घातीय ऊपरी सीमा

मान लें कि हमारे पास IID यादृच्छिक चर साथ । हम निम्नलिखित तरीके से नमूने का अवलोकन करने जा रहे हैं : स्वतंत्र यादृच्छिक चर होने दें, मान लें कि सभी के और । स्वतंत्र हैं, और नमूना आकार । के संकेत मिलता है जिसमें से के नमूने में हैं, और हम नमूना द्वारा परिभाषित में सफलता के अंश का अध्ययन करना चाहते $X_1,\dots,X_n$ $\mathrm{Ber}(\theta)$ $X_i$ $Y_1,\dots,Y_n$ $\mathrm{Ber}(1/2)$ $X_i$ $Y_i$ $N=\sum_{i=1}^n Y_i$ $Y_i$ $X_i$

Z = {\begin{cases} \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} Y_{i} & if N > 0, \\ 0 & if N = 0 . \end{cases}

$Z = \begin{cases} \frac{1}{N}\sum_{i=1}^n X_i Y_i & \text{if}\quad N > 0\, , \\ 0 & \text{if} \quad N = 0 \, . \end{cases}$ लिए

ϵ > 0

$\epsilon>0$ , हम

लिए एक ऊपरी सीमा को खोजना चाहते हैं जो

P r (Z \geq θ + ϵ)

$\mathrm{Pr}\!\left(Z \geq \theta + \epsilon\right)$ साथ घातीय हो । हॉफडिंग की असमानता चर के बीच निर्भरता के कारण तुरंत लागू नहीं होती है।

n

$n$

probability-inequalities

— जेन
स्रोत

चलो

Z_{i} = \frac{_{1}}{^{N}} X_{i} Y_{i}

$Z_i = \frac{_1}{^N} X_iY_i$ । (i) क्या

Z_{i}

$Z_i$ स्वतंत्र नहीं है ? (ii)

? ... परिणामस्वरूप, यह मेरे लिए स्पष्ट नहीं है कि

'स्वतंत्र यादृच्छिक चर का योग नहीं है'

Z_{j \neq i}

$Z_{j\neq i}$

Z = \sum Z_{i}

$Z=\sum Z_i$

Z

$Z$

— Glen_b -Reinstate Monica

आह, अच्छी बात है। मैं के बारे में सोच रहा था के बजाय, । लेकिन क्या आप इसके बजाय , और ? यही कारण है, योग सभी मामलों खत्म हो गया है, या नहीं, 1 या 0. है ... वह काम नहीं करता नहीं। अंश समान है लेकिन भाजक अलग है।

n

$n$

N

$N$

Z_{i} = \frac{1}{n} X_{i} Y_{i}

$Z_i = \frac{1}{n}X_iY_i$

Z = \sum_{i = 1}^{n} Z_{i}

$Z=\sum_{i=1}^n Z_i$

Y

$Y$

— Glen_b -Reinstate मोनिका

यह नमूने में सफलताओं के अंश से कम है, जो समस्या में रुचि की मात्रा है, क्योंकि , बाद से ।

(1 / n) \sum_{i = 1}^{n} X_{i} Y_{i} \leq (1 / N) \sum_{i = 1}^{n} X_{i} Y_{i}

$(1/n)\sum_{i=1}^n X_i Y_i\leq (1/N)\sum_{i=1}^n X_i Y_i$

N \leq n

$N\leq n$

— ज़ेन

हां, यही कारण है कि मैंने "नहीं जो काम नहीं करता है" के साथ समाप्त हुआ। गैर-स्वतंत्र मामले पर लागू होने वाली असमानताएं हैं, जैसे कि बर्नस्टीन की कुछ असमानताएं (चौथा आइटम देखें), और कई असमानताएं हैं जो मार्टिंगेल्स पर लागू होती हैं (हालांकि मुझे नहीं पता कि वे यहां लागू होंगे)।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

मैं एक नज़र डालूंगा, और शहीदों के परिणामों के साथ एक संबंध खोजने की भी कोशिश करूँगा। के लिए बाध्य इतना आसान है ( ) यह किसी प्रकार की कंडीशनिंग का उपयोग करके इसे से जोड़ने के लिए लुभा रहा है ।

