सम-स्पंदित बिंदुओं के साथ बुरा व्यवहार क्यों होता है?

Question

प्रयोग विवरण:

लैग्रेंज प्रक्षेप में, सटीक समीकरण को $N$ अंक (बहुपद क्रम $N - 1$ ) पर मापा जाता है और यह 101 बिंदुओं पर प्रक्षेपित होता है। यहाँ $N$ 2 से 64 तक भिन्न है। हर बार $L_1$ , $L_2$ और $L_\infty$ त्रुटि प्लॉट तैयार किए जाते हैं। यह देखा जाता है कि, जब फ़ंक्शन को समान-स्थान बिंदुओं पर नमूना किया जाता है, तो त्रुटि शुरू में गिर जाती है (यह तब तक होता है जब तक $N$ लगभग 15 या उससे कम होता है) और फिर त्रुटि में और वृद्धि के साथ ऊपर जाती है $N$।

जबकि, अगर लेजेंड्रे-गॉस (एलजी) पॉइंट्स (लीजेंड्रे पॉलीओमियल्स की जड़ें), या लीजेंड्रे-गॉस-लॉबेटो (एलजीएल) पॉइंट्स (लॉबट्टी पॉलीओनियम्स की जड़ें) पर प्रारंभिक सैंपलिंग की जाती है, तो मशीन स्तर पर त्रुटि हो जाती है और नहीं वृद्धि जब $N$ आगे बढ़ जाती है।

मेरे प्रश्न हैं,

वास्तव में सम-स्पंदित बिंदुओं के मामले में क्या होता है?

बहुपद क्रम में वृद्धि एक निश्चित बिंदु के बाद त्रुटि का कारण क्यों बनती है?

क्या इसका मतलब यह भी है कि अगर मैं WENO / ENO पुनर्निर्माण के लिए समान-अंतराल वाले बिंदुओं का उपयोग करता हूं (Lagrange polynomials का उपयोग करके), तो चिकनी क्षेत्र में, मुझे त्रुटियाँ मिलेंगी? (ठीक है, ये केवल काल्पनिक प्रश्न हैं (मेरी समझ के लिए), यह वास्तव में WENO योजना के लिए 15 या उससे अधिक के बहुपद का पुनर्निर्माण करने के लिए उचित नहीं है)

अतिरिक्त जानकारिया:

अनुमानित कार्य:

$f(x) = \cos(\frac{\pi}{2}~x)$,$x \in [-1, 1]$

$x$ को$N$ समान (और बाद में LG) अंकमें विभाजित किया गया। फ़ंक्शन को हर बार 101 बिंदुओं पर प्रक्षेपित किया जाता है।

परिणाम:

1. ए) इक्वि-स्पेस पॉइंट्स ( लिए प्रक्षेप $N = 65$):

1. बी) इक्वि-स्पेस पॉइंट्स (एरर प्लॉट, लॉग स्केल):

2. ए) एलजी अंक ( लिए इंटरपोलेशन $N = 65$):

3. बी) एलजी अंक (त्रुटि साजिश, लॉग स्केल):

Answer 1

समान अंकों के साथ समस्या यह है कि प्रक्षेप त्रुटि बहुपद, यानी

$$f(x) - P_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \prod_{i=0}^n (x - x_i),\quad \xi\in[x_0,x_n]$$

$x_i$

यदि आप गॉस-लिजेंड पॉइंट का उपयोग करते हैं, तो त्रुटि बहुपद का व्यवहार काफी बेहतर होता है, अर्थात यह किनारों पर नहीं उड़ता है। यदि आप चेबीशेव नोड्स का उपयोग करते हैं , तो यह बहुपद समबाहु और प्रक्षेप त्रुटि है।

Comments

जॉन पी। बॉयड चेबिशेव और फूरियर स्पेक्ट्रल विधियों की पुस्तक में काफी विस्तृत विवरण है , जहां पेड्रो के प्रक्षेप त्रुटि बहुपद को भी अच्छी तरह से समझाया गया है (अध्याय 4.2 पृष्ठ 85)।

