क्या न्यूटन-राफसन पुनरावृत्ति का उपयोग किए बिना nonlinear PDEs को हल करना संभव है?

मैं कुछ परिणामों को समझने की कोशिश कर रहा हूं और नॉनलाइन समस्याओं से निपटने पर कुछ सामान्य टिप्पणियों की सराहना करूंगा।

फिशर का समीकरण (एक ग़ैर-प्रतिक्रिया प्रतिक्रिया-प्रसार PDE),

u_{t} = d u_{x x} + β u (1 - u) = F (यू)

$u_t = du_{xx} + \beta u (1 - u) = F(u)$

विकृत रूप में,

{यू}_{जे}^{'} = एल यू + β {यू}_{जे} (1 - {यू}_{जे}) = एफ (यू)

$u_j^{\prime} = \boldsymbol{L}\boldsymbol{u} + \beta u_j (1 - u_j) = F(\boldsymbol{u})$

जहाँ अंतर ऑपरेटर है और विवेकाधीन स्टैंसिल है। $\boldsymbol{L}$ $\boldsymbol{u}=(u_{j-1}, u_j, u_{j+1})$

तरीका

मैं एक अंतर्निहित योजना लागू करना चाहता हूं क्योंकि मुझे स्थिरता और अप्रतिबंधित समय कदम की आवश्यकता है। इस प्रयोजन के लिए मैं -method का उपयोग कर रहा हूं, (ध्यान दें कि Theta पूरी तरह से निहित योजना देता है और ट्रेपेज़ॉइडल या "क्रैंक-निकोलसन" योजना देता है), " $\theta$ $\theta=1$ $\theta=0.5$

{यू}_{जे}^{'} = θ एफ ({यू}^{n + 1}) + (1 - θ) एफ ({यू}^{n})

$u_{j}^{\prime} = \theta F(\boldsymbol{u}^{n+1}) + (1-\theta) F(\boldsymbol{u}^{n})$

हालाँकि, ग़ैर-समरूप समस्याओं के लिए ऐसा नहीं किया जा सकता क्योंकि समीकरण को रेखीय रूप में नहीं लिखा जा सकता है।

इस समस्या को हल करने के लिए मैं दो संख्यात्मक दृष्टिकोणों की खोज कर रहा हूं,

IMEX विधि

$u_{j}^{'} = \underset{θ - method diffusion term}{\underset{⏟}{θ L u^{n + 1} + (1 - θ) L u^{n}}} + \underset{Fully explicit reaction term}{\underset{⏟}{β u_{j}^{n} (1 - u_{j}^{n})}}$ $u_j^{\prime} = \underbrace{\theta\boldsymbol{L}\boldsymbol{u^{n+1}} + (1-\theta)\boldsymbol{L}\boldsymbol{u^{n}}}_{\theta-\text{method diffusion term}} + \underbrace{\beta u_j^{n} (1 - u_j^{n})}_{\text{Fully explicit reaction term}}$
सबसे स्पष्ट मार्ग प्रतिक्रिया अवधि के बिना रेखा वाले भाग को अनदेखा करना है और पिछले समय के कदम से प्रतिक्रिया शब्द को सर्वोत्तम संभव मान के साथ अद्यतन करना है। यह IMEX विधि के परिणामस्वरूप होता है।
न्यूटन सॉल्वर

ν^{k + 1} = ν^{k} - (I - θ τ A^{n})^{- 1} (ν^{k} - u_{n} - (1 - θ) τ F (w^{n}) - θ τ F (w^{n + 1}))

$\nu^{k+1} = \nu^{k} - (I - \theta\tau A^{n})^{-1} \left( \nu^{k} - u_{n} - (1-\theta) \tau F(w^n) - \theta\tau F(w^{n+1}) \right)$

भविष्य के समाधान चर को खोजने के लिए न्यूटन-राफसन पुनरावृत्ति का उपयोग करके पूर्ण -method समीकरण को हल किया जा सकता है। जहां का पुनरावृत्ति सूचकांक ( ) और का मैट्रिक्स । यहां मैं प्रतीक चर के लिए प्रतीकों उपयोग करता हूं, ताकि वे वास्तविक समय बिंदु पर समीकरण के समाधान से प्रतिष्ठित हों । यह वास्तव में एक संशोधित न्यूटन सॉल्वर है क्योंकि जैकबियन हर पुनरावृत्ति के साथ अद्यतन नहीं है। $\theta$ $k$ $k\geq0$ $A^{n}$ $F(w^n)$ $\nu^{k}$ $u^n$

