डोमेन अपघटन प्रीकॉन्डिशनर्स पर मल्टीग्रिड का लाभ क्या है, और इसके विपरीत?

Question

यह ज्यादातर उत्तल डोमेन पर अण्डाकार पीडीई के लिए लक्षित है, ताकि मुझे दो विधियों का अच्छा अवलोकन मिल सके।

Answer 1

मल्टीग्रिड और मल्टीलेवल डोमेन अपघटन विधियों में इतना आम है कि प्रत्येक को आमतौर पर दूसरे के विशेष मामले के रूप में लिखा जा सकता है। विश्लेषण फ्रेमवर्क कुछ अलग हैं, प्रत्येक क्षेत्र के विभिन्न दर्शन के परिणामस्वरूप। आम तौर पर बोलना, मल्टीग्रिड तरीके मध्यम मोटे दरों और सरल स्मूचरों का उपयोग करते हैं, जबकि डोमेन अपघटन विधियां बेहद तेजी से मोटे और मजबूत स्मूदी का उपयोग करती हैं ।

मल्टीग्रिड (MG)

मल्टीग्रिड मध्यम मोटे दरों का उपयोग करता है और प्रक्षेप और चिकनी के संशोधन के माध्यम से मजबूती हासिल करता है। अण्डाकार समस्याओं के लिए, प्रक्षेप ऑपरेटरों को "कम ऊर्जा" होना चाहिए, जैसे कि वे ऑपरेटर के निकट-रिक्त स्थान (जैसे कठोर शरीर मोड) को संरक्षित करते हैं। इन कम ऊर्जा interpolants को एक उदाहरण ज्यामितीय दृष्टिकोण है वान, चैन, स्मिथ (2000) , एकत्रीकरण समतल की बीजीय निर्माण की तुलना वनेक, मेंडल, Brezina (1996) (में समानांतर कार्यान्वयन एमएल और PETSc PCGAMG के माध्यम से, के लिए प्रतिस्थापन प्रोमेथियस ) । ट्रॉटेनबर्ग, ओस्टरली और शूलर की पुस्तक मल्टीग्रिड विधियों पर एक अच्छा सामान्य संदर्भ है।

ज्यादातर मल्टीग्रिड स्मूदी में पॉइंटवाइज़ रिलैक्सेशन, या तो एडिटिवली (जैकोबी) या गुणात्मक रूप से (गॉस सेडेल) शामिल होते हैं। ये छोटे (एकल नोड या एकल तत्व) डिरिचलेट समस्याओं के अनुरूप हैं। कुछ स्पेक्ट्रल अनुकूलता, मजबूती और वेक्टरिज़ेबिलिटी को चेबिशेव स्मूचर्स का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है, एडम्स, ब्रेज़िना, हू, टुमाइरो (2003) देखें । गैर-सममित (उदाहरण के लिए परिवहन) समस्याओं के लिए, गॉस-सीडेल जैसी गुणात्मक स्मूदी आम तौर पर आवश्यक होती है, और उल्टे इंटरपोलेंट का उपयोग किया जा सकता है। वैकल्पिक रूप से, काठी बिंदु और कड़ी लहर की समस्याओं के लिए स्मूअर्स का निर्माण शूअर-पूरक-प्रेरित "ब्लॉक प्रीकॉन्डिशनर्स" के माध्यम से या संबंधित "वितरित छूट" के माध्यम से सिस्टम में किया जा सकता है, जिसमें सरल स्मूम्स प्रभावी हैं।

पाठ्यपुस्तक मल्टीग्रिड दक्षता कुछ अवशिष्ट मूल्यांकन की लागत के एक छोटे से कई में विवेक त्रुटि को हल करने को संदर्भित करती है , ठीक ग्रिड पर चार के रूप में कुछ। इसका मतलब यह है कि एक निश्चित बीजीय सहिष्णुता के पुनरावृत्तियों की संख्या में वृद्धि के स्तर के रूप में नीचे जाती है। समानांतर में, समय के अनुमान में मल्टीग्रिड पदानुक्रम द्वारा निहित सिंक्रनाइज़ेशन के कारण उत्पन्न होने वाला एक लघुगणक शब्द शामिल है।

डोमेन अपघटन (DD)

