अनियमित सीमाओं वाले डोमेन पर भिन्नता

Question

क्या कोई मुझे पोइसन के संख्यात्मक समाधानों (परिमित अंतर और क्रैंक-निकोलसन विधियों) पर पुस्तकों को खोजने में मदद कर सकता है और अनियमित ज्यामिति पर उदाहरणों सहित प्रसार समीकरण, जैसे कि एक आयत और वृत्त (विशेष रूप से पुस्तकों या लिंक) के बीच के क्षेत्र से युक्त डोमेन MATLAB पर कोड उदाहरण इस मामले में)?

Comments

किस उद्देश्य के लिए? बहुत शुरुआत में छात्रों के लिए परिचय? और आपके मामले में एक अनियमित ज्यामिति क्या है? पुनर्वसु कोनों के साथ डोमेन?

— शुहालो

@ मार्टिन: मैं इस क्षेत्र में बहुत बड़ा हूँ। मुझे अनियमित आकार के डोमेन पर पुनरावृत्ति विधियों का उपयोग करके पॉइसन समीकरण को हल करने के लिए इसकी आवश्यकता है, विशेष रूप से घुमावदार बंडरीज के साथ थ्रेड्स (जैसे ।.2-डी परिपत्र डोमेन)

— लियोना

@ इसे प्रश्न शीर्षक और शरीर को संपादित करके स्पष्ट करें कि आप क्या पूछ रहे हैं। उन समीकरणों के प्रकार निर्दिष्ट करें जिनकी आप परवाह करते हैं। क्या आप विवेक, बीजीय सॉल्वर, या दोनों में रुचि रखते हैं? क्या आप परिमित तत्वों बनाम परिमित तत्वों ( scicomp.stackexchange.com/questions/290/… ) की परवाह करते हैं ? आपका वर्तमान प्रश्न अत्यंत व्यापक है और इसे खोजना मुश्किल है।

— जेड ब्राउन

@JedBrown: मैं दिए गए डोमेन और सीमा की स्थिति पर बारीक अंतर का उपयोग करके पॉइसन समीकरण को हल करना चाहता हूं।

— सिंह

अंतिम, कृपया अपने प्रश्न के मुख्य भाग को अपने दोनों टिप्पणियों में जानकारी को शामिल करने के लिए संपादित करें। इसके अलावा, जैसा कि जेडब्रोर्न ने कहा, कृपया अपने प्रश्न का शीर्षक भी संपादित करें ताकि लोगों के लिए आपके प्रश्न को खोजना आसान हो, और लोगों के लिए यह निर्धारित करना आसान हो कि क्या प्रश्न उनके लिए दिलचस्प या लागू हो सकता है।

— ज्यॉफ ऑक्सीबेरी

Answer 1

अनियमित ज्यामिति पर परिमित अंतर स्कीम कार्य करने की कुंजी में उन मानों के साथ 'आकार' मैट्रिक्स होता है जो बाहर, अंदर और डोमेन की सीमा पर बिंदुओं को दर्शाते हैं। कहते हैं कि हमारे पास एक आकार था:

$$\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{matrix}$$

सच्चा डोमेन (जहां मैट्रिक्स के सभी गैर-शून्य प्रविष्टियाँ हैं) नीचे की ओर इंगित एक त्रिकोण का निर्माण करते हैं। सीमा पर 1 का प्रतिनिधित्व अंक, जबकि 2 का प्रतिनिधित्व आंतरिक बिंदु (unkowns, आमतौर पर) हम नोड संख्या को निम्नानुसार असाइन कर सकते हैं:

$$\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 7 & 8 & 9 & 10 & -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 11 & 12 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{matrix}$$

यहाँ, -1 सीमा स्थानों का प्रतिनिधित्व करता है। फिर, आप मैट्रिक्स में सभी प्रविष्टियों पर एक परिमित अंतर योजना चला सकते हैं, लेकिन यदि आप अपनी योजना को केवल आंतरिक नोड्स (1 से 12 तक) पर निष्पादित करने के लिए एक कथन का उपयोग करते हैं। यह दृष्टिकोण इसे करने का सबसे कुशल तरीका नहीं है, लेकिन यह काम पूरा कर देगा ... यदि आप मेमोरी का खर्च उठा सकते हैं, तो सभी आंतरिक नोड्स की प्रविष्टियों (i, j) को स्टोर करना और चलाना अच्छा हो सकता है केवल उन नोड्स पर लूप के लिए।

