क्रैंक-निकोलसन रिएक्शन-डिफ्यूजन-एडविक्शन (संवहन) समीकरण के लिए एक स्थिर विवेक योजना है?

Question

मैं पीडीई के लिए सामान्य विवेकाधीन योजनाओं से बहुत परिचित नहीं हूं। मुझे पता है कि प्रसार समीकरण को समझने के लिए क्रैंक-निकोलसन लोकप्रिय योजना है। संधि शब्द के लिए भी एक अच्छा विकल्प है?

मैं रिएक्शन-डिफ्यूजन-एड्विएशन समीकरण को हल करने में दिलचस्प हूं ,

$\frac{\partial u}{\partial t} + \nabla \cdot \left( \boldsymbol{v} u - D\nabla u \right) = f$

जहाँ $D$ पदार्थ u का फैलाव गुणांक है $u$और $\boldsymbol{v}$ वेग है।

मेरे विशिष्ट आवेदन के लिए समीकरण को फॉर्म में लिखा जा सकता है,

$\frac{\partial u}{\partial t} = \underbrace{D\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}}_{\textrm{Diffusion}} + \underbrace{\boldsymbol{v}\frac{\partial u}{\partial x}}_{\textrm{Advection (convection)}} + \underbrace{f(x,t)}_{\textrm{Reaction}}$

यहाँ मैंने क्रैंक-निकोलसन योजना लागू की है,

$\frac{u_{j}^{n+1} - u_{j}^{n}}{\Delta t} = D \left[ \frac{1 - \beta}{(\Delta x)^2} \left( u_{j-1}^{n} - 2u_{j}^{n} + u_{j+1}^{n} \right) + \frac{\beta}{(\Delta x)^2} \left( u_{j-1}^{n+1} - 2u_{j}^{n+1} + u_{j+1}^{n+1} \right) \right] + \boldsymbol{v} \left[ \frac{1-\alpha}{2\Delta x} \left( u_{j+1}^{n} - u_{j-1}^{n} \right) + \frac{\alpha}{2\Delta x} \left( u_{j+1}^{n+1} - u_{j-1}^{n+1} \right) \right] + f(x,t)$

$\alpha$ और $\beta$ शर्तों को नोटिस करें । यह योजना को इसके बीच स्थानांतरित करने में सक्षम बनाता है:

• $\beta=\alpha=1/2$ 1/2 क्रैंक-निस्कोल्सन,
• $\beta=\alpha=1$ यह पूरी तरह से निहित है
• $\beta=\alpha=0$ यह पूरी तरह से स्पष्ट है

मान अलग-अलग हो सकते हैं, जो प्रसार शब्द को क्रैंक-निकोलसन और संज्ञा शब्द को कुछ और होने की अनुमति देता है। सबसे स्थिर दृष्टिकोण क्या है, आप क्या सुझाएंगे?

Answer 1

यह एक अच्छी तरह से तैयार किया गया सवाल है और समझने के लिए एक बहुत ही उपयोगी चीज है। कोरोक आपको वॉन न्यूमैन विश्लेषण और लेवेके की पुस्तक का उल्लेख करने के लिए सही है। मैं इसमें थोड़ा और जोड़ सकता हूं। मैं एक विस्तृत उत्तर लिखना चाहता हूं, लेकिन फिलहाल मेरे पास केवल एक छोटे समय के लिए है:

साथ , आपको एक विधि मिलती है जो मनमाने ढंग से बड़े कदम के आकार के लिए बिल्कुल स्थिर होती है, साथ ही दूसरे क्रम में सटीक होती है। हालांकि, विधि L -stable नहीं है , इसलिए बहुत उच्च आवृत्तियों को भीगने नहीं दिया जाएगा, जो कि अप्रमाणिक है।$\alpha=\beta=1/2$

