क्रैंक-निकोलसन विवेक द्वारा बनाए गए गर्मी समीकरण का अधिकतम / न्यूनतम सिद्धांत है?

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मैं 1D गर्मी समीकरण को हल करने के लिए क्रैंक-निकोलसन परिमित अंतर योजना का उपयोग कर रहा हूं। मैं सोच रहा था कि गर्मी समीकरण का अधिकतम / न्यूनतम सिद्धांत (यानी कि अधिकतम / न्यूनतम प्रारंभिक स्थिति या सीमाओं पर होता है) भी विवेकाधीन समाधान के लिए रखता है।

यह शायद इस तथ्य से निहित है कि क्रैंक-निकोलसन एक स्थिर और अभिसरण योजना है। लेकिन ऐसा लगता है कि आप क्रैंक-निकोलसन स्टैंसिल से निर्मित मैट्रिसेस का उपयोग करके एक रेखीय बीजगणित तर्क के माध्यम से इसे सीधे साबित करने में सक्षम हो सकते हैं।

मैं इस पर साहित्य के लिए किसी भी संकेत की सराहना करता हूँ। धन्यवाद।

— foobarbaz
स्रोत

हाय फोबार्बाज़, और आपका स्वागत है scicomp! मुझे लगता है कि आपके द्वारा हल की गई समस्या का कोई स्रोत शब्द नहीं है, सही है?

— पॉल

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क्रैंक-निकोलसन के लिए अधिकतम सिद्धांत टाइमस्टेपऔर ग्रिड रिक्ति। सामान्य तौर पर हम विचार कर सकते हैं एकफार्म के -scheme

μ ≐ \frac{k}{h^{2}} \leq 1

$\mu \doteq \frac{k}{h^2} \leq 1$

k

$k$

h

$h$

θ

$\theta$

जहां

मानक Laplacian मैट्रिक्स और है

। तो

u^{n + 1} = u^{n} + \frac{μ}{2} ((1 - θ) A u^{n} + θ A u^{n + 1})

$u^{n+1} = u^n + \frac{\mu}{2}\left( (1-\theta)Au^n + \theta Au^{n+1}\right)$

A

$A$

0 \leq θ \leq 1

$0 \leq \theta \leq 1$

, फिर योजना स्थिर है। (यह आसानी से फूरियर तकनीक के द्वारा दिखाया जा सकता है।) हालांकि, मजबूत कसौटी यह है कि

μ (1 - 2 θ) \leq \frac{1}{2}

$\mu(1-2\theta) \leq \frac{1}{2}$

सामान्य रूप से धारण करने के लिए अधिकतम सिद्धांत के लिए

की आवश्यकता होती है।

μ (1 - θ) \leq \frac{1}{2}

$\mu(1-\theta) \leq \frac{1}{2}$

एक सबूत के लिए, केडब्ल्यू मॉर्टन द्वारा आंशिक विभेदक समीकरणों के संख्यात्मक समाधान देखें । विशेष रूप से, धारा २.१० और २.११ और प्रमेय २.२ देखें।

यह भी देखने का एक अच्छा तरीका है कि अधिकतम सिद्धांत पर एक बाधा के बिना सामान्य रूप से क्रैंक-निकोलसन के लिए पकड़ नहीं होगा । $\mu$

सीमा सहित 3 बिंदुओं वाले विवेक के साथ पर गर्मी समीकरण पर विचार करें । आइए को टाइमस्टेप और ग्रिड बिंदु पर विवेक को निरूपित करें । डिरिचलेट सीमा मान लें, ताकि सभी लिए । फिर क्रैंक-निकोलसन कम हो जाता है $[0,1]$ $u_i^k$ $k$ $i$ $u^k_0 = u^k_2 = 0$ $k$ जिसे और घटाकर

(1 - \frac{μ}{2} (- 2)) u_{1}^{n + 1} = (1 + \frac{μ}{2} (- 2)) u_{1}^{n},

$\left(1 - \frac{\mu}{2}(-2)\right)u^{n+1}_1 = \left(1 + \frac{\mu}{2}(-2)\right)u^n_1,$

u_{1}^{n + 1} = (\frac{1 - μ}{1 + μ}) u_{1}^{n} .