सीधे ज्यामिति बनाने के लिए, आप दो चीजों में से एक कर सकते हैं:
1. मैन्युअल रूप से एक ब्लैक एंड व्हाइट छवि बनाएं, और इसे अपने प्रोग्राम में आयात करें (लागू करने के लिए सबसे आसान, लेकिन अपने स्थानिक रिज़ॉल्यूशन डीएक्स या डाई को परिष्कृत करना असंभव है)।
2. ऐसा कोड लिखें, जो आपके द्वारा चुने गए किसी भी स्थानिक रिज़ॉल्यूशन के लिए इच्छित मूल आकृतियों के असतत प्रतिनिधित्व को बनाएगा (लागू करने के लिए कठिन, लेकिन किसी भी स्थानिक रिज़ॉल्यूशन dx या डाई के सामान्य परिमित अंतर योजनाओं के लिए अधिक मजबूत)।

यदि आप इसे कैसे करना चाहते हैं, इसके बारे में अधिक जानना चाहते हैं, तो आप इन वीडियो को देखने पर विचार कर सकते हैं:
एनपीटीईएल कंप्यूटर ग्राफिक्स कोर्स, वीडियो 2 (रैस्टर ग्राफिक्स)
एनपीटीईएल कंप्यूटर ग्राफिक्स कोर्स, वीडियो 3 (रैस्टर ग्राफिक्स, जारी)
उन्हें देखें, और मुझे बताएं कि क्या यह आपके प्रश्न को संबोधित करता है।

Comments

वहाँ एक रास्ता है कि मैं मैट्रिक्स मूल्यों है कि मैं पोस्ट के प्रारूप में सुधार कर सकते है ... यह काफी तरह से मैं चाहता हूँ नहीं लगती है यह देखने के लिए के लिए

— पॉल

हां, आप MathJax का उपयोग कर सकते हैं और उन्हें एक सरणी वातावरण में रख सकते हैं।

— डेविड केचेसन

आप सही हैं ... यह MathJax के साथ बहुत अच्छा लगता है। :) सुझाव के लिए धन्यवाद

— पॉल

@Paul: आपके सरल समाधान के लिए धन्यवाद! हालाँकि, मैं आयताकार और त्रिकोण के बीच संलग्न क्षेत्र (या आयताकार और वृत्त के बीच संलग्न क्षेत्र) के लिए अंक प्राप्त करने के लिए सीमा बिंदुओं की गणना कैसे कर सकता हूं?

— लायन

क्या आपके पास उस डोमेन के आकार की तस्वीर है जिसे आप मॉडल करना चाहते हैं? यह हमेशा यह देखने के लिए, बस शब्दों में :) यह वर्णन करने के लिए और भी आसान है

— पॉल

Answer 2

मुझे लगता है कि बहुत शुरुआत में एक अच्छी किताब है हैकबच की पुस्तक:

http://books.google.com/books/about/Elliptic_differential_equations.html?id=-ZPc_JYJFHgC&redir_esc=y

विशेष रूप से ch। 4.8, "मनमाने ढंग से डोमेन में छूट" आपके लिए दिलचस्प हो सकता है। उस पुस्तक का जर्मन संस्करण मुफ्त में (कानूनी रूप से) डाउनलोड किया जा सकता है। मुझे नहीं पता कि यह अंग्रेजी संस्करण के लिए भी है या नहीं।

Answer 3

मैं निम्नलिखित पत्रों का सुझाव दूंगा:

मनमाने ढंग से अनियमित ग्रिडों में परिमित अंतर विधि और अनुप्रयुक्त यांत्रिकी में इसके आवेदन - लिस्ज़का ऑर्किज़

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0045794980901492

चर ग्रिड के लिए परिमित अंतर तकनीक - जेन्सेन

http://www.mendeley.com/research/finite-difference-techniques-variable-grids-7/

सामान्यीकृत परिमित अंतर विधि द्वारा परवलयिक और हाइपरबोलिक समीकरणों को हल करना - बेनिटो उरेना ग्वेते