— Bort

धन्यवाद। इसके अलावा उपर्युक्त विकल्पों के लिए Lebesgue स्थिरांक अलग व्यवहार करता है। सम-स्पंदित बिंदुओं के लिए, लेब्सेग निरंतर तेजी से बढ़ता है जबकि एलजी, एलजीएल, चेबीशेव के लिए यह बढ़ते एन के साथ संतृप्त का एक प्रकार है। en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_constant_(interpolation) , ami.ektf.hu/uploads/papers/finalpdf/AMI_33_from109to123.pdf , लेकिन संख्यात्मक कार्यान्वयन के बारे में सवाल अभी भी बना हुआ है ...

— सुबोध

क्षमा करें, मुझे ENO / WENO के बारे में अधिक जानकारी नहीं है। लेकिन मैं कम क्षेत्र के प्रक्षेपों के लिए सुचारू क्षेत्र में समस्याओं की उम्मीद नहीं करूंगा, हालांकि चौथा नोड्स निश्चित रूप से वानस्पतिक कारणों के लिए बेहतर विकल्प हैं।

— Bort

Answer 2

यह वास्तव में एक दिलचस्प सवाल है, और बहुत सारे संभावित स्पष्टीकरण हैं। यदि हम एक बहुपद प्रक्षेप का उपयोग करने का प्रयास कर रहे हैं, तो ध्यान दें कि बहुपद निम्नलिखित विषम असमानता को संतुष्ट करते हैं

$P$$N$

$$|P^{\prime}(x)| \leq \frac{N}{\sqrt{1-x^2}}\max _x |P(x) |$$

प्रत्येक । इसे बर्नस्टीन की असमानता के रूप में जाना जाता है , इस असमानता में विलक्षणता पर ध्यान दें। यह मार्कोव असमानता से घिरा हो सकता है$x \in (-1,1)$

$$\max _x |P^{\prime} (x) | \leq N^2 \max _x |P(x) |$$

और ध्यान दें कि यह इस अर्थ में तीक्ष्ण है कि Chebyseh polynomials इसे एक समीकरण बनाते हैं। तो दूसरे शब्दों में हम निम्नलिखित संयुक्त बाध्य है।

$$|P^{\prime}(x)| \leq \min \left(\frac{N}{\sqrt{1-x^2}},N^2\right)\max _x |P(x) |$$

इसका क्या अर्थ है: बहुपद के स्नातक अंतराल सीमा के छोटे पड़ोस को छोड़कर हर जगह उनके क्रम में रैखिक रूप से बढ़ते हैं। सीमाओं पर वे तरह बढ़ते हैं । यह कोई दुर्घटना नहीं है कि स्थिर प्रक्षेप नोड्स सभी में सीमाओं के पास एक क्लस्टरिंग है। आधार के ग्रेडिएंट्स को नियंत्रित करने के लिए क्लस्टरिंग आवश्यक है, जबकि मिडपॉइंट के पास व्यक्ति थोड़ा अधिक आराम कर सकता है। 1 / एन $N^2$$1/{N^2}$

हालांकि यह पता चला है कि यह एक बहुपद घटना नहीं है, मैं निम्नलिखित पत्र का सुझाव देता हूं:

http://math.la.asu.edu/~platte/pub/prevised.pdf

यह शिथिल रूप से कहता है: यदि आपके पास बहुपद आधार की एक ही सन्निकटन शक्ति है, तो आप एक स्थिर तरीके से समान रूप से स्थान बिंदुओं का उपयोग नहीं कर सकते।

Answer 3

यह समान रूप से फैला हुआ बिंदु नहीं है जो समस्या है। यह समान रूप से स्थान बिंदुओं के साथ आधार कार्यों का वैश्विक समर्थन है जो समस्या है। समान रूप से स्थानिक बिंदुओं का उपयोग करते हुए एक पूरी तरह से अच्छी तरह से वातानुकूलित इंटरप्रिटेंट को कास के न्यूमेरिकल एनालिसिस में वर्णित किया गया है, जो कॉम्पैक्ट समर्थन के क्यूबिक-बी स्पलाइन आधार कार्यों का उपयोग कर रहा है।

