प्रतिशत हानि के कार्य

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समस्या का हल:

min_{m} E [| m - X |]

$\min_{m} \; E[|m-X|]$

के माध्यिका के रूप में अच्छी तरह से जाना जाता है $X$ , लेकिन नुकसान का प्रतिशत अन्य प्रतिशत के लिए कैसा दिखता है? Ex: X का 25 वाँ प्रतिशतक इसका समाधान है:

min_{m} E [L (m, X)]

$\min_{m} \; E[ L(m,X) ]$

इस मामले में क्या है $L$ ?

expected-value loss-functions

— Cam.Davidson.Pilon
स्रोत

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आइए $I$ संकेतक कार्य करता : यह सच्चे तर्कों के लिए बराबर है $1$ और $0$ अन्यथा। उठाओ $0\lt\alpha\lt 1$ और सेट

Λ_{α} (x) = α x I (x \geq 0) - (1 - α) x I (x < 0) .

$\Lambda_\alpha(x)=\alpha x\, I(x\ge 0) - (1-\alpha)x\, I(x\lt 0).$

आकृति

यह आंकड़ा प्लॉट $\Lambda_{1/5}$ । यह ढलान को गेज करने में आपकी मदद करने के लिए एक सटीक पहलू अनुपात का उपयोग करता है, जो बाईं ओर बराबर $-4/5$ और दाईं ओर $+1/5$ । इस मामले में $0$ से ऊपर की यात्रा नीचे की यात्रा की तुलना में भारी होती है $0$ ।

यह एक प्राकृतिक समारोह क्योंकि यह वजन मूल्यों की कोशिश करने के लिए है है कि से अधिक की तुलना में अलग तुलना में कम कर रहे हैं । आइए संबद्ध हानि की गणना करें और फिर उसका अनुकूलन करें। $x$ $0$ $x$ $0$

के वितरण समारोह के लिए लिखना और , गणना करना $F$ $X$ $L_\alpha(m,x) = \Lambda_\alpha(x-m)$

\begin{aligned} E_{F} (L_{α} (m, X)) & = \int_{R} Λ_{α} (x - m) d F (x) \\ = α \int_{R} I (x \geq m) (x - m) d F (x) - (1 - α) \int_{R} (x - m) I (x < m) d F (x) \\ = α \int_{m}^{\infty} (x - m) d F (x) - (1 - α) \int_{- \infty}^{m} (x - m) d F (x) . \end{aligned}

$\eqalign{ \mathbb{E}_F(L_\alpha(m,X))&=\int_\mathbb{R} \Lambda_\alpha(x-m)dF(x)\\ &=\alpha\int_\mathbb{R} I(x\ge m)(x-m) dF(x) - (1-\alpha)\int_\mathbb{R} (x-m)I(x\lt m) dF(x)\\ &=\alpha\int_m^\infty(x-m)dF(x) - (1-\alpha)\int_{-\infty}^m(x-m) dF(x). }$

चित्र 2

जैसा कि मानक सामान्य वितरण साथ इस चित्रण में भिन्न है , का कुल संभाव्यता-भारित क्षेत्र प्लॉट किया गया है। (वक्र का ग्राफ है ।) दाएं हाथ का प्लॉट सबसे स्पष्ट रूप से सकारात्मक मूल्यों को कम करने के प्रभाव को दर्शाता है, इसके लिए बिना प्लॉट डाउन किए प्लॉट किए। उत्पत्ति के बारे में सममित रहें। मध्य भूखंड इष्टतम को दर्शाता है, जहां नीली स्याही की कुल राशि ( जितनी छोटी है उतनी ही छोटी है। $m$ $F$ $\Lambda_{1/5}$ $\Lambda_{1/5}(x-m)dF(x)$ $m=0$ $\mathbb{E}_F(L_{1/5}(m,X))\$

यह फ़ंक्शन अलग-अलग है और इसलिए इसकी चरम सीमा को महत्वपूर्ण बिंदुओं का निरीक्षण करके पाया जा सकता है। चेन नियम और पथरी के मौलिक प्रमेय को लागू करने के संबंध में व्युत्पन्न प्राप्त करने के लिए करने के लिए देता है $m$

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial m} E_{F} (L_{α} (m, X)) & = α (0 - \int_{m}^{\infty} d F (x)) - (1 - α) (0 - \int_{- \infty}^{m} d F (x)) \\ = F (m) - α . \end{aligned}