परिणाम

संख्यात्मक तरीकों की तुलना फिशर का समीकरण।

ऊपर दिए गए परिणामों की गणना काफी बड़े समय कदम के लिए की जाती है और वे समय के साथ कदम बढ़ाने के दृष्टिकोण और एक पूर्ण न्यूटन पुनरावृत्ति विलायक के बीच अंतर दिखाते हैं।

चीजें जो मुझे समझ में नहीं आती हैं:

मुझे आश्चर्य है कि टाइम-स्टेपिंग विधि "ओके" करती है लेकिन यह अंततः समय के अनुसार विश्लेषणात्मक समाधान से पीछे रह जाती है। ( एनबी अगर मैंने एक छोटा समय-चरण चुना था, तो समय-कदम दृष्टिकोण विश्लेषणात्मक मॉडल को बंद कर देता है)। टाइम-स्टेपिंग दृष्टिकोण गैर-समीकरण के लिए उचित परिणाम क्यों देता है?
न्यूटन मॉडल बहुत बेहतर करता है, लेकिन समय आगे बढ़ने के साथ विश्लेषणात्मक मॉडल का नेतृत्व करना शुरू कर देता है। न्यूटन के दृष्टिकोण की सटीकता समय के साथ कम क्यों हो जाती है? क्या सटीकता में सुधार किया जा सकता है?
एक सामान्य विशेषता क्यों है कि कई पुनरावृत्तियों के बाद फिर संख्यात्मक मॉडल और विश्लेषणात्मक मॉडल का विचलन शुरू होता है? क्या यह सिर्फ इसलिए है क्योंकि समय कदम बहुत बड़ा है या यह हमेशा होगा?

— boyfarrell
स्रोत

मैं ODE सॉल्वरों के मूल त्रुटि विश्लेषण को पढ़ने की सलाह देता हूं, उदाहरण के लिए Hairer / Nørsett / Wanner में, साथ ही कुछ स्थिरता विश्लेषण। आपके अधिकांश प्रश्नों का उत्तर तब दिया जाएगा।

— गुइडो कंसचैट

θ

$\theta$

हेलो @ जान मुझे लगता है मुझे सब कुछ मिल गया। आपकी सहायता के लिए एक बार फिर से धन्यवाद।

— boyfarrell

जवाबों:

{\dot{u}}_{h} (t) = F_{h} (t, u_{h} (t)), on [0,T], u_{h} (0) = α .

$\dot u_h(t) = F_h(t,u_h(t)), \text{ on [0,T] }, u_h(0) = \alpha.$

Φ

$\Phi$

u_{h}^{n}

$u_h^n$

t = t^{n}

$t=t^n$

u_{h}^{n + 1}

$u_h^{n+1}$

t = t^{n + 1} := t^{n} + τ

$t=t^{n+1}:=t^n+\tau$

u_{h}^{n + 1} = u_{h}^{n} + Φ_{e} (t^{n}, τ, u_{h}^{n}),

$u_h^{n+1} = u_h^n + \Phi_e(t^n,\tau,u_h^n),\quad \quad \quad$

u_{h}^{n + 1} = u_{h}^{n} + Φ_{i} (t^{n}, τ, u_{h}^{n + 1}, u_{h}^{n}), (*)

$u_h^{n+1} = u_h^n + \Phi_i(t^n,\tau,u_h^{n+1},u_h^n), \quad \quad \quad (*)$

या दोनों के संयोजन (' IMEX ', @Jed Brown का उत्तर देखें) एकल-चरण समय-चरण योजनाएँ।

