं, लेकिन मानक सामान्य गड़बड़ी से IID अवलोकन करते हैं।

Comments

"एमजीएफ तकनीक" क्या है?

— अमीबा

@amoeba यह एक यादृच्छिक चर के वितरण को निर्धारित करने के लिए क्षण उत्पन्न करने वाले कार्यों का उपयोग है। मेरे मामले में, मैं प्रमेय का उल्लेख करता हूं कि $Y_1$ और $Y_2$ स्वतंत्र हैं यदि और केवल $M(t_1,t_2)=M(t_1,0) \times M(0,t_2)$ , E ( e t 1$M(t_1,t_2)$ बराबर है$E(e^{t_1Y_1+t_2Y_2})$ । किसी भी अन्य तकनीक का चयन करें और मुझे विश्वास है कि आप उसी परिणाम पर पहुंचेंगे।

— जॉनके

आप आंकड़े से संबंधित थ्रेड पर कुछ जानकारी पा सकते हैं ।

— whuber

यदि आप प्रत्येक एक्स के लिए कुछ स्थिर, कहते हैं, तो इनमें से प्रत्येक के साथ क्या होता है, इस पर विचार करके आपको कुछ अंतर्ज्ञान मिल सकता है । और क्या अगर आप गुणा प्रत्येक होता है एक्स एक निरंतर द्वारा, कहते हैं कि $\mu$$X$$X$$\sigma$

— RVL

निकटता से संबंधित: अत्यधिक सहसंबद्ध चर के योग और अंतर का संदर्भ लगभग असंबद्ध है ।

— गंग -

Answer 1

यह मानक सामान्य वितरित डेटा है: ध्यान दें कि वितरण संचार सममित है।

जब आप और Y 2 = X 1 पर स्विच करते हैं$Y_1 = X_2 - X_1$, तो आप प्रभावी रूप से अक्ष को घुमाते हैं और स्केल करते हैं, इस तरह: इस नई समन्वय प्रणाली में मूल एक के समान मूल है, और अक्ष हैं ओर्थोगोनल। संचार समरूपता के कारण, नए समन्वय प्रणाली में चर अभी भी स्वतंत्र हैं।$Y_2 = X_1 + X_2$

Comments

परिणाम तब भी लागू होता है जब और X 2 यूनिट सामान्य मार्जिन के साथ सहसंबद्ध होते हैं। तो आपका स्पष्टीकरण केवल मूल परिणाम के एक उप-आवरण को कवर करता है। हालांकि, यहां मूल विचार ध्वनि है। $X_1$$X_2$

— Glen_b -Reinstate मोनिका

@Glen_b, हाँ, आप सही कह रहे हैं। मैं एक साधारण मामले पर ध्यान केंद्रित करना चाहता था, जैसा कि जॉनके पहले से ही जानता है कि सामान्य मामले को कैसे साबित किया जाए, लेकिन सहज ज्ञान युक्त अभाव का अभाव है।

— dobiwan

Answer 2

परिणाम संयुक्त रूप से लिए काम करता है (यानी सहसंबंध के साथ, - 1 < ρ < $(X_1,X_2)$$-1<\rho<1$ ), आम के साथ ।$\sigma$

यदि आप कुछ बुनियादी परिणाम जानते हैं, तो यह आपके लिए आवश्यक है:

$\quad\quad\quad$

डोबिन का दृष्टिकोण अनिवार्य रूप से ठीक है - यह सिर्फ इतना है कि परिणाम वहां से निपटाए गए मामले से अधिक सामान्य है।

Comments

आवश्यक के लिए वांछित परिणाम नीचे ले जाने के लिए +1। मैं असमान रूपांतरों के साथ संयुक्त सामान्यता के अधिक सामान्य मामले के लिए जोड़ूंगा, ax = 1 द्वारा कुल्हाड़ियों का एक रोटेशनके बजाय± $$\theta = \frac{1}{2}\arctan\left ( \frac{2\rho\cdot\sigma_1\sigma_2}{\sigma_1^2 - \sigma_2^2}\right )$$ निहित में(एक्स1,एक्स2)→(एक्स1+एक्स2।एक्स1-एक्स2)स्वतंत्र सामान्य यादृच्छिक चर पैदा करता है। $\pm \frac{\pi}{4}$$(X_1,X_2) \to (X_1+X_2. X_1-X_2)$

