स्थिर वितरण जो गुणा किया जा सकता है?

Question

संकल्पों के तहत स्थिर वितरण अपरिवर्तनीय हैं। स्थिर वितरण के उप-परिवार क्या गुणा के तहत भी बंद हैं? इस अर्थ में कि यदि और , तो उत्पाद प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन, (एक सामान्य स्थिरांक तक) भी संबंधित है ?च ∈ एफ जी ∈ एफ च ⋅ जी $F$$f\in F$$g\in F$$f \cdot g$$F$

नोट: मैंने इस प्रश्न की सामग्री को काफी हद तक बदल दिया है। लेकिन विचार अनिवार्य रूप से एक ही है, और अब यह बहुत सरल है। मेरे पास केवल आंशिक उत्तर था, इसलिए मुझे लगता है कि यह ठीक है।

Comments

यदि डोमेन माध्य और विचरण को बाध्य करता है (वास्तव में सभी क्षण) परिमित होना चाहिए। आप कितने आश्वस्त हैं कि कोई भी ज्ञात वितरण मौजूद है जो सभी स्थितियों को पूरा करता है?

— Glen_b -Reinstate मोनिका

@Glen_b यदि यह साबित करना संभव है कि इन सभी शर्तों के साथ कोई वितरण मौजूद नहीं है, तो मैं उस प्रमाण के साथ एक उत्तर स्वीकार करूंगा।

— बेको जू

(5) में समान रूप से बंधे हुए "" एक समान वितरण क्या है? क्या यह एक वितरण है (और यदि हां, तो इसके पैरामीटर क्या हैं), या क्या यह एक समान वितरण का परिवार है (और यदि हां, तो यह परिवार क्या है)?

— whuber

(१) "उप-परिवार" से क्या आपका मतलब स्थिर वितरण से है ? (2a) यदि ऐसा है, तो यह देखते हुए कि गॉसियंस का उत्पाद स्पष्ट रूप से एक और गॉसियन है, आपके पास सकारात्मक में एक तत्काल उत्तर है। (२ ब) यदि नहीं, तो असंख्य उत्तर हैं। किसी भी परिवार के साथ शुरू करें हर जगह सकारात्मक घनत्व के साथ निरंतर वितरण का । सबसे छोटा परिवार जिसमें एफ शामिल है और घनत्व कार्यों के असामान्य उत्पादों के तहत बंद है वह काम करता है। जब एफ केवल एक तत्व है, तो आप इन्हें स्पष्ट रूप से गणना कर सकते हैं । $\mathcal F$$\mathcal F$$\mathcal F$

— whuber

@whuber हां, मेरा मतलब है कि स्थिर वितरण का एक उप-परिवार। आप सही हैं, एक गौसियन मेरे मानदंड को संतुष्ट करता है। मैं वास्तव में अन्य उदाहरणों की तलाश में था, लेकिन मैं इसका उल्लेख करना भूल गया। क्या कोई अन्य वितरण हैं जो मेरे मानदंडों को भी पूरा करते हैं? मैं प्रश्न को अपडेट करूंगा, मुझे इसे स्पष्ट करने में मदद करने के लिए धन्यवाद।

— बेको

Answer 1

"स्थिर वितरण" एक विशेष प्रकार का स्थान-वितरण परिवार है। स्थिर वितरण के वर्ग है दो वास्तविक संख्या से parameterized, स्थिरता और तिरछापन बीटा ∈ [ - 1 , 1 ] ।$\alpha\in(0,2]$ $\beta\in[-1,1]$

विकिपीडिया लेख में उद्धृत एक परिणाम घनत्व कार्यों के उत्पादों के तहत बंद होने के बारे में इस प्रश्न को हल करता है। जब α < 2 के साथ एक स्थिर वितरण का घनत्व होता है , तो असममित रूप से$f$$\alpha \lt 2$

$$f(x) \sim |x|^{-(1+\alpha)} g(\operatorname{sgn}(x), \alpha, \beta)$$

एक स्पष्ट रूप से दिए गए कार्य के लिए जिसका विवरण में कोई फर्क नहीं है। (विशेष रूप से, सभी पॉजिटिव x या सभी ऋणात्मक x या दोनों के लिए g नॉनज़रो होगा ।) किन्हीं दो समान घनत्वों का उत्पाद asymptotically के समानुपाती होगा । x | - कम से कम एक पूंछ में 2 ( 1 + α ) । के बाद से 2 ( 1 + α ) ≠ 1 + α , इस उत्पाद (renormalization के बाद) एक ही स्थिर परिवार में किसी भी वितरण के अनुरूप नहीं कर सकते हैं।$g$$g$$x$$x$$|x|^{-2(1+\alpha)}$$2(1+\alpha)\ne 1+\alpha$