$u^{n+1}_1 = \left(\frac{1-\mu}{1+\mu}\right)u^n_1.$

यदि हम की प्रारंभिक स्थिति पर विचार करते हैं , तो हमारे पास $u_1^0 = 1$

u_{1}^{n} = {(\frac{1 - μ}{1 + μ})}^{n},

$u^n_1 = \left(\frac{1-\mu}{1+\mu}\right)^n,$

u_{1}^{n} \leq 1

$u^n_1 \leq 1$

u_{1}^{n} < 0

$u^n_1 < 0$

n

$n$

μ \leq 1

$\mu \leq 1$

μ \leq 1

$\mu \leq 1$

μ

$\mu$

फोबार्बाज़ के अनुरोध के जवाब में, मैंने सबूत का एक स्केच जोड़ा है।

\begin{aligned} (1 + 2 θ μ) u_{j}^{n + 1} & = θ μ (u_{j - 1}^{n + 1} + u_{j + 1}^{n + 1}) \\ + (1 - θ) μ (u_{j - 1}^{n} + u_{j + 1}^{n}) \\ + [1 - 2 (1 - θ) μ] u_{j}^{n} \end{aligned}

$\begin{align*} (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j &= \theta\mu(u^{n+1}_{j-1} + u^{n+1}_{j+1})\\ &+ (1-\theta)\mu(u^n_{j-1} + u^n_{j+1})\\ &+ [1-2(1-\theta)\mu]u^n_j \end{align*}$

$\mu(1-\theta)\leq \frac{1}{2}$

$u^{n+1}_j$ $u^{n+1}_{j-1}$ $u^{n+1}_{j+1}$ $u^n_{j-1}$ $u^n_{j+1}$ $u^n_j$ $u^{n+1}_j$ $u^{n+1}_j$

\begin{aligned} (1 + 2 θ μ) u_{j}^{n + 1} & > θ μ (u_{j - 1}^{n + 1} + u_{j + 1}^{n + 1}) \\ + (1 - θ) μ (u_{j - 1}^{n} + u_{j + 1}^{n}) \\ + [1 - 2 (1 - θ) μ] u_{j}^{n} \\ = (1 + 2 θ μ) u_{j}^{n + 1} \end{aligned}

$\begin{align*} (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j &> \theta\mu(u^{n+1}_{j-1} + u^{n+1}_{j+1})\\ &+ (1-\theta)\mu(u^n_{j-1} + u^n_{j+1})\\ &+ [1-2(1-\theta)\mu]u^n_j\\ &= (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j \end{align*}$

$u^{n+1}_j$ $u$

— बेन
स्रोत

धन्यवाद! क्या आपको मोर्टन के अलावा एक और संदर्भ का पता है? मैं Google पुस्तक पूर्वावलोकन में उन अनुभागों या प्रमेय तक नहीं पहुँच सकता। मैं प्रमाण समझना चाहूंगा।

— फोबाराज

@foobarbaz मेरे पास एक और संदर्भ काम नहीं है, लेकिन मैंने सबूत की एक रूपरेखा जोड़ दी। मुझे बताएं कि क्या मैं इसे स्पष्ट कर सकता हूं।

— बेन

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स्थिरता का मतलब है कि एक गड़बड़ी समय में बंधी हुई है। इसका मतलब यह नहीं है कि अधिकतम सिद्धांत असतत स्तर पर संतुष्ट है, यह एक अलग मुद्दा है। असतत अधिकतम सिद्धांत को संतुष्ट करना पर्याप्त है लेकिन स्थिरता के लिए आवश्यक नहीं है।

— क्रिस
स्रोत