— दिलीप सरवटे

Answer 3

जब परिणाम आप सच होने का दावा सामान्य रूप में, नहीं भी मामले के लिए सही नहीं है सब है कि जाना जाता है कि और एक्स 2 समान विचरण के साथ सामान्य यादृच्छिक चर रहे हैं, लेकिन परिणाम नहीं करता है के लिए पकड़$X_1$$X_2$ सामान्य स्थिति की व्याख्या आपने बाद में कहा:

सदस्यता ऑर्डर सांख्यिकी नहीं दर्शाती है लेकिन मानक सामान्य गड़बड़ी से अवलोकन करती है।

इस बयान के अंतिम कुछ शब्दों के सामान्य व्याख्या निश्चित रूप से, यह है कि और एक्स 2 हैं स्वतंत्र (सामान्य) यादृच्छिक परिवर्तनीय है, और इसलिए संयुक्त रूप से$X_1$$X_2$ सामान्य यादृच्छिक चर।

के लिए संयुक्त रूप से सामान्य समान विचरण के साथ यादृच्छिक चर, यह सच है कि और एक्स 1 - एक्स 2 हैं स्वतंत्र (सामान्य) यादृच्छिक चर (साथ, सामान्य, असमान प्रसरण में), और इस के लिए सहज ज्ञान युक्त स्पष्टीकरण सबसे अच्छा दिया जाता है Glen_b के उत्तर में। के लिए अपने के विशेष मामले एक्स 1 और एक्स 2 में अच्छी तरह से किया जा रहा है स्वतंत्र, dobiwan का जवाब है, जो आप स्वीकार कर लिया है, सरल है, और वास्तव में पता चलता है कि किसी भी कुल्हाड़ियों के रोटेशन, न सिर्फ द्वारा ± $X_1+X_2$$X_1-X_2$$X_1$$X_2$ परिवर्तन में निहित(एक्स1,एक्स2)→(एक्स1+एक्स2,एक्स1-एक्स2), स्वतंत्र यादृच्छिक चर उत्पन्न करेगा।$\pm \frac{\pi}{4}$$(X_1,X_2)\to (X_1+X_2, X_1-X_2)$

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सामान्य रूप से क्या कहा जा सकता है? नीचे दी गई हर बात में, कृपया ध्यान रखें कि और Y का एक ही रूप है , कोई फर्क नहीं पड़ता कि अन्य गुण उनके लिए जिम्मेदार हो सकते हैं।$X$$Y$

तो और वाई हैं किसी भी यादृच्छिक परिवर्तनीय (ध्यान दें: जरूरी सामान्य नहीं) के साथ समान विचरण, तो एक्स + Y और एक्स - वाई हैं असहसंबद्ध यादृच्छिक चर (यह है कि, वे शून्य सहप्रसरण है)। इसका कारण यह है कि सहसंयोजक कार्य बिलिनियर है : कोव ( एक्स + वाई , एक्स - वाई $X$$Y$$X+Y$$X-Y$ यहां हमने इस तथ्य का उपयोग किया है किकोव(एक्स,एक्स)एक्स(औरवाई केलिए इसी तरह)का केवल विचरणसंस्करण(एक्स)हैऔर निश्चित रूप से, कोव(वाई,एक्स)=कोव(एक्स,वाई)। ध्यान दें कि यह परिणाम तब होता है जबXऔरY(मामूली) सामान्य यादृच्छिक चर होते हैं, लेकिन जरूरी नहीं किसंयुक्त रूप से

