पल सृजन और फूरियर रूपांतरण?

Question

क्या एक क्षण उत्पन्न करने वाला फ़ंक्शन एक प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन का फूरियर रूपांतरण है ?

दूसरे शब्दों में, एक क्षण उत्पन्न करने का कार्य एक यादृच्छिक चर के प्रायिकता घनत्व वितरण का वर्णक्रमीय संकल्प है, अर्थात् यह एक पैरामीटर के बजाय आयाम, चरण और आवृत्ति के संदर्भ में किसी फ़ंक्शन को चिह्नित करने का एक समान तरीका है ?

यदि हां, तो क्या हम इस जानवर को एक भौतिक व्याख्या दे सकते हैं?

मैं पूछता हूं कि क्योंकि सांख्यिकीय भौतिकी में एक सहवर्ती उत्पादक कार्य , एक पल उत्पन्न करने वाले कार्य का लघुगणक, एक योज्य मात्रा है जो एक भौतिक प्रणाली की विशेषता है। यदि आप ऊर्जा को एक यादृच्छिक चर के रूप में सोचते हैं, तो यह क्यूम्युलेंट जनरेटिंग फंक्शन की एक बहुत ही सहज व्याख्या है जो पूरे सिस्टम में ऊर्जा के प्रसार के रूप में होती है। क्या पल उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन के लिए एक समान सहज व्याख्या है?

मैं इसकी गणितीय उपयोगिता को समझता हूं , लेकिन यह सिर्फ एक ट्रिक कॉन्सेप्ट नहीं है, निश्चित रूप से इसके पीछे वैचारिक रूप से अर्थ है?

Comments

मेरा मानना ​​है कि यह विशेषता फ़ंक्शन है जो फूरियर रूपांतरण से मिलता जुलता है। क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य एक लाप्लास परिवर्तन है।

— प्लासीडिया

दिलचस्प: "द लैप्लस ट्रांसफॉर्म फूरियर ट्रांसफॉर्म से संबंधित है, लेकिन जबकि फूरियर ट्रांसफॉर्म एक फ़ंक्शन या सिग्नल को कंपन के अपने तरीके से हल करता है, लाप्लास ट्रांसफॉर्मेशन एक फ़ंक्शन को उसके क्षणों में बदल देता है" princeton.edu/~mhaney/tmve/wiki100k/ डॉक्स / ... तब मुझे लगता है कि सवाल है - कैसे, सहज रूप से, एक लाप्लास एक फ़ंक्शन को क्षणों में बदल देता है, और क्या इसकी कोई ज्यामितीय व्याख्या है?

— बोल्बटेप्पा

यह घातीय कार्य के टेलर श्रृंखला विस्तार के आधार पर करता है।

— प्लासीडिया

अब सब कुछ लगभग समझ में आता है! हालांकि, वास्तव में एक पल, सहज रूप से क्या है? मुझे यह पता है: "मोटे तौर पर एक पल को माना जा सकता है कि कैसे एक सिग्नल के मतलब मूल्य से एक नमूना विचलन होता है - पहला क्षण वास्तव में मतलब है, दूसरा विचरण आदि है ..." dsp.stackexchange.com/a/ 11032 हालांकि, सहज रूप से इसका क्या मतलब है? 1 ^ / 2 / 3rd / 4th पल की गणना करते समय नमूना क्या है, x ^ 2 (x 2 का लाप्लास रूपांतर लेते हुए)? क्या कोई ज्यामितीय व्याख्या है?

— बोल्बटेप्पा

Answer 1

एमजीएफ है

$M_{X}(t)=E\left[ e^{tX} \right]$

$t$$f(x)$

$M_{X}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{tx}f(x) dx.$

$e^{itx}$$e^{tx}$

$e^{-tx}$$e^{tx}$

Comments

$E(e^{itX})$$E(e^{-itX})$

और निश्चित रूप से सबसे उपयोगी संपत्ति यह है कि दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर के योग का एमजीएफ उनके उत्पन्न करने वाले कार्यों का उत्पाद है। यह नियम के बराबर है कि दो कार्यों के दृढ़ीकरण का फूरियर रूपांतरण उनके फूरियर परिवर्तनों का उत्पाद है।

— ब्रायन बोरचर्स