U = (1 / n) \sum_{i = 1}^{n} X_{i} Y_{i}

$U=(1/n)\sum_{i=1}^nX_i Y _i$

P r (U \geq θ / 2 + ϵ) \leq \exp (- 2 n ϵ^{2})

$\mathrm{Pr}(U\geq \theta/2+\epsilon)\leq \exp(-2n\epsilon^2)$

Z

$Z$

— झेन

जवाबों:

हम हॉफडिंग की असमानता के संबंध को काफी प्रत्यक्ष तरीके से आकर्षित कर सकते हैं ।

ध्यान दें कि हमारे पास

{Z > θ + ϵ} = {\sum_{i} X_{i} Y_{i} > (θ + ϵ) \sum_{i} Y_{i}} = {\sum_{i} (X_{i} - θ - ϵ) Y_{i} > 0} .

$\{ Z > \theta + \epsilon\} = \big\{\sum_i X_i Y_i > (\theta + \epsilon)\sum_i Y_i \big\} = \big\{ \sum_i (X_i - \theta - \epsilon) Y_i > 0 \} \>.$

सेट ताकि आईआईडी कर रहे हैं, और 2/2 _ , Hoeffding की असमानता के एक सीधे आवेदन द्वारा ( Z_i के बाद से और इसलिए आकार एक के अंतराल में मान लें)। $Z_i = (X_i - \theta - \epsilon)Y_i + \epsilon/2$ $Z_i$ $\mathbb E Z_i = 0$

P (Z > θ + ϵ) = P (\sum_{i} Z_{i} > n ϵ / 2) \leq e^{- n ϵ^{2} / 2},

$\mathbb P( Z > \theta + \epsilon ) = \mathbb P\big(\sum_i Z_i > n \epsilon/2\big) \leq e^{-n \epsilon^2/2}\>,$

Z_{i} \in [- θ - ϵ / 2, 1 - θ - ϵ / 2]

$Z_i \in [-\theta-\epsilon/2,1-\theta-\epsilon/2]$

एक समृद्ध और आकर्षक संबंधित साहित्य है जो पिछले कई वर्षों में बना है, विशेष रूप से, विभिन्न व्यावहारिक अनुप्रयोगों के साथ यादृच्छिक मैट्रिक्स सिद्धांत से संबंधित विषयों पर। यदि आप इस तरह की चीज़ों में रुचि रखते हैं, तो मैं अत्यधिक अनुशंसा करता हूं:

आर। वर्शिनिन, यादृच्छिक मैट्रिस के गैर- स्पर्शोन्मुख विश्लेषण का परिचय , संपीडित सेंसिंग, सिद्धांत और अनुप्रयोग के अध्याय 5। Y Eldar और G. Kutyniok द्वारा संपादित। कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस, 2012।

मुझे लगता है कि एक्सपोज़र स्पष्ट है और साहित्य को जल्दी से प्राप्त करने के लिए एक बहुत अच्छा तरीका प्रदान करता है।

— कार्डिनल
स्रोत

चूंकि में उनकी परिभाषा में शामिल है , इसलिए मुझे इस बात का आभास है कि (एक सीमा नहीं बदलती)।

Z_{i}

$Z_i$

ϵ / 2

$\epsilon/2$

Z_{i} \in [- θ - ϵ / 2, 1 - θ - ϵ / 2]

$Z_i \in [-\theta-\epsilon/2,1-\theta-\epsilon/2]$

— एलेकोस पापाडोपोलोस

प्रिय @Zen: ध्यान दें कि केस का एक सावधानीपूर्वक लेखा आपको अंतिम बाउंड को बदले बिना हर जगह सख्त असमानता by को बदलने की अनुमति देगा ।

N = 0

$N=0$

>

$>$

\geq

$\geq$

— कार्डिनल

प्रिय @cardinal: मैं सवाल reworded है, क्योंकि वास्तव में एक की (थोड़ा) पक्षपाती आकलनकर्ता है , के बाद से ।

Z

$Z$

θ

$\theta$

E [Z] = E [I_{{N = 0}} Z] + E [I_{{N > 0}} Z] = (1 - 1 / 2^{n}) θ

$\mathrm{E}[Z]=\mathrm{E}[I_{\{N=0\}}Z]+\mathrm{E}[I_{\{N>0\}}Z] = (1-1/2^n)\,\theta$