Comments

यकीन है, लेकिन तब आपके इंटरपोलेंट विश्व स्तर पर सहज नहीं होंगे (केवल आपके उदाहरण के लिए)$C^2$

— GoHokies

@GoHokies: पुनरावृत्त संकल्प द्वारा वांछित रूप से समर्थित स्प्लिन को चिकना बनाया जा सकता है। प्रक्षेप के लिए उपयोग मामला क्या है ? $C^{\infty}$

— user14717

निष्पक्ष बिंदु। ("स्थिति-वेग-त्वरण") अधिकांश अनुप्रयोगों के लिए पर्याप्त है। आप कुछ सीमा-मूल्य की समस्याओं के लिए चाहते हैं , लेकिन इसके ऊपर किसी भी सामान्य उपयोग के मामले के बारे में नहीं सोच सकते। $C^2$$C^4$

— गोहोकीस

Answer 4

वास्तव में सम-स्पंदित बिंदुओं के मामले में क्या होता है?

बहुपद क्रम में वृद्धि एक निश्चित बिंदु के बाद त्रुटि का कारण क्यों बनती है?

यह रनज की घटना के समान है, जहां समान-अंतर वाले नोड्स के साथ, प्रक्षेप त्रुटि बहुपद डिग्री की वृद्धि के साथ अनंत तक जाती है, अर्थात अंक की संख्या।

इस समस्या की जड़ों में से एक Lebesgue के स्थिरांक में पाया जा सकता है जैसा कि @ सुबोध की टिप्पणी @Pedro के उत्तर से है। यह स्थिरांक सबसे अच्छे सन्निकटन के साथ प्रक्षेप से संबंधित है।

---

कुछ संकेतन

हमारे पास नोड्स पर प्रक्षेपित करने के लिए एक फ़ंक्शन है । अंतराल व्यवस्था में अंतराल व्यवस्था बहुपद को परिभाषित किया गया है :$f \in C([a,b])$$x_k$

$$L_k(x) = \prod_{i=0, i\neq j}^{n}\frac{x-x_i}{x_k-x_i}$$

इसके साथ प्रकाश संकेतन के लिए जोड़ों पर प्रक्षेप बहुपद को परिभाषित किया गया है$p_n \in P_n$$(x_k, f(x_k))$$(x_k, f_k)$

$$p_n(x) = \sum_{k=0}^n f_kL_k(x)$$

---

अब डेटा पर एक गड़बड़ी पर विचार करें, यह गोलाई के लिए उदाहरण के लिए हो सकता है, इसलिए हमें । इसके साथ नया बहुपद है:$\tilde{f}_k$$\tilde{p}_n$

$$\tilde{p}_n(x) = \sum_{k=0}^n \tilde{f}_k L_k(x)$$

त्रुटि का अनुमान है:

$$p_n(x) - \tilde{p}_n(x) = \sum_{k=0}^n (f_k - \tilde{f}_k) L_k(x)$$

$$| p_n(x) - \tilde{p}_n(x) | \leq \sum_{k=0}^n |f_k - \tilde{f}_k| |L_k(x)| \leq \left ( \max_k |f_k - \tilde{f}_k| \right) \sum_{k=0}^n |L_k(x)|$$

अब यह संभव है कि के निरंतर को परिभाषित करें :$\Lambda_n$

$$\Lambda_n = \max_{x \in [a,b]} \sum_{k=0}^n |L_k(x)|$$

इसके साथ अंतिम अनुमान है:

$$|| p_n - \tilde{p}_n ||_{\infty} \leq \left ( \max_k |f_k - \tilde{f}_k| \right) \Lambda_n$$

