रेखीय प्रतिगमन में हैट मैट्रिक्स, क्या महत्व है ?

Question

प्रतिगमन विश्लेषण में हैट मैट्रिक्स, का महत्व क्या है ?$H=X(X^{\prime}X )^{-1}X^{\prime}$

क्या यह केवल आसान गणना के लिए है?

Comments

इसके अलावा, क्या आप अधिक विशिष्ट हो सकते हैं?

— स्टीव एस।

@SteveS वास्तव में मैं जानना चाहता हूं कि हमें हेट मैट्रिक्स की आवश्यकता क्यों है?

— उपयोगकर्ता 31466

क्या आप पूछ रहे हैं कि हमें मैट्रिक्स के लिए एक विशेष नाम / प्रतीक (अर्थात "हैट मैट्रिक्स", " H ") की आवश्यकता क्यों है या क्या आप दाएं तरफ मैट्रिक्स उत्पाद के महत्व के बारे में अधिक पूछ रहे हैं?

— स्टीव एस

Answer 1

रैखिक प्रतिगमन के अध्ययन में, मूल प्रारंभिक बिंदु डेटा जनरेटिंग प्रक्रिया जहां और नियतात्मक। कम से कम वर्गों की कसौटी को कम करने के बाद, कोई एक अनुमानक लिए , अर्थात । प्रारंभिक सूत्र में अनुमानक में प्लग करने के बाद, कोई डेटा निर्माण प्रक्रिया के रैखिक मॉडल के रूप में जाता है। अब, कोई लिए अनुमानक का विकल्प चुन सकता है$\textbf{y= XB + u} \quad$$\textbf{u} \sim N(0,\sigma^2 \boldsymbol I)$$\textbf{X}$$\widehat {\textbf{B} }$$\textbf{B}$$\widehat {\textbf{B}}= ( \textbf{X} ' \textbf{X})^{-1}\textbf{X} '\textbf{y}$$\widehat {\textbf{y}}=\textbf{X}\widehat {\textbf{B}}$$\widehat {\textbf{B}}$और$\widehat {\textbf{y}}=\textbf{X}( \textbf{X} ' \textbf{X})^{-1}\textbf{X} '\textbf{y}.$

तो, वास्तव में एक प्रक्षेपण मैट्रिक्स है। कल्पना करें कि आप में सभी चर ले सकते हैं । चर वैक्टर हैं और एक जगह फैलाते हैं। इसलिए, यदि आप by गुणा करते हैं, तो आप अपने देखे हुए मानों को उस स्थान पर प्रोजेक्ट करते हैं, जो चर में द्वारा फैलाया जाता है । यह लिए एक अनुमान देता है और यही कारण है कि इसे हैट मैट्रिक्स कहा जाता है और इसका इतना महत्व क्यों है। आखिरकार, रैखिक प्रतिगमन एक प्रक्षेपण से ज्यादा कुछ नहीं है और प्रक्षेपण मैट्रिक्स के साथ हम केवल लिए अनुमानों की गणना नहीं कर सकते हैं$\textbf{H} = \textbf{X}( \textbf{X} ' \textbf{X})^{-1}\textbf{X} '$$\textbf{X}$$\textbf{H}$$\textbf{y}$$\textbf{y}$$\textbf{X}$$\textbf{y}$$\textbf{y}$लेकिन लिए भी और उदाहरण के लिए जाँच कर सकते हैं कि क्या यह वास्तव में सामान्य रूप से वितरित है।$\textbf{u}$

मुझे यह अच्छी तस्वीर इंटरनेट पर मिली और यह इस प्रक्षेपण की कल्पना करता है। कृपया ध्यान दें, बजाय का उपयोग किया जाता है । इसके अलावा, चित्र में त्रुटि के वेक्टर पर जोर दिया गया है जो प्रक्षेपण के लिए और इसलिए के अनुमानों के साथ सहसंबद्ध नहीं है।$\beta$$\textbf{B}$$\textbf{y}$

Answer 2

कुछ कारणों से हैट मैट्रिक्स बहुत उपयोगी है:

1. इसके बजाय होने के बजाय , हम उस जहां हैट मैट्रिक्स है। इससे हमें पता चलता है कि देखे गए मानों का एक रेखीय मानचित्रण है।$\widehat{y}=Z\widehat{\beta}$$\widehat{y}=Py$$P$$\widehat{y}$
2. हैट मैट्रिक्स , अवशिष्ट गणना करना आसान है । हम देखते हैं कि ।$P$$\widehat{\epsilon}$$\widehat{\epsilon}=y-\widehat{y}=y-Py=\left(I_n-P\right)y$

Answer 3

यह एक्स = बी के लिए "निकटतम" समाधान खोजने से ज्यादा कुछ नहीं है जहां बी ए के कॉलम स्पेस में नहीं है। हम कॉलम स्पेस पर बी प्रोजेक्ट करते हैं, और एक्स (हैट) = पी के लिए हल करते हैं जहां पी बी का प्रक्षेपण है। स्तंभ स्थान।

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यह सब कभी कंप्यूटिंग के बिना किया जा सकता है । $H$

— व्हिबर