पहले डोमेन अपघटन विधियों में केवल एक स्तर था। कोई मोटे स्तर के साथ, पूर्व-निर्धारित ऑपरेटर की स्थिति संख्या O ( L 2) से कम नहीं हो सकतीजहांLडोमेन का व्यास है औरHनाममात्र उपडोमेन आकार है। व्यवहार में, एक-स्तरीय डीडी के लिए कंडीशन नंबर इस बाउंड औरO(L$\mathcal O\big( \frac{L^2}{H^2}\big)$$L$$H$जहांhतत्व का आकार है। ध्यान दें कि क्रायलोव विधि द्वारा आवश्यक पुनरावृत्तियों की संख्या स्थिति संख्या के वर्गमूल के रूप में होती है। अनुकूलित श्वार्ज तरीकों(गैडर 2006)पर स्थिरांक और निर्भरता में सुधारएच/एचDirichlet और न्यूमन तरीकों के सापेक्ष है, लेकिन आम तौर पर मोटे स्तरों शामिल नहीं हैं और इस तरह कई डोमेन के मामले में नीचा। डोमेन अपघटन विधियों के एक सामान्य संदर्भ के लिएस्मिथ, बोज्रस्टैड और ग्रोप (1996)याटोस्ली और विडालंड (2005)की किताबें देखें।$\mathcal O\big( \frac{L^2}{hH} \big)$$h$$H/h$

इष्टतम या अर्ध-इष्टतम अभिसरण दरों के लिए, कई स्तर आवश्यक हैं। अधिकांश डीडी विधियों को दो-स्तरीय विधियों के रूप में प्रस्तुत किया जाता है और कुछ को अधिक स्तरों तक विस्तारित करना बहुत कठिन होता है। डीडी विधियों को अतिव्यापी या गैर-अतिव्यापी के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है।

ओवरलैपिंग

ये श्वार्ज़ तरीके ओवरलैप का उपयोग करते हैं और आमतौर पर डिरिचलेट समस्याओं को हल करने पर आधारित होते हैं। ओवरलैप को बढ़ाकर तरीकों की ताकत बढ़ाई जा सकती है। विधियों का यह वर्ग आमतौर पर मजबूत होता है, स्थानीय बाधाओं (इंजीनियरिंग ठोस यांत्रिकी में आम) के साथ समस्याओं के लिए स्थानीय रिक्त स्थान की पहचान या तकनीकी संशोधनों की आवश्यकता नहीं होती है, लेकिन ओवरलैप के कारण अतिरिक्त कार्य (विशेष रूप से 3 डी में) शामिल होते हैं। इसके अतिरिक्त, असाध्य जैसी जटिल समस्याओं के लिए, ओवरलैपिंग स्ट्रिप का inf-sup स्थिरांक आमतौर पर प्रकट होता है, जिसके कारण सबप्टिमल अभिसरण दर होती है। BDDC / FETI-DP (नीचे चर्चा की गई) के समान समान रिक्त स्थान का उपयोग करके आधुनिक अतिव्यापी तरीके Dorhmann, Klawonn, और Widlund (2008) और Dohrmann और Widlund (2010) द्वारा विकसित किए गए हैं ।

गैर अतिव्यापी

ये विधियां आमतौर पर कुछ प्रकार की न्यूमैन समस्याओं को हल करती हैं, जिसका अर्थ है कि डिरिचलेट विधियों के विपरीत, वे एक वैश्विक रूप से इकट्ठे मैट्रिक्स के साथ काम नहीं कर सकते हैं, और इसके बजाय असंबद्ध या आंशिक रूप से इकट्ठे मेट्रिक्स की आवश्यकता होती है। सबसे लोकप्रिय न्यूमैन विधियाँ या तो सबडोमेनस के बीच निरंतरता को प्रत्येक पुनरावृत्ति पर संतुलित करके या लैग्रेंज गुणकों द्वारा लागू करती हैं जो केवल एक बार अभिसरण तक पहुंचने पर निरंतरता को लागू करेगी। इस तरह के शुरुआती तरीकों (बैलेंसिंग न्यूमैन-न्यूमैन और एफईटीआई) को प्रत्येक उपडोमेन की अशक्त जगह के सटीक लक्षण वर्णन की आवश्यकता होती है, दोनों मोटे स्तर का निर्माण करने के लिए और उपडोमेन समस्याओं को गैर-विलक्षण बनाने के लिए। बाद के तरीके (BDDC और FETI-DP) सबडोमेन कॉर्नर और / या एज / फेस मोमेंट्स को स्वतंत्रता के मोटे स्तर की डिग्री के रूप में चुनते हैं। क्लॉवन और रीनबाक देखें (2007)3 डी लोच के लिए मोटे अंतरिक्ष चयन की गहन चर्चा के लिए। मंडेल, दोहरमन, और तजौर (2005) ने दिखाया कि BDDC और FETI-DP में संभावित 0 और 1 को छोड़कर सभी एक समान स्वदेशी हैं।