(सीमांत नोट, हम केवल मानदंड देखते हैं, क्योंकि हम परिमित माप के स्थान पर हैं इसलिए )$\infty$$L^{\infty} \subseteq \dots \subseteq L^1$

उपरोक्त गणना से हमें यह पता है कि है:$\Lambda_n$

• दिनांक से स्वतंत्र:
• केवल नोड्स वितरण से निर्भर करता है;
• स्थिरता का एक संकेतक (यह जितना छोटा होता है, उतना ही अच्छा होता है)।

यह प्रक्षेप ऑपरेटर सम्मान का भी आदर्श है मानदंड$|| \cdot||_\infty$

हमारे द्वारा दिए गए प्रमेय का अनुसरण करें, हमें लेबेसेग के स्थिरांक के साथ प्रक्षेप त्रुटि का अनुमान मिला है:

चलो और के रूप में हमारे पास ऊपर जहां सर्वश्रेष्ठ वर्दी सन्निकटन बहुपद द्वारा त्रुटि है$f$$p_n$

$$|| f - p_n ||_{\infty} \leq (1 + \Lambda_n) d_n(f)$$ $$d_n(f) = \inf_{q_n \in P_n} || f - q_n ||_{\infty}$$

Ie अगर छोटा है तो प्रक्षेप की त्रुटि सबसे अच्छी वर्दी सन्निकटन की त्रुटि से दूर नहीं होती है और प्रमेय प्रक्षेप की त्रुटि की तुलना सबसे छोटी संभव त्रुटि से करता है जो कि सर्वश्रेष्ठ वर्दी सन्निकटन की त्रुटि है।$\Lambda_n$

इसके लिए प्रक्षेप का व्यवहार नोड्स वितरण द्वारा निर्भर करता है। बारे में एक निम्न सीमा है कि एक नोड वितरण दिया गया एक निरंतर मौजूद है जैसे: तो निरंतर बढ़ता है, लेकिन यह बढ़ता है importan।$\Lambda_n$$c$

$$\Lambda_n \geq \frac{2}{\pi} \log(n) - c$$

के लिए सम-दूरी नोड्स मैं कुछ विवरण छोड़े गए, लेकिन हम देखते हैं कि बढ़ती घातीय है।

$$\Lambda_n \approx \frac{2^{n+1}}{en \log(n)}$$

के लिए Chebyshev नोड्स भी यहाँ मैं कुछ विवरण छोड़े गए, वहाँ और अधिक सटीक और जटिल अनुमान कर रहे हैं। अधिक जानकारी के लिए देखें [१]। ध्यान दें कि चेबीशेव परिवार के नोड्स को लॉगरिदमिक ग्रोथ मिला है और पिछले अनुमानों से सबसे अच्छा है जो आप प्राप्त कर सकते हैं।

$$\Lambda_n \leq \frac{2}{\pi} \log(n) + 4$$

अन्य नोड्स वितरण के लिए इस आलेख के उदाहरण तालिका 1 के लिए देखें ।

---

प्रक्षेप के बारे में पुस्तक पर बहुत सारे संदर्भ हैं। ऑन-लाइन ये स्लाइड्स फिर से शुरू होने के रूप में अच्छी हैं।

इसके अलावा यह खुला लेख ([१])

विभिन्न संख्याओं के लिए अंतराल पर बहुपद के लिए एक संख्यात्मक सात ग्रिड इंटरपोलेशन तुलना।

Answer 5

जब आप को (या चाहते हैं) समवर्ती बिंदुओं साथ काम करना हो तो फ्लोटर-हॉरमैन इंटरपोलेंट्स के बारे में पता होना अच्छा है ।$\{x_i\}_{i=1\ldots n}$

पूर्णांक को देखते हुए के साथ , चलो की बहुपद interpolant हो । फिर एक समारोह के एफ एच interpolant पर रूप है$d$$0 \le d \le n$$p_i$$\{ x_i, \ldots x_{i+d} \}$$f$$\{x_i\}_{i=1\ldots n}$

$$r_n(x) := \frac{\sum_{i=0}^{n-d} \lambda_i(x) \, p_i(x)}{\sum_{i=0}^{n-d} \lambda_i(x)}$$

