गाऊसी वितरण के नमूना कुर्तोसिस के वितरण के लिए बंद फार्म अभिव्यक्ति

Question

गॉसियन वितरण से नमूना किए गए डेटा के सैंपल कर्टोसिस के वितरण के लिए एक बंद-रूप अभिव्यक्ति है? अर्थात,

$P(\hat{K}<a)$ where नमूना कुर्तोसिस है।$\hat{K}$

Comments

नमूना कर्टोसिस बंद-प्रपत्र अभिव्यक्तियों द्वारा दिया जाता है; अलग-अलग सूत्र हैं, लेकिन मैंने कभी नहीं देखा कि जो उपयोग करना है वह इस बात पर निर्भर करता है कि आपके पास क्या वितरण है। शायद आपका मतलब है कि गॉसियन से नमूना लेते समय कुर्तोसिस की संभावना घनत्व फ़ंक्शन के लिए एक बंद-रूप अभिव्यक्ति है?

— निक कॉक्स

मुझे बहुत खेद है, मेरा मतलब नमूना कुर्तोसिस का वितरण है, न कि नमूना कुर्तोसिस।

— योकी

स्पष्टीकरण के लिए धन्यवाद। अधिक तुच्छता से, उदाहरण के लिए देखें meta.stats.stackexchange.com/questions/1479/… इस पर लोगों को धन्यवाद देने की कोई आवश्यकता नहीं है, आदि बस सवाल पूछें!

— निक कॉक्स

Answer 1

सटीक नमूना वितरण व्युत्पन्न करने के लिए मुश्किल है; वहाँ पहले कुछ क्षणों (1929 के लिए वापस डेटिंग), विभिन्न सन्निकटन (1960 के दशक की शुरुआत में वापस डेटिंग), और तालिकाओं, अक्सर सिमुलेशन पर आधारित है (1960 के दशक में वापस डेटिंग)।

अधिक विशिष्ट होना:

फिशर (1929) सामान्य नमूनों में तिरछेपन और कुर्तोसिस के नमूना वितरण के क्षण देता है, और पियरसन (1930) (भी) तिरछेपन और कुर्तोसिस के नमूना वितरण के पहले चार क्षण देता है और उनके आधार पर परीक्षणों का प्रस्ताव करता है।

तो उदाहरण के लिए :$^*$

$E(b_2)=\frac{3(n-1)}{n+1}$

$\text{Var}(b_2)=\frac{24n(n-2)(n-3)}{(n+1)^2(n+3)(n+5)}$

का तिरछापन है$b_2$$\frac{216}{n}(1-\frac{29}{n}+\frac{519}{n^2}-\frac{7637}{n^3}+\ldots)$

का अतिरिक्त ।$b_2$$\frac{540}{n}-\frac{20196}{n^2}+\frac{470412}{n^3}+\ldots$

* खबरदार - क्षणों के लिए मान और इसलिए उपयोग किए जा रहे नमूना कुर्तोसिस की सटीक परिभाषा पर निर्भर करता है। यदि आप लिए या लिए एक अलग सूत्र देखते हैं , तो यह आम तौर पर नमूना कर्टोसिस की थोड़ी भिन्न परिभाषा के कारण होगा।वर ( बी 2$E(b_2)$$\text{Var}(b_2)$

इस स्थिति में, उपरोक्त सूत्र ।$b_2=n\frac{\sum_i (X_i-\bar X)^4}{(\sum_i (X_i-\bar X)^2)^2}$

पियर्सन (1963) ने पियरसन प्रकार IV या जॉनसन वितरण द्वारा सामान्य नमूनों में के नमूना वितरण का अनुमान है (निस्संदेह तीन दशक पहले पहले चार क्षण दिए जाने के कारण बड़े हिस्से में पियर्सन परिवार का उपयोग संभव था) ।$S_U$

पीर्सन (1965) कुछ मूल्यों के लिए कर्टोसिस के प्रतिशत के लिए टेबल देता है ।$n$

D'Agostino और Tietjen (1971) कुर्तोसिस के लिए प्रतिशत की अधिक व्यापक सारणी देते हैं।

D'Agostino और Pearson (1973) कुर्तोसिस के प्रतिशत बिंदुओं के ग्राफ देते हैं जो फिर से अधिक व्यापक मामलों को कवर करते हैं।

फिशर, आरए (1929),
"मोमेंट्स एंड प्रोडक्ट मोमेंट्स ऑफ़ सैंपलिंग डिस्ट्रीब्यूशंस,"
प्रोसीडिंग्स ऑफ़ द लंदन मैथमेटिकल सोसाइटी , सीरीज़ 2, 30: 199-238।

पियर्सन, ईएस, (1930)
"सामान्यता के लिए परीक्षणों का एक और विकास,"
बायोमेट्रिक , 22 (1-2), 23-24-249।

पियर्सन, ईएस (1963)
"कुछ समस्याओं को संभावना वितरण के लिए सन्निकटन में उत्पन्न होती है, क्षणों का उपयोग करते हुए,"
बायोमेट्रिक , 50 , 95-112

$\sqrt{b_1}$$b_2$

$b_2$

डी'ऑगोस्टिनो, आरबी, और पियर्सन, ईएस (1973),
"सामान्यता से प्रस्थान के लिए टेस्ट। के वितरण के लिए अनुभवजन्य परिणाम।$b_2$$\sqrt{b_1}$

Answer 2

$\approx 24/n$$n$$n$

Comments

$n$$n=500$$n\gt 1000$