दो स्तरों से अधिक

अधिकांश डीडी पद्धतियों को केवल दो-स्तरीय तरीकों के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, और कुछ चुनिंदा मोटे रिक्त स्थान जो दो से अधिक स्तरों के साथ उपयोग के लिए असुविधाजनक हैं। दुर्भाग्य से, विशेष रूप से 3 डी में, मोटे स्तर की समस्याएं जल्दी से एक अड़चन बन जाती हैं, समस्या के आकार को सीमित कर सकती हैं जिन्हें हल किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, पहले से संचालित ऑपरेटरों की हालत संख्या, विशेष रूप से डूमन समस्याओं के आधार पर डीडी विधियों के लिए, पैमाने पर है

$$\kappa( P_{\text{DD}}^{-1} A ) = C \Big(1 + log \frac H h \Big)^{2(L-1)}$$

$L$$L \le 4$$10^{12}$

Answer 2

यह एक उत्कृष्ट राइटअप है, लेकिन मुझे लगता है कि (मल्टीलेवल) डीडी और एमजी में बहुत कुछ है जो सटीक नहीं है, या कम से कम उपयोगी है। तरीके बहुत अलग हैं और मुझे नहीं लगता कि एक में विशेषज्ञता दूसरे में बहुत उपयोगी है।

सबसे पहले, दो समुदाय जटिलता की विभिन्न परिभाषाओं का उपयोग करते हैं: डीडी पूर्व शर्त प्रणालियों की स्थिति संख्या का अनुकूलन करता है और एमजी काम / मेमोरी जटिलता का अनुकूलन करता है। यह एक बड़ा मौलिक अंतर है - "समानता" का इन दोनों संदर्भों में बिल्कुल अलग अर्थ है। जब आप समानांतर जटिलता में जोड़ते हैं तो चीजें नहीं बदलती हैं (हालांकि आपको एमजी में एक लॉग टर्म मिला है)। दोनों समुदाय लगभग अलग-अलग भाषाएं बोल रहे हैं।

दूसरा, एमजी का इसमें बहुस्तरीय निर्माण किया गया है और बहुस्तरीय डीडी विधियों को सभी दो स्तरीय सिद्धांत और कार्यान्वयन के साथ विकसित किया गया है। यह मोटे ग्रिड रिक्त स्थान की जगह को सीमित करता है जिसे आप एमजी में उपयोग कर सकते हैं - उन्हें पुनरावर्ती होना चाहिए। उदाहरण के लिए, आप एमजीई ढांचे में एफईटीआई को लागू नहीं कर सकते। लोग कुछ बहुस्तरीय डीडी विधियों का उल्लेख करते हैं जैसा कि जेड ने उल्लेख किया है, लेकिन कम से कम कुछ मौजूदा लोकप्रिय डीडी विधियां पुनरावर्ती होने योग्य नहीं लगती हैं।

तीसरा, मैं एल्गोरिदम को स्वयं देखता हूं, जैसा कि बहुत अलग है। गुणात्मक रूप से बोलते हुए मैं कहूंगा कि डीडी तरीके डोमेन सीमाओं पर प्रोजेक्ट करते हैं और इस इंटरफ़ेस समस्या को हल करते हैं। एमजी सीधे देशी समीकरणों के साथ काम करता है। इस प्रक्षेपण को टालने से एमजी को नॉनलाइन और असममित समस्याओं पर आसानी से लागू किया जा सकता है। यद्यपि सिद्धांत सभी लेकिन ग़ैर-भाला और विषम समस्याओं के लिए चला जाता है जो उन्होंने बहुत से लोगों के लिए काम किया है। एमजी भी स्पष्ट रूप से समस्या को दो भागों में विभाजित करता है: स्केलिंग के लिए मोटे ग्रिड स्थान और भौतिकी को हल करने के लिए एक पुनरावृत्त सॉल्वर (चिकना)। यह एमजी के साथ समझने और काम करने में महत्वपूर्ण है और मेरे लिए एक आकर्षक संपत्ति है।