— ज़ेन

मामले की देखभाल करने के लिए विवरण । $N=0$

\begin{aligned} {Z \geq θ + ϵ} & = ({Z \geq θ + ϵ} \cap {N = 0}) \cup ({Z \geq θ + ϵ} \cap {N > 0}) \\ = ({0 \geq θ + ϵ} \cap {N = 0}) \cup ({Z \geq θ + ϵ} \cap {N > 0}) \\ = (\emptyset \cap {N = 0}) \cup ({Z \geq θ + ϵ} \cap {N > 0}) \\ = {\sum_{i = 1}^{n} X_{i} Y_{i} \geq (θ + ϵ) \sum_{i = 1}^{n} Y_{i}} \cap {N > 0} \\ \subset {\sum_{i = 1}^{n} X_{i} Y_{i} \geq (θ + ϵ) \sum_{i = 1}^{n} Y_{i}} \\ = {\sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - θ - ϵ) Y_{i} \geq 0} \\ = {\sum_{i = 1}^{n} ((X_{i} - θ - ϵ) Y_{i} + ϵ / 2) \geq n ϵ / 2} . \end{aligned}

$\begin{align} \{Z\geq\theta+\epsilon\} &= \left(\{Z\geq\theta+\epsilon\} \cap \{N=0\}\right) \cup \left(\{Z\geq\theta+\epsilon\} \cap \{N>0\}\right) \\ &= \left(\{0\geq\theta+\epsilon\} \cap \{N=0\}\right) \cup \left(\{Z\geq\theta+\epsilon\} \cap \{N>0\}\right) \\ &= \left(\emptyset \cap \{N=0\}\right) \cup \left(\{Z\geq\theta+\epsilon\} \cap \{N>0\}\right) \\ &= \left\{\sum_{i=1}^n X_iY_i\geq(\theta+\epsilon)\sum_{i=1}^n Y_i\right\} \cap \{N>0\} \\ &\subset \left\{\sum_{i=1}^n X_iY_i\geq(\theta+\epsilon)\sum_{i=1}^n Y_i\right\} \\ &= \left\{\sum_{i=1}^n (X_i-\theta-\epsilon)Y_i\geq 0\right\} \\ &= \left\{\sum_{i=1}^n \left((X_i-\theta-\epsilon)Y_i+\epsilon/2\right)\geq n\epsilon/2\right\} \, . \end{align}$

एलेकोस के लिए।

\begin{aligned} E [\sum_{i = 1}^{n} W_{i}] & = E [I_{{\sum_{i = 1}^{n} Y_{i} = 0}} \sum_{i = 1}^{n} W_{i}] + E [I_{{\sum_{i = 1}^{n} Y_{i} > 0}} \sum_{i = 1}^{n} W_{i}] \\ = E [I_{{\sum_{i = 1}^{n} Y_{i} > 0}} \frac{\sum_{i = 1}^{n} Y_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} Y_{i}}] = E [I_{{\sum_{i = 1}^{n} Y_{i} > 0}}] = 1 - 1 / 2^{n} . \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{E}\!\left[\sum_{i=1} ^n W_i\right]&=\mathrm{E}\!\left[I_{\{\sum_{i=1}^n Y_i=0\}}\sum_{i=1} ^n W_i\right] + \mathrm{E}\!\left[I_{\{\sum_{i=1}^n Y_i>0\}}\sum_{i=1} ^n W_i\right] \\ &=\mathrm{E}\!\left[I_{\{\sum_{i=1}^n Y_i>0\}}\frac{\sum_{i=1} ^n Y_i}{\sum_{i=1}^n Y_i}\right]=\mathrm{E}\!\left[I_{\{\sum_{i=1}^n Y_i>0\}}\right]=1-1/2^n \, . \end{align}$

— जेन
स्रोत

यह उत्तर उत्परिवर्तित करता रहता है। वर्तमान संस्करण उस टिप्पणी से संबंधित नहीं है जो मैंने टिप्पणियों में @cardinal के साथ की थी (हालांकि यह इस चर्चा के माध्यम से था कि मुझे शुक्र है कि कंडीशनिंग दृष्टिकोण कहीं भी नेतृत्व करने के लिए प्रकट नहीं हुआ)।

