पियर्सन के ची स्क्वैयरेड स्टैटिस्टिक अनुमानित एक ची स्क्वेरड वितरण कैसे करता है

Question

इसलिए यदि पियर्सन के ची स्क्वेरड स्टैटिस्टिक को तालिका के लिए दिया जाता है , तो इसका रूप है:$1 \times N$

$$\sum_{i=1}^n\frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$$

इसके बाद यह , ची-चुकता वितरण को डिग्री स्वतंत्रता के साथ अनुमानित करता है, क्योंकि नमूना आकार बड़ा हो जाता है। $\chi_{n-1}^2$$n-1$$N$

मुझे समझ में नहीं आता है कि यह कैसे असममित सन्निकटन काम करता है। मुझे ऐसा लगता है कि हर में का स्थान बदला जाना चाहिए । चूँकि वह आपको लिए । लेकिन निश्चित रूप से यह है स्वतंत्रता की डिग्री, नहीं इतनी स्पष्ट रूप से कुछ और ही चल रहा है,।$E_i$$\frac{s_i^2}{n_i}$$\chi_n^2 = \sum_{i=1}^nZ_i^2$$Z_i\sim n(0,1)$$n$$n-1$

Comments

हालाँकि यह आपके प्रश्न का उत्तर नहीं देता है , फिर भी यह इस पर कुछ प्रकाश डाल सकता है।

— whuber

Answer 1

मैं इसे सहज रूप से प्रेरित करने जा रहा हूं, और यह इंगित करता हूं कि दो समूहों के विशेष मामले के बारे में कैसे आता है, यह मानते हुए कि आप द्विपद के सामान्य सन्निकटन को स्वीकार करने में प्रसन्न हैं।

उम्मीद है कि आपके लिए यह जानने के लिए पर्याप्त होगा कि यह किस तरह से काम करता है।

आप फिट परीक्षण के ची-स्क्वायर अच्छाई के बारे में बात कर रहे हैं। मान लीजिए कि समूह हैं (आपके पास रूप में है , लेकिन एक कारण है कि मैं इसे कहना पसंद करता हूं )।$k$$n$$k$

मॉडल में इस स्थिति के लिए लागू किया जा रहा, मायने रखता है , हैं बहुपद ।$O_i$$i=1,2,...,k$

चलो । मायने रखता है पर योग (कुछ काफी दुर्लभ स्थितियों को छोड़कर); और प्रत्येक श्रेणी, लिए प्रायिकताओं का कुछ निर्धारित सेट है , जो कि बराबर है ।$N=\sum_{i=1}^k O_i$$N$$p_i, i=1, 2, \ldots,k$$1$

बस के रूप में द्विपद के साथ, वहाँ बहुपद के लिए एक स्पर्शोन्मुख सामान्य सन्निकटन है - वास्तव में, यदि आप किसी दिए गए सेल में केवल गिनती पर विचार करते हैं ("इस श्रेणी में" या नहीं), तो यह द्विपद होगा। द्विपद के साथ के रूप में, काउंटियों के रूपांतरों (साथ ही बहुराष्ट्रीय में उनके सहसंयोजक) और कार्य हैं ; आप अलग से विचरण का अनुमान नहीं लगाते हैं।$N$$p$

यही है, यदि अपेक्षित काउंट्स पर्याप्त रूप से बड़े हैं, तो काउंट्स का वेक्टर लगभग साथ सामान्य है । हालांकि, क्योंकि गणना पर वातानुकूलित है$E_i=Np_i$, वितरण पतित है (यह आयाम k - 1 के एक हाइपरप्लेन में मौजूद है, क्योंकिगिनती के k - 1 कोनिर्दिष्टकरना शेष एक को ठीक करता है)। विचरण-सहसंयोजक मैट्रिक्स में विकर्ण प्रविष्टियाँ N p i ( 1 - p i ) और विकर्ण तत्व - N p i p j , और यह रैंक k - $N$$k-1$$k-1$$Np_i(1-p_i)$$-Np_ip_j$$k-1$ पतित होने के कारण।

$\text{Var}(O_i)=Np_i(1-p_i)$$z_i = \frac{O_i-E_i}{\sqrt{E_i(1-p_i)}}$$z_i$$\chi^2_k$$k-1$$k$$\chi^2_{k-1}$$k-1$

$p_1=p$$p_2=1-p$$X = O_1$$N-X=O_2$

$X$$\text{N}(Np,Np(1-p))$$z=\frac{X-Np}{\sqrt{Np(1-p)}}$$z^2 = \frac{(X-Np)^2}{Np(1-p)}$$\sim \chi^2_1$$\sim \chi^2_1$

नोटिस जो

$\sum_{i=1}^2 \frac{(O_i-E_i)^2}{E_i} = \frac{[X-Np]^2}{Np}+ \frac{[(N-X)-(N-Np)]^2}{N(1-p)}= \frac{[X-Np]^2}{Np}+ \frac{[X-Np]^2}{N(1-p)}=(X-Np)^2[\frac{1}{Np}+ \frac{1}{N(1-p)}]$

परंतु

$\frac{1}{Np}+ \frac{1}{N(1-p)} =\frac{Np+N(1-p)}{Np.N(1-p)} = \frac{1}{Np(1-p)}$

$\sum_{i=1}^2 \frac{(O_i-E_i)^2}{E_i} =\frac{(X-Np)^2}{Np(1-p)}$$z^2$$\chi^2_1$$E_i$$E_i(1-p_i)$

$\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$$\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i(1-p_i)}$$k$$k-1$

$\chi^2_{k-1}$$k$

Comments

धन्यवाद, यह समझ में आता है। क्या यह गणितीय संयोग / दुर्घटना का कुछ है जो यह इतनी अच्छी तरह से काम करता है कि केवल अपेक्षित मूल्य से विभाजन हो सकता है? या यह एक सहज सांख्यिकीय स्पष्टीकरण है कि ऐसा क्यों होना चाहिए।

— थोथ

$z$$E_i$

$E_i$$k-1$

Answer 2

$T^2$$k-1$$k-1$