साथ , तो आप एक विधि को भी बिना शर्त स्थिर है, लेकिन केवल 1 से आदेश सही है कि मिलता है। यह विधि बहुत ही विघटनकारी है। यह L -stable है।$\alpha=\beta=1$

यदि आप लेते हैं , तो आपकी विधि को केंद्र में अंतर अर्ध-विवेकाधिकार के लिए एक योज्य रन-कुट्टा विधि को लागू करने के रूप में समझा जा सकता है । ऐसे तरीकों के लिए स्थिरता और सटीकता विश्लेषण काफी जटिल है। इस तरह के तरीकों पर एक बहुत अच्छा कागज यहाँ है ।$\alpha\ne\beta$

अनुशंसा करने के लिए कौन सा दृष्टिकोण दृढ़ता से के परिमाण पर निर्भर करता है , जिस तरह के प्रारंभिक डेटा से आप निपटते हैं, और जिस सटीकता की तलाश करते हैं। यदि बहुत कम सटीकता स्वीकार्य है, तो एक बहुत ही मजबूत दृष्टिकोण है। यदि मध्यम या बड़ा है, तो समस्या प्रसार-वर्चस्व और बहुत कठोर है; आम तौर पर 1/2 अच्छे परिणाम देगा। यदि बहुत छोटा है, तो यह एक स्पष्ट विधि और उच्च-क्रम का उपयोग करने के लिए लाभकारी शब्दों के लिए ऊपर उठाने के लिए फायदेमंद हो सकता है।$D$$\alpha=\beta=1$$D$$\alpha=\beta=1/2$$D$

Comments

एक बहुत ही व्यावहारिक जवाब, धन्यवाद! क्या प्रसार के अलग-अलग शासनों को परिभाषित करने का एक तरीका है और वर्चस्व का वर्चस्व है? शर्तों की भयावहता की तुलना करने के अलावा? उदाहरण के लिए, केवल गुणांक की तुलना करके? तकनीकी शब्द L- स्थिरता का अर्थ क्या है। हर कोई इस पुस्तक की सिफारिश करता है, मुझे इसे खरीदना चाहिए!

— बॉयफ्रेल

मैंने आपको जो मानदंड दिया है, उसमें केवल गुणांक शामिल हैं। संक्षेप में, एल-स्थिरता का मतलब है कि उच्च आवृत्तियों को दृढ़ता से नम किया जाएगा।

— डेविड केचेसन

इसलिए जब एक सुचारू कार्य है (इस अर्थ में, इसमें उच्च आवृत्ति वाले फूरियर घटक नहीं हैं) क्रैंक-निकोलसन एक अच्छा विकल्प है। यदि फिर भी, में तेज धार है तो एक अच्छा विकल्प है। $u(x)$$u(x)$$\beta=1$

— ब्वॉयफ्रेल

यह एक उचित है, हालांकि बहुत मोटा, सामान्यीकरण। यदि आपको बहुत सटीकता की आवश्यकता नहीं है, तो वे विकल्प कम से कम काम करेंगे।

— डेविड केचेसन

Answer 2

सामान्यतया, आप परवल समीकरणों (प्रसार भाग) के लिए एक अंतर्निहित विधि का उपयोग करना चाहते हैं - परवलयिक पीडीई के लिए स्पष्ट योजनाओं को स्थिर होने के लिए बहुत कम समय की आवश्यकता है। इसके विपरीत, अतिशयोक्तिपूर्ण भाग (उत्तोलन) के लिए आप एक स्पष्ट तरीका चाहते हैं क्योंकि यह सस्ता है और रैखिक प्रणाली की समरूपता को बाधित नहीं करता है जिसे आपको प्रसार के लिए एक अंतर्निहित योजना का उपयोग करके हल करना है। उस स्थिति में, आप केंद्रित मतभेदों से बचना चाहते हैं जैसे और स्विच एकतरफा अंतरों के लिए स्थिरता के कारणों के लिए ।$(u_{j+1}-u_{j-1})/2\Delta t$$(u_j-u_{j-1})/\Delta t$