इस प्रयास के लिए, मैं होफेडिंग के मूल 1963 के पेपर के एक अन्य भाग का उपयोग करूंगा , जिसका नाम खंड 5 "सोम्स ऑफ डिपेंडेंट रैंडम वेरिएबल्स" होगा।

सेट

W_{i} \equiv \frac{Y_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} Y_{i}}, \sum_{i = 1}^{n} Y_{i} \neq 0, \sum_{i = 1}^{n} W_{i} = 1, n \geq 2

$W_i \equiv \frac {Y_i}{\sum_{i=1}^nY_i}, \qquad \sum_{i=1}^nY_i \neq 0, \qquad \sum_{i=1}^nW_i=1, \qquad n\geq 2$

हम तैयार किया, जबकि यदि । $W_i =0$ $\sum_{i=1}^nY_i = 0$

फिर हमारे पास चर है

Z_{n} = \sum_{i = 1}^{n} W_{i} X_{i}, E (Z_{n}) \equiv μ_{n}

$Z_n= \sum_{i=1}^nW_iX_i, \qquad E(Z_n) \equiv \mu_n$

हम संभावना में रुचि रखते हैं

P r (Z_{n} \geq μ_{n} + ϵ), ϵ < 1 - μ_{n}

$\mathrm{Pr}(Z_n\geq \mu_n +\epsilon), \qquad \epsilon < 1-\mu_n$

कई अन्य असमानताओं का सवाल है, Hoeffding कि ध्यान देने योग्य बात द्वारा अपने तर्क शुरू होता है और कहा कि

P r (Z_{n} \geq μ_{n} + ϵ) = E [1_{{Z_{n} - μ_{n} - ϵ \geq 0}}]

$\mathrm{Pr}(Z_n\geq \mu_n +\epsilon) = E\left[\mathbf 1_{\{Z_n-\mu_n -\epsilon \geq 0\}}\right]$

1_{{Z_{n} - μ_{n} - ϵ \geq 0}} \leq \exp {h (Z_{n} - μ_{n} - ϵ)}, h > 0

$\mathbf 1_{\{Z_n-\mu_n -\epsilon\geq 0\}} \leq \exp\Big\{h(Z_n-\mu_n -\epsilon)\Big\}, \qquad h>0$

निर्भर-चर मामले के लिए, Hoeffding के रूप में हम इस तथ्य है कि का उपयोग और (उत्तल) के लिए घातीय समारोह जेन्सेन की असमानता आह्वान लिखने के लिए, $\sum_{i=1}^nW_i=1$

e^{h Z_{n}} = \exp {h (\sum_{i = 1}^{n} W_{i} X_{i})} \leq \sum_{i = 1}^{n} W_{i} e^{h X_{i}}

$e^{hZ_n} = \exp\left\{h\left(\sum_{i=1}^nW_iX_i\right)\right\} \leq \sum_{i=1}^nW_ie^{hX_i}$

और आने वाले परिणामों को जोड़ने के लिए

P r (Z_{n} \geq μ_{n} + ϵ) \leq e^{- h (μ_{n} + ϵ)} E [\sum_{i = 1}^{n} W_{i} e^{h X_{i}}]

$\mathrm{Pr}(Z_n\geq \mu_n +\epsilon) \leq e^{-h(\mu_n+\epsilon)}E\left[\sum_{i=1}^nW_ie^{hX_i}\right]$

$W_i$ $X_i$

P r (Z_{n} \geq μ_{n} + ϵ) \leq e^{- h (μ_{n} + ϵ)} \sum_{i = 1}^{n} E (W_{i}) E (e^{h X_{i}})

$\mathrm{Pr}(Z_n\geq \mu_n +\epsilon) \leq e^{-h(\mu_n+\epsilon)}\sum_{i=1}^nE(W_i)E\left(e^{hX_i}\right)$

$X_i$ $\theta$ $E[e^{hX_i}]$ $h$ $E[e^{hX_i}] = 1-\theta +\theta e^h$

P r (Z_{n} \geq μ_{n} + ϵ) \leq e^{- h (μ_{n} + ϵ)} (1 - θ + θ e^{h}) \sum_{i = 1}^{n} E (W_{i})

$\mathrm{Pr}(Z_n\geq \mu_n +\epsilon) \leq e^{-h(\mu_n+\epsilon)}(1-\theta +\theta e^h)\sum_{i=1}^nE(W_i)$

