एक निष्पक्ष सिक्का तब तक उछाला जाता है जब तक कि कोई सिर पहली बार सामने न आ जाए। यह एक विषम संख्या टॉस पर होने की संभावना है?

Question

एक निष्पक्ष सिक्का तब तक उछाला जाता है जब तक कि कोई सिर पहली बार सामने न आ जाए। यह एक विषम संख्या टॉस पर होने की संभावना है? मैं इस समस्या का सामना कैसे करूं?

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यह एक सामान्य होमवर्क / सेल्फ स्टडी प्रश्न की तरह लगता है, और जैसे self-studyटैग होना चाहिए । आँकड़े

— पैट्रिक

Answer 1

पहली बार टॉस 1, 3, 5 पर आने वाले सिक्के की संभावनाओं को जोड़ें ...

$p_o = 1/2 + 1/2^3 + 1/2^5 + ...$

• अवधि बहुत स्पष्ट है, यह सिर जा रहा टॉस पहले की संभावना है।$1/2$

• अवधि तीसरे टॉस, या अनुक्रम TTH पर पहली बार के लिए सिर प्राप्त होने की संभाव्यता है। उस अनुक्रम में की संभावना है । 1 / 2 * 1 / 2 * 1 /$1/2^3$$1/2 * 1/2 * 1/2$

• अवधि पांचवें टॉस, या अनुक्रम TTTTH पर पहली बार के लिए सिर प्राप्त होने की संभाव्यता है। उस अनुक्रम में संभावना है । 1 / 2 * 1 / 2 * 1 / 2 * 1 / 2 * 1 /$1/2^5$$1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2$

अब हम उपरोक्त श्रृंखला को फिर से लिख सकते हैं

$p_o = 1/2 + 1/8 + 1/32 + ...$

यह एक ज्यामितीय श्रंखला है जो । यह दिखाने का सबसे आसान तरीका दृश्य उदाहरण के साथ है। श्रृंखला से शुरू करें$2/3$

$p = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + ...$

यह एक ज्यामितीय श्रंखला है जो ।$1$

यदि हम उस श्रृंखला के सिर्फ शब्दों को भी जोड़ते हैं, तो हम देख सकते हैं कि वे योग हैं ।$1/3$

$1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ... = 1/3$

यदि आप पूर्ण क्रम से समान शब्द समाप्त करते हैं, तो आप केवल विषम शब्दों के साथ रह जाते हैं, जिन्हें तक जोड़ना चाहिए ।$2/3$

$p_o = 1/2 + 1/8 + 1/32 + ... = 2/3$

Answer 2

पुनरावर्ती रूप से सोचें - विषम टॉस पर पहले सिर की संभावना हो , और एक भी टॉस पर पहले सिर की संभावना हो। अब , और हमारे पास यह भी है कि पहले toss tails times की संभावना के बराबर है । इस प्रकार ; ; ।$p_o$$p_e$$p_o+p_e=1$$p_e$$p_o$$p_e = 1/2\cdot p_o$$p_o+1/2\cdot p_o = 1$$p_o = 2/3$

Comments

क्या आप कृपया विस्तार कर सकते हैं "... हमारे पास यह भी है कि पे पहले टॉस के समय पो की संभावना को बराबर करता है।"

— मैकमै