मुझे अपने फीफा पाणिनी एल्बम को पूरा करने के लिए कितने स्टिकर की आवश्यकता है?

मैं फीफा पाणिनी ऑनलाइन स्टिकर एल्बम खेल रहा हूं , जो क्लासिक पाणिनी एल्बमों का एक इंटरनेट रूपांतरण है जो आमतौर पर फुटबॉल विश्व कप, यूरोपीय चैम्पियनशिप और संभवतः अन्य टूर्नामेंटों के लिए प्रकाशित किया जाता है।

एल्बम में 424 विभिन्न स्टिकर के लिए प्लेसहोल्डर हैं। खेल का उद्देश्य सभी 424 को इकट्ठा करना है। स्टिकर 5 के पैक में आते हैं, जो ऑनलाइन पाए गए कोड के माध्यम से प्राप्त किया जा सकता है (या, आपके स्थानीय न्यूज़स्टैंड में खरीदा गया क्लासिक मुद्रित एल्बम के मामले में)।

मैं निम्नलिखित धारणाएँ बनाता हूँ:

सभी स्टिकर समान मात्रा में प्रकाशित किए जाते हैं।
स्टिकर के एक पैक में डुप्लिकेट नहीं होते हैं।

मैं यह कैसे पता लगा सकता हूं कि मुझे निश्चित रूप से सुनिश्चित करने के लिए स्टिकर के कितने पैक प्राप्त करने की आवश्यकता है (चलो 90% कहते हैं) कि मेरे पास सभी 424 अद्वितीय स्टिकर हैं?

probability coupon-collector-problem

— विदुर एस। रामदल
स्रोत

कूपन-कलेक्टर समस्या से संबंधित अन्य प्रश्नों को पढ़ने से कई अंतर्दृष्टि प्राप्त की जा सकती हैं ।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

आपको 700 पैक की आवश्यकता है; सभी 424 स्टिकर प्राप्त करने का मौका तब 90.0024% के बराबर होता है। 761 को 95% के लिए 95% और 898 के लिए मौका लाने की आवश्यकता है। (औसत पर, लगभग 560 पैक सेट को पूरा करने की जरूरत है यह संभावना नहीं (एक हजार में एक बार मौका से भी कम) है कि कम से कम 352 की जरूरत होगी है।।)

— whuber

मुझे यकीन नहीं है कि पहली धारणा बनाई जा सकती है। "शिनियाँ" दुर्लभ होती हैं।

— जेम्स

हम्म, असुरनसेटुरिक्स द्वारा पोस्ट किए गए दस्तावेज़ से मैं क्या पढ़ सकता था, उन्होंने साबित किया कि कोई महत्वपूर्ण अंतर नहीं था।

— विदर्भ एस। रामदल

@ VidarS.Ramdal मैं सही किया।

— जेम्स

जवाबों:

यह एक सुंदर कूपन कलेक्टर समस्या है, इस तथ्य से थोड़ा मोड़ के साथ कि स्टिकर 5 के पैक में आते हैं।

यदि स्टिकर को व्यक्तिगत रूप से खरीदा गया था, तो परिणाम ज्ञात हैं, जैसा कि आप यहां देख सकते हैं ।

व्यक्तिगत रूप से खरीदे गए स्टिकर के लिए 90% ऊपरी बाउंड के लिए सभी अनुमान 5 के पैक के साथ समस्या के लिए ऊपरी सीमा भी हैं, लेकिन एक कम ऊपरी ऊपरी बाउंड।

मुझे लगता है कि 5 निर्भरता के पैक का उपयोग करके बेहतर 90% -प्रतिस्पर्धी ऊपरी सीमा प्राप्त करना, बहुत अधिक कठिन हो जाएगा और आपको बेहतर परिणाम नहीं देगा।

तो, पूंछ अनुमान का उपयोग के साथ और , तो आप एक अच्छा जवाब देने के लिए मिल जाएगा। $P[T>\beta n \log n] \leq n^{-\beta+1}$ $n=424$ $n^{-\beta+1} = 0.1$

संपादित करें :

The article "The collector’s problem with group drawings" (Wolfgang Stadje), a reference of the article brought by Assuranceturix, presents an exact analytical solution for the Coupon Collector's Problem with "sticker packs".

$S$ $s = |S|$ $A \subset S$ $A = S$ $l = |A|$ $k$ $m$ $X_{k}(A)$ $A$ that appear in at least one of those subsets.

The theorem says that:

P (X_{k} (A) = n) = (\binom{l}{n}) \sum_{j = 0}^{n} (- 1)^{j} (\binom{n}{j}) [(\binom{s + n - l - j}{m}) / (\binom{s}{m})]^{k}

$P(X_{k}(A) = n) = {l \choose n} \sum_{j=0}^{n}(-1)^j {n \choose j}[{s+n-l-j \choose m}/{s \choose m}]^k$

So, for the OP we have $l=s=n=424$ and $m=5$ . I did some tries with values of $k$ near the estimate for the classical coupon collector's problem (729 packs) and I got a probability of 90.02% for k equals to 700.

So it was not so far from the upper bound :)

— Jundiaius
स्रोत

And this good answer would?

— ziggystar

About 3642 random stickers. So the upper bound for the "pack of 5 problem" would be something less than 729 packs.

— Jundiaius

The other day I came across a paper that addresses a closely related question:

http://www.unige.ch/math/folks/velenik/Vulg/Paninimania.pdf

If I have understood it correctly, the expected number of packs you would need to buy would be:

$\binom{424}{5}\sum_{j=1}^{424}\left(-1\right)^{j+1}\frac{\binom{424}{j}}{\binom{424}{5}-\binom{424-j}{5}}$

However, as eqperes points out in the comments, the specific question the OP asks is actually covered in detail in another paper that is not open access.

Their final conclusion suggests the following strategy (for an album of 660 stickers):

Buy a box of 100 packs of 5 stickers (500 stickers, guaranteed to be all different)
Buy 40 more packs of 5 stickers and swap the duplicates until you have at most 50 missing stickers.
Purchase the remaining stickers directly from Panini (these cost approx. 1.5 times as much).

This is total of 140 packs + upto 15 extra packs worth of stickers (by cost) purchased in a targeted fashion, equivalent to at most 155 packs.

— Asuranceturix
स्रोत

Great! It seems that the central argument of their results would be in the "The collector’s problem with group drawings" article, that is sadly not in open access.

— Jundiaius

Haha, that's great! They also go into detail on how swapping affects the result (which I left out of the question). Very interesting, thanks!

— Vidar S. Ramdal

Can you summarize the solution to the OP's problem provided by the paper? Links sometimes expire and then this answer will become less useful.

— Andy

@Andy: I have edited the answer to address your concern, but it is not exactly the answer to the original question. Unfortunately, the original paper that does provide that answer is too hard to read for me, sorry.

— Asuranceturix

I am dubious about a box of 100 packs containing only distinct stickers. This seems like it would cause huge and unnecessary manufacturing complication for little benefit.

— jwg