$h$

e^{h^{*}} = \frac{(1 - θ) (μ_{n} + ϵ)}{θ (1 - μ_{n} - ϵ)}

$e^{h^*} = \frac {(1-\theta)(\mu_n+\epsilon)}{\theta(1-\mu_n-\epsilon)}$

इसे असमानता में प्लग करना और हमें प्राप्त होने वाले हेरफेर

P r (Z_{n} \geq μ_{n} + ϵ) \leq {(\frac{θ}{μ_{n} + ϵ})}^{μ_{n} + ϵ} \cdot {(\frac{1 - θ}{1 - μ_{n} - ϵ})}^{1 - μ_{n} - ϵ} \sum_{i = 1}^{n} E (W_{i})

$\mathrm{Pr}(Z_n\geq \mu_n +\epsilon) \leq \left(\frac {\theta}{\mu_n+\epsilon}\right)^{\mu_n+\epsilon}\cdot \left(\frac {1-\theta}{1-\mu_n-\epsilon}\right)^{1-\mu_n-\epsilon}\sum_{i=1}^nE(W_i)$

जबकि

P r (Z_{n} \geq θ + ϵ) \leq {(\frac{θ}{θ + ϵ})}^{θ + ϵ} \cdot {(\frac{1 - θ}{1 - θ - ϵ})}^{1 - θ - ϵ} \sum_{i = 1}^{n} E (W_{i})

$\mathrm{Pr}(Z_n\geq \theta +\epsilon) \leq \left(\frac {\theta}{\theta+\epsilon}\right)^{\theta+\epsilon}\cdot \left(\frac {1-\theta}{1-\theta-\epsilon}\right)^{1-\theta-\epsilon}\sum_{i=1}^nE(W_i)$

हॉफिंग से पता चलता है कि

{(\frac{θ}{θ + ϵ})}^{θ + ϵ} \cdot {(\frac{1 - θ}{1 - θ - ϵ})}^{1 - θ - ϵ} \leq e^{- 2 ϵ^{2}}

$\left(\frac {\theta}{\theta+\epsilon}\right)^{\theta+\epsilon}\cdot \left(\frac {1-\theta}{1-\theta-\epsilon}\right)^{1-\theta-\epsilon} \leq e^{-2\epsilon^2}$

\sum_{i = 1}^{n} E (W_{i}) = 1 - 1 / 2^{n}

$\sum_{i=1}^n E(W_i) =1-1/2^n$

P r (Z_{n} \geq θ + ϵ) \leq (1 - \frac{1}{2^{n}}) e^{- 2 ϵ^{2}} \equiv B_{D}

$\mathrm{Pr}(Z_n\geq \theta +\epsilon) \leq (1-\frac 1{2^n})e^{-2\epsilon^2} \equiv B_D$

$B_I$

B_{D} = (1 - \frac{1}{2^{n}}) e^{- 2 ϵ^{2}} \leq e^{- n ϵ^{2} / 2} = B_{I}

$B_D=(1-\frac 1{2^n})e^{-2\epsilon^2} \leq e^{-n\epsilon^2/2}=B_I$

\Rightarrow \frac{2^{n} - 1}{2^{n}} \leq \exp {(\frac{4 - n}{2}) ϵ^{2}}

$\Rightarrow \frac {2^n-1}{2^n} \leq \exp\left\{\left(\frac {4-n}{2}\right)\epsilon^2\right\}$

$n\leq 4$ $B_D \leq B_I$ $n \geq 5$ $B_I$ $B_D$ $\epsilon$ $n=12$ $\epsilon \geq 0.008$ $B_I$

$W_i$ $X_i$ $X_i$

— एलेकोस पापाडोपोलोस
स्रोत

E [W_{1}] = (1 - 1 / 2^{n}) / n

$\mathrm{E}[W_1]=(1-1/2^n)/n$

n

$n$

@Zen वास्तव में (वास्तव में यह नमूना आकार के साथ बढ़ता है , हालांकि सीमाबद्ध रूप से), यही कारण है कि कार्डिनल की सीमा अधिकांश नमूना आकारों के लिए अधिक उपयोगी है।

— एलेकोस पापाडोपोलोस