"सम्मिश्रण कार्यों" के साथ

$$\lambda_i(x) = \frac{(-1)^i}{(x-x_i) \ldots (x - x_{i+d})}$$

इन प्रक्षेपों के कुछ गुण:

• वे कोई वास्तविक डंडे के साथ बेरेंट्रिक तर्कसंगत इंटरपोलेंट हैं ;
• मनमाना सन्निकटन आदेशों को प्राप्त करना लिए , अंकों के वितरण की परवाह किए बिना;च ∈ सी डी + 2 [ एक , ख ${\cal O}(h^{d+1})$$f \in C^{d+2}[a,b]$
• कुछ हद तक splines के समान हैं, में है कि वे मिश्रण (स्थानीय) बहुपद interpolants के साथ के सम्मिश्रण कार्यों के रूप में कार्य;$p_0, \ldots p_{n-d}$$\lambda$
• वे अधिकांश (या यदि विषम है) डिग्री के बहुपद को पुन: उत्पन्न करते हैं ;डी + 1 एन - $d$$d+1$$n-d$
• बैरिएट्रिक फॉर्म में लिखा जा सकता है (फ्लोटर और हॉरमैन के पेपर के सेक्शन 4 देखें)।

कैविट एमप्टर : जैसा कि अपेक्षित था (@ Reid.Atcheson द्वारा संदर्भित कागज देखें), बढ़ने से शीघ्रता से आसन्न प्रक्रिया की कंडीशनिंग खत्म हो जाती है।$d$

इस समस्या को दूर करने के लिए क्लेन द्वारा हाल ही में कुछ काम किए गए हैं। उन्होंने जोड़कर मूल फ्लोटर-HORMANN दृष्टिकोण संशोधित नई मूल प्रक्षेप अंतराल के बाहर अंक के लिए इसी डेटा मान की एक चिकनी विस्तार से निर्मित बाहर केवल दिए गए डेटा का उपयोग कर । यह "वैश्विक" डेटा सेट तब एक नए FH तर्कसंगत फ़ंक्शन द्वारा प्रक्षेपित किया जाता है और केवल अंदर मूल्यांकन किया जाता है ।[ ए , बी ] एफ [ ए , बी ] एफ 0 , … एफ एन आर एन + 2 डी [ ए , बी $2 d$ $[a,b]$$f$$[a,b]$$f_0, \ldots f_n$$r_{n+2d}$$[a,b]$

विवरण क्लिन के पेपर (नीचे से जुड़ा हुआ) में अच्छी तरह से रखा गया है, जहां यह दिखाया गया है कि इन विस्तारित तर्कसंगत इंटरपोलेंट्स में लेबेस लीग स्थिरांक हैं जो और साथ लॉगरिदमिक रूप से बढ़ते हैं (जबकि मूल एफएच योजना के लिए, कहा गया कि विकास में घातीय है , बॉस देखें एट अल। )।डी $n$$d$$d$

chebfunsजैसा कि यहां बताया गया है, जब समान डेटा का निर्माण किया जाता है, तो Cheffun लाइब्रेरी एफएच इंटरपोलेंट्स का उपयोग करती है ।

संदर्भ:

एमएस फ्लोटर और के। हॉरमैन , बैरिएट्रिक तर्कसंगत प्रक्षेप जिसमें कोई ध्रुव नहीं है और उच्च दर, सन्निकट गणित 107 (2007)।

जी क्लेन, barycentric वाजिब Interpolants की फ्लोटर-HORMANN परिवार का एक विस्तार, संगणना के गणित , 82 (2011) - प्रीप्रिंट

L. Bos, S. De Marchi, K. Hormann, and G. Klein, on Lebesgue constant of barycentric rational interpolation at equidistant nodes, Numer। गणित। 121 (2012)