$$\begin{align} \operatorname{cov}(X+Y, X-Y) &= \operatorname{cov}(X,X) - \operatorname{cov}(X,Y) + \operatorname{cov}(Y,X) - \operatorname{cov}(Y,Y)\\ &= \operatorname{var}(X) - \operatorname{cov}(X,Y) + \operatorname{cov}(X,Y) - \operatorname{var}(Y)\\ &= 0. \end{align}$$ $\operatorname{cov}(X,X)$$\operatorname{var}(X)$$X$$Y$$\operatorname{cov}(Y,X) = \operatorname{cov}(X,Y)$$X$$Y$ सामान्य यादृच्छिक चर होते हैं। (यदि आप सीमांत सामान्यता की इस धारणा से परिचित नहीं हैं, जो संयुक्त सामान्यता के समान नहीं है, तो इस शानदार उत्तर को देखें by cardinal). In the special case when $X$ and $Y$ are jointly normal (but not necessarily independent) normal random variables, so are $X+Y$ and $X-Y$ jointly normal, and since their covariance is $0$, $X+Y$ and $X-Y$ are independent random variables.

Answer 4

I first argue for general identically distributed $X_1,X_2$ that the conditional mean of $Y_1$ conditional on $Y_2$ is constant $0$. Based on this, I argue that the covariance of  $Y_1,Y_2$ is 0. Then, under normality, zero covariance implies independence.

The conditional mean

Intuition: $X_1+X_2=y$ does not imply anything about which component contributed more to the sum (e.g., $X_1=x, X_2 = y-x$ is as likely as $X_1 = y-x, X_2=x$). Thus, the expected difference must be 0.

Proof: $X_1$ and $X_2$ have identical distribution and $X_1+X_2$ is symmetric with respect to the indexing. Thus, for symmetry reasons, the conditional distribution $X_1 \mid Y_2 = y$ must be equal to the conditional distribution $X_2 \mid Y_2 = y$. Hence, the conditional distributions also have the same mean, and

$$\begin{equation} \mathbb{E}(Y_1 \mid Y_2 = y) = \mathbb{E}(X_1 - X_2 \mid X_1+X_2 = y) \\ = \mathbb{E}(X_1 \mid X_1+X_2 = y) - \mathbb{E}(X_2 \mid X_1+X_2 = y)= 0. \end{equation}$$

(Caveat: I did not consider the possibility that the conditional mean might not exist.)

Constant conditional mean implies zero correlation/covariance

Intuition: correlation measures how much $Y_1$ tends to increase when $Y_2$ increases. If observing $Y_2$ never changes our mean of $Y_1$, $Y_1$ and $Y_2$ are uncorrelated.

Proof: By definition, covariance is

$$\begin{equation} Cov(Y_1,Y_2) = \mathbb{E}\left[\left(Y_1 - \mathbb{E}(Y_1)\right)\left(Y_2 -\mathbb{E}(Y_2) \right)\right] \end{equation}$$ to this expectation, we apply the law of iterated expectations: take the expectation of the conditional expectation conditional on $Y_2$: $$\begin{equation} = \mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left[\left(Y_1 - \mathbb{E}(Y_1)\right)\left(Y_2 -\mathbb{E}(Y_2) \right) \mid Y_2\right]\right] = \mathbb{E}\left[(Y_2 - \mathbb{E}(Y_2))\mathbb{E}\left[Y_1 - \mathbb{E}(Y_1) \mid Y_2\right] \right]. \end{equation}$$ Recall that the conditional mean was shown to be independent of $Y_2$ and thus the expression simplifies as $$\begin{equation} = \mathbb{E}\left[(Y_2 - \mathbb{E}(Y_2))\mathbb{E}\left[Y_1-\mathbb{E}(Y_1)\right]\right] \end{equation}$$ but the inner expectation is $0$ and we get $$\begin{equation} = \mathbb{E}\left[(Y_2 - \mathbb{E}(Y_2))\times0\right] = 0. \end{equation}$$

Independence

Just by assuming identical distributions for $X_1,X_2$, it was shown that $Y_1$ and $Y_2$ are uncorrelated. When $X_1,X_2$ are jointly normal (for example, iid. normal as in the question), their linear combinations $Y_1,Y_2$ are also jointly normal and thus uncorrelatedness implies independence.