(वास्तव में, क्योंकि किसी भी संभव के लिए α ' ∈ ( 0 , 2 ] , किसी भी तीन तरह के घनत्व कार्यों के उत्पाद भी किसी भी स्थिर वितरण का घनत्व समारोह नहीं हो सकता है। यही कारण है कि किसी भी आशा नष्ट कर देता है एक स्थिर वितरण से उत्पाद वितरण के विचार को स्थिर वितरण के एक सेट तक विस्तारित करना।)$3(1+\alpha) \ne 1+\alpha^\prime$$\alpha^\prime\in(0,2]$

केवल शेष संभावना । ये सामान्य वितरण कर रहे हैं घनत्व के साथ के लिए आनुपातिक विस्तार ( - ( एक्स - μ ) 2 / ( 2 σ 2 ) ) के लिए स्थान और पैमाने पैरामीटर μ और σ । यह जांच करने के लिए कि इस तरह के दो भाव का एक उत्पाद एक ही रूप की है (क्योंकि में दो द्विघात रूपों की राशि सीधा है एक्स में एक और द्विघात रूप है x )।$\alpha=2$$\exp(-(x-\mu)^2/(2\sigma^2))$$\mu$$\sigma$$x$$x$

तब, अद्वितीय उत्तर, यह है कि सामान्य वितरण परिवार केवल उत्पाद-घनत्व-बंद-स्थिर वितरण है।

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ठंडा! यह तब एक सामान्य वितरण को परिभाषित करने का एक अच्छा तरीका है , जैसा कि अद्वितीय स्थिर और उत्पादों के तहत बंद है। धन्यवाद

— becko

Answer 2

मुझे पता है कि यह एक आंशिक जवाब है और मैं एक विशेषज्ञ नहीं हूं, लेकिन यह मदद कर सकता है: यदि दो में से एक अनिमॉडल पीडीएफ़ लॉग-अवतल है, तो उनका दोषी अनिमॉडल है। इन नोटों के माध्यम से Ibragimov (1956) के कारण । जाहिर है, अगर दोनों लॉग-अवतल हैं, तो दृढ़ संकल्प भी लॉग-अवतल है।

जहां तक ​​उत्पाद बंद होने की बात है, केवल "स्वच्छ" परिणाम, जो मुझे उत्पाद वितरण के लिए पता है, इस गणित में वर्णित सीमा प्रमेय है ।

कैसे के बारे में इनका एक छोटा संस्करण ? बंधे हुए समान वितरण इसके आकार पैरामीटर का एक सीमित मामला है, और जहाँ तक मुझे पता है कि वे एकमत और लॉग-अवतल हैं, तो उनके पास असमान, लॉग-अवतल संकल्प हैं। मुझे उनके उत्पादों के बारे में कोई सुराग नहीं है। जब मेरे पास इस सप्ताह के बाद और अधिक समय होता है, तो मैं यह देखने के लिए कुछ सिमुलेशन चला सकता हूं कि क्या मुझे कट-आउट त्रुटि वितरण के लॉग-अवतल उत्पाद मिलते हैं। शायद गोविंदराजुलु (1966) मदद करेगा।

मुझे यकीन नहीं है कि क्रॉसपोस्टिंग पर नीति क्या है, लेकिन ऐसा लगता है कि math.se लोग आपकी मदद करने में सक्षम हो सकते हैं। जिज्ञासा से बाहर, क्या आप संभावना वितरण से बाहर एक बीजीय संरचना बनाने की कोशिश कर रहे हैं?

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क्रॉसपोस्टिंग पर नीति मदद के पहले पृष्ठ में निहित है। यह कहता है 'कृपया क्रॉसपोस्ट मत करो'। हमें अपने प्रश्न के लिए सबसे अच्छी साइट का चयन करना चाहिए। यदि आवश्यक हो तो एक प्रश्न को माइग्रेट किया जा सकता है। यदि किसी प्रश्न का भाग किसी भिन्न साइट के लिए बेहतर है, तो प्रश्न को दो अलग-अलग प्रश्नों (जिसे लिंक किया जा सकता है) के रूप में पूछा जाना चाहिए।

— Glen_b -Reinstate मोनिका