मेरा सुझाव है कि आप "वॉन न्यूमैन स्थिरता विश्लेषण" के लिए रैंडी लेवेके की पुस्तक या डेल दुर्रान की पुस्तक देखें। यह आपके विवेकाधीन योजना की स्थिरता का पता लगाने के लिए एक सामान्य दृष्टिकोण है, बशर्ते आपके पास आवधिक सीमा की स्थिति हो। (यहां एक अच्छा विकि लेख भी है ।)

मूल विचार यह है कि आपके असतत अनुमान को विमान तरंगों योग लिखा जा सकता है , जहां तरंग संख्या और आवृत्ति है। आप अपने सन्निकटन में एक विमान की लहर को PDE को रगड़ते हैं और प्रार्थना करते हैं कि यह उड़ा नहीं। हम विमान की लहर को रूप में फिर से लिख सकते हैं और हम यह सुनिश्चित करना चाहते हैं कि |$e^{i(k j\Delta x-\omega n\Delta t)}$$k$$\omega$$\xi^n e^{ikj\Delta x}$$|\xi|\le 1$

चित्रण के माध्यम से, साधारण प्रसार समीकरण पर पूरी तरह से निहित अंतर के साथ विचार करें:

$\frac{u^{n+1}_j-u^n_j}{\Delta t} = D\frac{u^{n+1}_{j-1}-2u^{n+1}_j+u^{n+1}_{j+1}}{\Delta x^2}$

यदि हम एक हवाई जहाज की तरंग में स्थानापन्न करते हैं, तो और विभाजित करते हैं , हम समीकरण हैं$\xi^n$$e^{ikj\Delta x}$

$\frac{\xi-1}{\Delta t} = D\frac{e^{-ik\Delta x}-2+e^{ik\Delta x}}{\Delta x^2}\xi$

अब इसे थोड़ा साफ करें और हम प्राप्त करें:

$\xi = \frac{1}{1+\frac{2D\Delta t}{\Delta x^2}\left(1-\cos k\Delta x\right)}$ ।

यह हमेशा एक से कम है, इसलिए आप स्पष्ट हैं। उत्तोलन समीकरण के लिए स्पष्ट, केंद्रित योजना के लिए इसे लागू करने का प्रयास करें:

$\frac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t} = v\frac{u_{j-1}^n-u_{j+1}^n}{2\Delta x}$

और देखते हैं कि आप मिलता है। (इस बार इसका एक काल्पनिक हिस्सा होगा।) आप पाएंगे कि , जो दुखद समय है। इसलिए मेरी सलाह है कि आप इसका उपयोग न करें। यदि आप ऐसा कर सकते हैं, तो आपको पूर्ण उत्तोलन-प्रसार समीकरण के लिए एक स्थिर योजना खोजने में बहुत परेशानी नहीं होनी चाहिए।$\xi$$|\xi|^2 > 1$

उस ने कहा, मैं प्रसार भाग के लिए पूरी तरह से अंतर्निहित योजना का उपयोग करूंगा। भाग में को यदि और यदि और एक टाइमस्टेप चुनें ताकि । (यह कौरेंट-फ्रेडरिक-लेवी स्थिति है ।) यह केवल पहला-क्रम सटीक है, इसलिए यदि आप चिंता करते हैं तो आप उच्च क्रम के विवेकाधीन योजनाओं को देखना चाहते हैं।$u_j-u_{j-1}$$v > 0$$u_j-u_{j+1}$$v < 0$$V\Delta t/\Delta x \le 1$

Comments

यह वास्तव में विस्तृत उत्तर है, धन्यवाद।

— बॉयफ्रेल

यह उत्तर समय में आगे और पिछड़े यूलर तरीकों के आधार पर केवल विवेक को मानता है। सवाल क्रैंक-निकोलसन के बारे में है।

— डेविड केचेसन