यद्यपि सैद्धांतिक रूप से चिकनी और मोटे ग्रिड रिक्त स्थान को कसकर युग्मित किया जाता है, व्यवहार में आप अक्सर ऑप्टिमाइज़ेशन पैरामीटर के रूप में अलग-अलग चिकनी को स्वैप कर सकते हैं। जैसा कि जेड उल्लेखित बिंदु या वर्टेक्स स्मूम्स लोकप्रिय हैं और आमतौर पर तेज़ हैं, लेकिन चुनौतीपूर्ण समस्याओं के लिए भारी स्मूदी उपयोगी हो सकती हैं। यह कथानक मेरे शोध प्रबंध से है जो जैकोबी, जैकोबी और "एडिटिव श्वार्ज़" (ओवरलैप्ड) को ब्लॉक करने के लिए पॉसों अनुपात के एक समारोह के रूप में हल समय दिखा रहा है। इसे पढ़ने में थोड़ी मुश्किल है लेकिन उच्चतम पोइसन अनुपात (0.499) में, श्वार्ज को ओवरलैप करना (वर्टेक्स) जोकोबी की तुलना में 2x अधिक तेज है जबकि पैदल यात्री पॉइसन अनुपात में यह लगभग 3x धीमा है।

Answer 3

जेड के जवाब के अनुसार, एमजी मध्यम मोटे उपयोग करता है, जबकि डीडी तेजी से मोटे का उपयोग करता है। मुझे लगता है कि जब वे समानांतर होते हैं तो इससे फर्क पड़ता है। MG के कई स्तरों के माध्यम से जाने के लिए MG के लिए संचार और सिंक्रोनाइज़ेशन के गुणक होंगे जो DD के एक एकल मोटे के बराबर हैं। जेड के जवाब से एक और बात यह है कि एमजी सस्ते स्मूथी का उपयोग करता है और डीडी मजबूत स्मूथी का उपयोग करता है। दो बिंदुओं पर विचार करते हुए, यह बताया गया है कि मोटे स्तरों पर एमजी का बुरा संचार / संगणना अनुपात होगा। इसलिए अमदहल के नियम के अनुसार , समानांतर स्पीडअप अच्छा नहीं है। इसका एक उपाय है समानांतर मोटे सुधार जैसे BPX प्रीकॉन्डिशनर। इसके अलावा, एमजी डीडी का उपयोग चिकनी के रूप में कर सकते हैं जैसा कि एडम्स ने बताया है, और एमजी का उपयोग डीडी के उपडोमेन के भीतर भी किया जा सकता है। बार्कर ने कहा कि विचार के आधार पर, मुझे लगता है कि डीडी के भीतर एमजी का उपयोग करना बेहतर है, जो डीडी के समानता और एमजी के इष्टतम जटिलता दोनों का फायदा उठाता है।

Answer 4

मैं जेड के उत्कृष्ट उत्तर के लिए एक छोटा जोड़ बनाना चाहता हूं, अर्थात् दो दृष्टिकोणों के पीछे की प्रेरणाएं (या कम से कम) अलग थीं।

डोमेन अपघटन समानांतर कंप्यूटिंग के लिए एक तकनीक के रूप में प्रेरित है। विशेष रूप से एक-स्तरीय तरीकों के लिए डीडी एक समानांतर मशीन पर लागू करना बहुत स्वाभाविक है - आप डोमेन को टुकड़ों में विभाजित करते हैं और प्रत्येक टुकड़े को एक अलग प्रोसेसर देते हैं। कुछ अर्थों में डीडी के पीछे प्रेरणा प्रोसेसर के बीच अंकगणितीय संचालन को विभाजित करना है।

अच्छा समानांतर मल्टीग्रिड कार्यान्वयन मौजूद हैं, लेकिन अक्सर समानांतर में ऐसा करना कम स्वाभाविक है। इसके बजाय, मल्टीग्रिड के पीछे प्रेरणा पहली जगह में कम अंकगणितीय संचालन करना है।