$u_h^{n+1}$ $(*)$

और मेरे जवाब एकल-चरण विधियों के संख्यात्मक विश्लेषण से परिणामों के आधार हैं।

$F_h$
आप उदाहरण पा सकते हैं, जहां स्पष्ट योजनाएं बेहतर प्रदर्शन करती हैं। (सैद्धांतिक रूप से, आप अपने उदाहरण में समय को उल्टा कर सकते हैं, टर्मिनल मान से शुरू कर सकते हैं, और निहित और स्पष्ट रूप से अंतर कर सकते हैं।) यदि आप न्यूटन त्रुटि को पर्याप्त रूप से छोटा करते हैं, तो आप समय-चरण को कम करके या समय का उपयोग करके सटीकता में सुधार कर सकते हैं। -उच्च क्रम की योजनाओं को पुन: चालू करना।
$C$ $err \approx C \tau^p$ $p>0$ $\tau$

कुछ और टिप्पणियां और अंतिम उत्तर:

IMEX योजनाओं का उपयोग केवल रैखिक भाग को स्पष्ट करने के लिए किया जा सकता है जो कि अरेखीय हल से बचता है। देखें जेड ब्राउन का जवाब
$u_{h}^{n + 1} = Φ_{m} (t^{n}, τ, u_{h}^{n + 1}, u_{h}^{n}, u_{h}^{n - 1}) .$ $u_h^{n+1} = \Phi_m(t^n,\tau,u_h^{n+1},u_h^n,u_h^{n-1}).$

$(*)$

— जनवरी
स्रोत

हां, मैंने डिफ्यूजन टर्म में स्टैंडर्ड सेंट्रल डिफरेंस स्टैंसिल लगाया है। मैं एक स्पष्ट योजना का उपयोग नहीं कर सकता (वास्तविक समस्या जिसे मैं हल करना चाहता हूं) के लिए है क्योंकि स्थिर समय कदम अनुचित रूप से छोटा है। यही कारण है कि मैं IMEX या निहित विकल्प तलाश रहा हूं। आपके तीसरे बिंदु के संबंध में, त्रुटि संचय से बचने के लिए मुझे एक मल्टीस्टेप विधियों का उपयोग करना होगा। क्या क्रैंक-निकोलसन योजना मैंने ऊपर प्रयोग की है (न्यूटन सॉल्वर के साथ) जिसे मल्टीस्टेप विधि के रूप में वर्गीकृत किया गया है (इसमें समय के दो बिंदु हैं)? न्यूटन सॉल्वर विधि का उपयोग करते समय समय के साथ त्रुटि में वृद्धि होने पर मुझे आश्चर्य हुआ।

— boyfarrell

u_{h}^{n + 1} = u_{h}^{n} + Φ (t^{n}, τ^{n}, u_{h}^{n}, u_{h}^{n + 1})

$u_h^{n+1}=u_h^n + \Phi(t^n,\tau^n,u_h^n,u_h^{n+1})$

CN विधि के बारे में समझाने के लिए ठीक है धन्यवाद। हां, यह दिलचस्प है कि मल्टीस्टेप विधियों में कम त्रुटि संचय क्यों लगता है। न्यूटन सॉल्वर में त्रुटि पैदा करने का कारण यह है कि यह एक एकल चरण विधि है, मैं अब समझता हूं। वैसे, मैं आपको पायथन की तरह जानता हूं। मैंने स्काईपी, सुपी और मैटप्लोटलिब

— boyfarrell

मैंने ट्रेफेथेन एट द्वारा पेपर के लिंक को हटा दिया है । अल। मेरे जवाब से उच्च-क्रम IMEX एकीकरण पर क्योंकि IMEX योजनाओं के बारे में जानने के लिए बेहतर संदर्भ हैं।

— Jan

संक्षिप्त जवाब

यदि आप केवल द्वितीय क्रम सटीकता और कोई एम्बेडेड त्रुटि अनुमान चाहते हैं, तो संभावना है कि आप स्ट्रांग विभाजन से खुश होंगे: प्रतिक्रिया का आधा चरण, प्रसार का पूर्ण चरण, प्रतिक्रिया का आधा चरण।

