संख्यात्मक रूप से कुछ पीडीई समस्याओं को हल करते समय चर स्केलिंग आवश्यक है?

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सेमीकंडक्टर सिमुलेशन में, यह सामान्य है कि समीकरणों को छोटा किया जाता है ताकि उनके पास सामान्यीकृत मान हो। उदाहरण के लिए, चरम मामलों में अर्धचालकों में इलेक्ट्रॉन घनत्व परिमाण के 18 से अधिक क्रम में भिन्न हो सकता है, और विद्युत क्षेत्र परिमाण के 6 (या अधिक) क्रमों में, सुडौल रूप से बदल सकता है।

हालांकि, कागजात वास्तव में ऐसा करने का कारण नहीं देते हैं। व्यक्तिगत रूप से मैं वास्तविक इकाइयों में समीकरणों से खुश हूं, क्या ऐसा करने के लिए कोई संख्यात्मक लाभ है, क्या यह असंभव है? मैंने सोचा कि दोहरी सटीकता के साथ इन उतार-चढ़ाव से निपटने के लिए पर्याप्त अंक होंगे।

दोनों उत्तर बहुत उपयोगी हैं, बहुत बहुत धन्यवाद!

pde condition-number scaling

— boyfarrell
स्रोत

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"परिमाण के 18 आदेशों पर भिन्न हो सकते हैं" - और यदि आप विचार करते हैं कि दोहरे सटीकता में कितने अंक बनाए जाते हैं, तो आप देखेंगे कि "डबल परिशुद्धता के साथ इन उतार-चढ़ावों से निपटने के लिए पर्याप्त अंक होंगे" वास्तव में सच है ...

— जेएम

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और असली समस्या तब शुरू होती है जब आप इन नंबरों को एक संख्यात्मक एल्गोरिथ्म में फीड करते हैं: स्क्वायर लें, और अचानक आपके पास परिमाण अंतर के 36 आदेश हैं ...

— क्रिश्चियन क्लैसन

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एक रेखीय (रैखिक) को हल करने में पीडीई एक रेखीय प्रणाली को उत्पन्न करने के लिए समीकरण को विवेकाधीन करता है, जो तब एक रैखिक विलायक द्वारा हल किया जाता है जिसका अभिसरण (दर) मैट्रिक्स की स्थिति संख्या पर निर्भर करता है। चर को स्केल करने से अक्सर इस स्थिति की संख्या कम हो जाती है, इस प्रकार अभिसरण में सुधार होता है। (यह मूल रूप से एक विकर्ण अग्रदूत लगाने के लिए मात्रा में है, निकोलस हिघम की सटीकता और न्यूमेरिकल एल्गोरिदम की स्थिरता देखें ।)

इसके अलावा nonlinear PDEs को हल करने के लिए न्यूटन की विधि जैसे nonlinear समीकरणों को हल करने के लिए एक विधि की आवश्यकता होती है, जहां स्केलिंग भी अभिसरण को प्रभावित कर सकती है।

चूंकि सब कुछ सामान्य करने के लिए आमतौर पर बहुत कम प्रयास होता है, यह लगभग हमेशा एक अच्छा विचार है।

— ईसाई क्लासन
स्रोत

मुझे यकीन है कि @ArnoldNeumaier के पास इस विषय पर अधिक कहने के लिए है।

— ईसाई क्लैसन

मेरे द्वारा उपयोग किए जा रहे मैट्रिसेस की शर्त संख्या (अनकवर्ड वैरिएबल) ~ 1.25 है । क्या यह उचित लगता है? यह 2-मानक विधि ( docs.scipy.org/doc/numpy/reference/generated/… ) का उपयोग करके गणना की जाती है ।

— बॉयफ्रेल

κ_{2} = 1

$\kappa_2=1$

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@boyfarrell: मैं नियमित रूप से स्वीकार्य परिणाम के साथ 10 ^ 7 के रूप में बड़ी संख्या के साथ काम करता हूं। हालाँकि, मैं 10 ^ 9 की तुलना में हालत संख्या को अधिक स्वीकार नहीं करूँगा।

— jvriesem

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- ε Δ u + u = 0 on Ω, u = 1 on \partial Ω .

$-\varepsilon \Delta u + u = 0 \text{ on } \Omega,\\ u = 1 \text{ on } \partial\Omega.$

उस ने कहा, इस कठिनाई को दूर करने वाले चर या डोमेन का कोई माप नहीं है।

$u_{\alpha}$

- α^{2} Δ u = f_{α} on α Ω

$-\alpha^2\Delta u = f_\alpha \text{ on } \alpha\Omega$

α

$\alpha$

u_{1}

$u_1$

- Δ u = f on Ω .

$-\Delta u = f \text{ on } \Omega.$

u_{α} (x) := u_{1} (x / α)

$u_{\alpha}(\mathbf{x}):=u_1(\mathbf{x}/\alpha)$

α

$\alpha$

α

$\alpha$

— निको श्लोमर
स्रोत

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और फिर शेष मापदंडों को समाधान के गुणात्मक व्यवहार को निर्धारित करने के लिए आवश्यक होना चाहिए - यही कारण है कि रेनॉल्ड्स संख्या द्रव गतिशीलता में इतनी महत्वपूर्ण है। इस प्रक्रिया को Nondimensionalization कहा जाता है ।

— ईसाई क्लैसन

बेशक, इस तरह के पैरामीटर समकक्षों को खोजना अनिवार्य रूप से पीडीई के समरूपता समूहों को खोजने की समस्या है, एक समस्या जो सामान्य रूप से कठिन है

— लूर्शर

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फ्लोटिंग पॉइंट नंबरों से निपटना बड़ी संख्या से छोटी संख्या के घटाव के साथ-साथ कई अन्य पहलुओं के साथ छल हो सकता है। मैं उन पर जॉन डी। कुक के ब्लॉग पोस्ट पढ़ने की सलाह दूंगा, जैसे कि

एक फ्लोटिंग पॉइंट नंबर का एनाटॉमी

साथ ही ओरेकल की

फ्लोटिंग-पॉइंट अरिथमैटिक के बारे में हर कंप्यूटर वैज्ञानिक को क्या जानना चाहिए

कम से कम या अधिकतमकरण के लिए कुछ संख्यात्मक एल्गोरिदम भी संख्यात्मक स्थिरता के लिए सामान्यीकरण की आवश्यकता होती है।

— फिलिप नोर्डवाल
स्रोत