Comments

यह एक अच्छा बिंदु है, लेकिन मैं यह भी जोड़ूंगा कि डीडी को शुरुआती डीडी वार्ता को देखने के अपने अनुभव से मौजूदा प्रत्यक्ष सॉल्वर (ज्यादातर इंजीनियरिंग मामलों में) का पुन: उपयोग करने की इच्छा से प्रेरित किया गया था। मैंने कभी भी बहुस्तरीय डीडी पद्धति को लागू नहीं किया है लेकिन यह मुझे अधिक "स्वाभाविक" नहीं लगता है। मैट्रिक्स-वेक्टर उत्पाद को समानांतर करना - साधारण वेक्टर ऑपरेशन के अलावा एकमात्र ऐसी चीज जिसे आपको मल्टीग्रिड के लिए लागू करने की आवश्यकता है - यदि प्राकृतिक रूप से बहुत अच्छी तरह से समझा नहीं गया है।

— एडम्स

Answer 5

@ जेड ब्राउन एक-स्तरीय डीडी की स्थिति संख्या के बारे में, मुझे लगता है कि उपडोमेन का आकार$H$ जाल आकार के साथ गुणा करने के लिए हर में होना चाहिए $h$। यह एक-स्तरीय पद्धति के लिए सामान्य है कि अधिक उप-डोमेन का उपयोग करने के लिए अधिक पुनरावृत्तियों की आवश्यकता होती है। एक भी Toselli और विडालंड की पुस्तक को संदर्भित कर सकता है । उदाहरण के लिए, शूर पूरक की स्थिति संख्या है$\mathcal{O}(\frac{1}{Hh})$ पुस्तक के पृष्ठ 98 से।

एक अन्य बिंदु अनुकूलित श्वार्ज़ विधियों की स्थिति संख्या के बारे में है। दरअसल, यह के घातांक में सुधार करता है$h$एक-स्तरीय पद्धति ( गैर-अतिव्यापी और अतिव्यापी ) और इसके अतिरिक्त के घटक के लिए$H$के लिए दो स्तर विधि ।

Comments

FYI करें, यह शायद एक अलग जवाब के बजाय जेड के जवाब पर टिप्पणी होनी चाहिए।

— जैक पॉल्सन

हां, मैंने कोशिश की लेकिन जेड के जवाब के नीचे टिप्पणी जोड़ने का कोई तरीका नहीं खोज सकता।

— हुई जांग

सुधार के लिए धन्यवाद, मुझे पता नहीं है कि जब मैं मूल टाइप कर रहा था तो मैं क्या सोच रहा था। मैंने अपने उत्तर में कथन तय कर लिया है। दो-स्तरीय OSM के रूप में, प्रीप्रिंट को जोड़ने के लिए धन्यवाद, लेकिन मैं छोटे घातांक पर विचार नहीं करता हूं$h$ तथा $H$कागज में सीमा से आधुनिक डिरिक्लेट और न्यूमैन विधियों (BDDC / FETI-DP और हाइब्रिड श्वार्ज़ के साथ समान मोटे रिक्त स्थान) द्वारा प्राप्त लॉगरिदमिक सीमा पर सुधार किया जा रहा है, विशेष रूप से यह देखते हुए कि उत्तरार्द्ध भी लोच जैसी वेक्टर समस्याओं के लिए पकड़ रहे हैं और हैं गुणांकों में विसंगतियों से स्वतंत्र (पॉसों अनुपात सहित)।

— जेड ब्राउन

@JedBrown बिना पूर्वनिर्देशक के यह सच है कि OSM पूर्व शर्त के साथ BDDC / FETI-DP के रूप में लघुगणक प्राप्त नहीं कर सकता है। लेकिन ध्यान दें कि Dirichlet / Neumann प्रीकॉन्डिशनर महंगा हो सकता है और एक अतिरिक्त कारक होगा lumped प्रीकॉन्डिशनर के साथ$\frac{H}{h}$BDDC / FETI-DP में। OSM के लिए त्वरण तंत्र का प्रतिरूप ओवरलैप या पाडे हो सकता है । ओएसएम की कठिनाई यह है कि किसी को आपके द्वारा बताए गए विभिन्न पीडीई के लिए अनुकूलित मापदंडों का पता लगाने की आवश्यकता है।

— हुई झांग