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S037704270600687X

मूल रूप से वे वर्णन करते हैं कि कैसे गैर-स्थिर / अनियमित मेषों के लिए परिमित अंतर उत्पन्न करने के लिए। मुझे ऐसी किसी भी पुस्तक की जानकारी नहीं है जो इस विशिष्ट विषय को गहराई से समझती हो, लेकिन रान्डेल लेवेके की पुस्तक में इसके बारे में कुछ हो सकता है। यहाँ लेखक के वेबपेज के लिए लिंक दिया गया है, जिसमें परिमित अंतरों के लिए कुछ मटलब m-files हैं।

http://faculty.washington.edu/rjl/booksnotes.html

Answer 4

मुझे लगता है कि मेष को सीमा के लायक बनाना और इसलिए एफडीएम के मानक वर्ग जाल से एक प्रस्थान शायद एक समाधान है लेकिन फिर भी उच्च आदेश एल्गोरिदम के उपयोग के रूप में गंभीर निहितार्थ हैं - यदि असंभव नहीं तो मुश्किल। मैंने एक अलग दृष्टिकोण लिया है, अर्थात् घुमावदार सीमा ज्यामिति के ऊपर आयताकार ग्रिड रखें, उच्च क्रम के एल्गोरिदम बनाएं, ज्यामिति को "बाहर" मान सेट करने के लिए सीमा से प्रक्षेपित करें, और यही सब कुछ है। हम एक आदेश 8 एल्गोरिथ्म का उपयोग कर इस विधि के साथ गाढ़ा क्षेत्र परीक्षण ज्यामितीय ~ 1e-12 में प्राथमिकताओं को प्राप्त किया है। अगर आप "एडवर्ड्स, fdm घुमावदार सीमा" को गूगल करेंगे तो आपको मेरे काम के संदर्भ मिलेंगे।

Answer 5

क्या आपके लिए अनुकूली जाल शोधन का उपयोग करना संभव होगा? एक त्वरित Google खोज बहुत सारे लिंक को बंद कर देगी। एएमआर का उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, पिछले जटिल आकार के प्रवाह को मॉडल करने के लिए द्रव की गतिशीलता में; साथ ही साथ कई अन्य अनुप्रयोग। यहां स्टारबोल गठन में उत्पन्न होने वाले हाइपरबोलिक संरक्षण कानूनों को हल करने का एक उदाहरण है। ज्यामिति बहुत जटिल हैं। पेपर का पहला भाग एक अच्छा ट्यूटोरियल है। http://www.mpa-garching.mpg.de/lectures/ADSEM/SS05_Homann.pdf

Answer 6

यह प्रश्न कीड़े की एक कैन खोलता है, जैसा कि दिए गए उत्तरों की विविधता से स्पष्ट होता है। इनमें से कई उपयोगी बिंदु बनाते हैं, लेकिन एक बहुत ही उपयोगी उत्तर उन विचारों पर ध्यान देगा जो उठाए नहीं गए हैं। ज्यामिति की सटीक प्रकृति को विशिष्ट बनाने के अलावा, यह जानना मूल्यवान होगा कि आपको किस प्रकार की सटीकता की आवश्यकता है? ख) क्या आप नियमित चौकोर मेश के साथ रहना चाहते हैं? ग) आप नई तकनीक सीखने में कितना निवेश करने को तैयार हैं?

नियमित रूप से वर्गाकार मेश, सीमा को सटीक रूप से परिभाषित करना कठिन बनाते हैं, ताकि कई लोग मेशिंग के अनुरूप बदल जाएं। आयताकार कनेक्टिविटी के साथ मेषों के अनुरूप होने से बहुत ही अनियमित आकृतियों को फिट करने में कठिनाई होती है, इसलिए बहुत से लोग असंरचित मेष (त्रिकोण / tetraheda या अधिक सामान्य) को अपनाते हैं।

किसी भी डेटा में नियमित कार्टेशियन संरचना नहीं होने के कारण, डेरिवेटिव का मूल्यांकन करना मुश्किल होता है, इसलिए बहुत से लोग अपनी समस्याओं को अभिन्न रूप में सुधारते हैं, जो परिमित-तत्व / परिमित-मात्रा विधियों (जो उच्च-क्रम को प्राप्त कर सकता है) की ओर जाता है। मेष-मुक्त विधियाँ हैं। सीमा-तत्व विधियां हैं। डूबे हुए सीमा के तरीके हैं। कट-सेल तरीके हैं। अक्सर एक विधि होती है जो कुछ अनुप्रयोगों में लोकप्रिय होती है लेकिन दूसरों में नहीं, उन कारणों के लिए जो ज्यादातर ऐतिहासिक हैं।

मैं आपको इस चक्रव्यूह को छोड़ने के लिए शुभकामनाएं देता हूं, लेकिन आपको यह महसूस करना चाहिए कि आपके प्रश्न का एक आकार-फिट-सभी समाधान नहीं है।