लंबा जवाब

प्रतिक्रिया-प्रसार, यहां तक कि रैखिक प्रतिक्रिया के साथ, विभाजन त्रुटि का प्रदर्शन करने के लिए प्रसिद्ध है। वास्तव में, यह बहुत बुरा हो सकता है, जिसमें "स्थिर" गलत स्थिर-राज्यों में शामिल है, सीमा चक्रों के लिए स्थिर-राज्यों को गलत करना, स्थिर और अस्थिर कॉन्फ़िगरेशन को भ्रमित करना, और बहुत कुछ। इस पर कम्प्यूटेशनल भौतिकविदों के दृष्टिकोण के लिए रोप, शदीद और ओबेर (2004) और नोल, चाकोन, मार्गोलिन और मूसो (2003) देखें। आदेश की शर्तों के संदर्भ में गणितज्ञ के विश्लेषण के लिए, हेअर पर और हेन्नेर की पुस्तक देखें ODE (रोसेनब्रोक-डब्ल्यू के तरीके एक रैखिक रूप से निहित IMEX विधि हैं), कैनेडी और कारपेंटर (2003) नॉनलाइनली-निहित IMEX "एडिटिव" रनज-कुट्टा के लिए, और अधिक हाल के IMEX तरीकों के लिए एमिल कॉन्स्टैंटिंसक्यू का पेज ।

सामान्य तौर पर, आईएमईएक्स विधियों में अंतर्निहित अंतर्निहित और स्पष्ट तरीकों की तुलना में अधिक ऑर्डर की स्थिति होती है। IMEX विधि जोड़े वांछित रैखिक और nonlinear स्थिरता के साथ डिजाइन किए जा सकते हैं और ताकि वे विधि के डिजाइन क्रम तक सभी आदेश स्थितियों को पूरा कर सकें। सभी आदेश शर्तों को पूरा करने से अलग-अलग प्रत्येक योजना में त्रुटि के समान असममित बंटवारे की त्रुटि बनी रहेगी। यह पूर्व-स्पर्शोन्मुख शासन (बड़े समय के कदम / कम सटीकता की आवश्यकता) के बारे में कुछ भी नहीं कहता है, लेकिन यह अलग-अलग प्रत्येक भाग के संकल्प की तुलना में शायद ही अधिक कठोर है। किसी भी स्थिति में, विभाजन त्रुटि एम्बेडेड त्रुटि अनुमानक को दिखाई देती है (अनुकूली त्रुटि नियंत्रण का उपयोग करते समय)।

पेट्सक में रोसेनब्रोक-डब्ल्यू और एडिटिव रनगे-कुट्टा परिवारों के कई आईएमईएक्स तरीके हैं , और हमारी अगली रिलीज में एक्सट्रपलेशन और रैखिक मल्टीस्टेप आईएमईएक्स होंगे।

डिस्क्लेमर: मैंने PETSc समय एकीकरण समर्थन का बहुत कुछ लिखा है और एमिल (ऊपर लिंक) के साथ सहयोग किया है।

— जेड ब्राउन
स्रोत

मैं निश्चित रूप से इसे भौतिकी के दृष्टिकोण से देख रहा हूं, इसलिए सभी तकनीकी विवरणों को मेरे अनुसरण में कुछ समय लगता है क्योंकि मैं कई शर्तों से परिचित नहीं हूं। मैं वास्तव में एक प्रयोगवादी हूँ! क्या आप ऑर्डर की शर्तों के बारे में थोड़ा और बताएंगे? IMEX ये मल्टीस्टेप तरीके हैं जिनका उल्लेख जन द्वारा किया गया है?

— boyfarrell

आदेश की स्थिति ODE विधियों के गुणांकों के बीच संबंध हैं (उदाहरण के लिए, रन-कुट्टा विधियों के लिए कसाई झांकी में प्रविष्टियां) जिन्हें सटीकता के क्रम के लिए संतुष्ट होना चाहिए। ऑर्डर की शर्तों पर ODE एकीकरण विधियों को डिजाइन करने वाले किसी भी पुस्तक या पेपर में चर्चा की जाती है, लेकिन यह मूल रूप से टेलर विस्तार में डेरिवेटिव और मिलान की शर्तों को बार-बार लागू करने के लिए है। उच्च-क्रम विधियों के लिए ऑर्डर की स्थिति की संख्या तेजी से बढ़ती है, यही वजह है कि उच्च-ऑर्डर विधियों को डिजाइन करना मुश्किल हो जाता है। आदेशों की स्थिति परस्पर असंगत होने को दर्शाते हुए अवरोध स्थापित किए जाते हैं।

— जेड ब्राउन