बारीक तत्वों के साथ विलक्षण रूप से प्रतिक्रिया-प्रसार की समस्याओं में गड़बड़ी

Question

एफईएम-discretizing और एक प्रतिक्रिया-प्रसार की समस्या को हल करते हैं, जैसे, के साथ (विलक्षण गड़बड़ी), असतत समस्या का समाधान आम तौर पर सीमा के करीब दोलन परतों को प्रदर्शित करेगा। साथ , और परिमित तत्व रेखीय, समाधान की तरह दिखता है0 < ε « 1 Ω = ( 0 , 1 ) ε = 10 - 5 यू

$$- \varepsilon \Delta u + u = 1 \text{ on } \Omega\\ u = 0 \text{ on } \partial\Omega$$ $0 < \varepsilon \ll 1$$\Omega = (0,1)$$\varepsilon=10^{-5}$$u_h$

मैं देखता हूं कि इस तरह के अवांछित प्रभावों के लिए बहुत सारे साहित्य हैं जब वे संवहन (जैसे, विवेकाधीन विवेक) के कारण होते हैं, लेकिन जब प्रतिक्रिया की बात आती है, तो लोग परिष्कृत मेष (शिश्किन, बख्वालोव) पर ध्यान केंद्रित करते हैं।

क्या इस तरह के दोलनों से बचने के विवेक हैं, यानी, एकरसता को बनाए रखने के लिए? इस संदर्भ में और क्या उपयोगी हो सकता है?

Comments

केंद्रीय अंतर योजना दिष्टता संरक्षण नहीं है क्योंकि यह एक करने के लिए सुराग एम मैट्रिक्स ?

— हुई जांग

@HuiZhang दुर्भाग्य से नहीं। परिमित तत्व के लिए, प्रतिक्रिया योगदान जो सकारात्मक ऑफ विकर्ण प्रविष्टियों पैदा करता है। $\langle 1 \phi_i, \phi_j\rangle > 0$

— निको श्लोमर

@ हुइजैंग आप निश्चित रूप से परिमित अंतर (और परिमित मात्रा भी) के मामले में सही हैं। मैं स्पष्ट रूप से यह बताने के लिए उत्तर दूंगा कि मुझे परिमित तत्वों में दिलचस्पी है।

— निको श्लोमर

इस तरह की समस्याओं के लिए डिसकंट्रेक्ट गेलरकिन विधियां काफी लोकप्रिय हो गई हैं - क्या आपने डि पिएत्रो और एर्न की पुस्तक को देखा है?

— ईसाई क्लैसन

Answer 1

आपके द्वारा दिखाए जाने वाले मामले में, समाधान की एक सीमा परत होती है। यदि आप इसे हल नहीं कर सकते हैं क्योंकि आपका जाल बहुत मोटे है, तो सभी व्यावहारिक मामलों के लिए समाधान संख्यात्मक योजना के लिए बंद है।

$N$

$\varepsilon$$h\rightarrow 0$

Answer 2

टीएल; डीआर: आपके विकल्प सीमित हैं 1) सटीक और महंगे समाधान के लिए ब्रूट बल अनुकूली 2) कम सटीक लेकिन स्थिर समाधान या (मेरे पसंदीदा) 3 के लिए संख्यात्मक प्रसार का उपयोग करें इस तथ्य का लाभ उठाएं कि यह एक विलक्षण गड़बड़ी समस्या है और हल दो सस्ती आंतरिक / बाहरी समस्याएं और मिलान किए गए स्पर्शोन्मुख दवाओं को अपना जादू करने दें!

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यदि आपको वास्तव में समस्या का एक समान संख्यात्मक समाधान प्राप्त करना चाहिए, तो वास्तव में बहुत कुछ नहीं है जो आप अनुकूली जाल शोधन से परे कर सकते हैं। आप एक विलक्षण गड़बड़ी समस्या का सामना कर रहे हैं जो मोटाई एक सीमा परत विकसित करता है$\delta = \mathcal{O}(\sqrt{\epsilon})$

$x = \mathcal{O}(\delta)$$\eta = x/\delta$

$$-\Delta u_i + u_i = 1$$

$u(0) = 0$$u_i(\eta\rightarrow\infty) = u_o(x\rightarrow0)$$u_o$$x = \mathcal{O}(1)$$u$$1$$u_0 = 1$ आसानी से आंतरिक समाधान - इस मामले में भी विश्लेषणात्मक रूप से।

यह वास्तव में तकनीक है जो (और अभी भी है) दिन में वापस तरल यांत्रिकी में लामिना की सीमा परत की समस्याओं को हल करने के लिए बहुत लोकप्रिय थी। वास्तव में यदि आप उच्च रेनॉल्ड्स संख्या पर नवियर-स्टोक्स समीकरणों को देखते हैं, तो आप प्रभावी रूप से एक विलक्षण गड़बड़ी की समस्या का सामना कर रहे हैं, जो आपके द्वारा यहां उल्लेखित है, एक सीमा परत (मज़ेदार तथ्य: शब्द "सीमा परत" के क्रम में विकसित होती है विश्लेषण वास्तव में द्रव सीमा परत समस्या से आता है जिसे मैंने अभी वर्णित किया है)।

$u_0 = 1$