$\eqalign{ \frac{\partial}{\partial m}\mathbb{E}_F(L_\alpha(m,X))&=\alpha\left(0-\int_m^\infty dF(x)\right) - (1-\alpha)\left(0 - \int_{-\infty}^m dF(x)\right)\\ &= F(m) - \alpha. }$

निरंतर वितरण के लिए, इसमें हमेशा एक समाधान होता है, जो परिभाषा के अनुसार, का कोई भी quantile है । गैर-निरंतर वितरण के लिए इसका कोई हल नहीं हो सकता है, लेकिन कम से कम एक जिसके लिए सभी और लिए सभी के लिए : यह भी (परिभाषा के अनुसार) का एक Alpha मात्रा है । $m$ $\alpha$ $X$ $m$ $F(x)-\alpha\lt 0$ $x\lt m$ $F(x)-\alpha\ge 0$ $x\ge m$ $\alpha$ $X$

अंत में, क्योंकि और , यह स्पष्ट है कि न तो और न ही इस नुकसान को कम करेगा। यह महत्वपूर्ण बिंदुओं के निरीक्षण को समाप्त कर देता है, यह दर्शाता है कि बिल फिट बैठता है। $\alpha\ne 0$ $\alpha\ne 1$ $m\to-\infty$ $m\to\infty$ $\Lambda_\alpha$

एक विशेष मामले के रूप में, नुकसान दर्शाया गया है। सवाल। $\mathbb{E}_F(2L_{1/2}(m,X)) = \mathbb{E}_F\left(\left|m-x\right|\right)$

— व्हीबर
स्रोत

मैं उस प्रयास की सराहना करता हूं जो आपने अपेक्षित नुकसान को दिखाने के लिए रखा है, सही बिंदु द्वारा कम से कम किया गया है । मैं सोच रहा था कि खुद के जवाब के लिए ऐसा कैसे करूं, लेकिन आपका स्पष्टीकरण अच्छा है। (+1)

m

$m$

2

आपने साबित कर दिया है कि चित्र 1000 शब्दों के हैं। धन्यवाद @whuber =)

— Cam.Davidson.Pilon

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इस लेख में आपका जवाब है। विशिष्ट होने के लिए, हानि फ़ंक्शन को आसपास के विभिन्न भिन्नता वाले बड़े क्षेत्रों को माध्यम से 'बाहर संतुलन' के रूप में व्याख्या किया जा सकता है । मध्य के लिए ये द्रव्यमान क्षेत्र समान हैं: हानि फ़ंक्शन को आनुपातिक बना देता है (उम्मीद में स्थिति नगण्य है) to जो माध्य के लिए वांछित निष्कर्ष देता है।

L_{0.25} (m, X) = | (X - m) (0.25 - 1 {X > m}) | .

$L_{0.25}(m,X) = \left| \left( X - m \right) \left(0.25 - \mathbf{1}\{ X > m \} \right) \right|.$

0.25

$0.25$

0.25 - 1 {X > m}

$0.25 - \mathbf{1}\{ X > m \}$

L_{0.5} (m, X) = | (X - m) (0.5 - 1 {X > m}) | = | (X - m) \times \pm 0.5 |,

$L_{0.5}(m,X) = \left| \left( X - m \right) \left(0.5 - \mathbf{1}\{ X > m \} \right) \right| = \left| \left( X - m \right) \times \pm 0.5 \right|,$

| X - m |,

$\left| X - m\right|,$

(+1) शाबाश! - यह स्पष्ट नहीं था कि उस विकिपीडिया लेख को कहाँ देखना है; आपको मात्रात्मक प्रतिगमन के बारे में सोचना था।

— whuber

धन्यवाद, @ मैथ्यू, यह एक शानदार खोज है। मैं व्याख्या को संतुलित करना पसंद करता हूं

— Cam.Davidson.Pilon

मैं अभी भी समझने में असफल रहा। यह कहां से आता है? यदि X परिमाण से ऊपर है, 0.75 भारित हो जाता है, अन्यथा 0.25? अभी यह?

| (0.25) - 1 X > m) |

$|(0.25)-\mathbb{1}{X>m})|$

(X - m)

$(X-m)$

— IcannotFix यह