वर्दी बनाम गैर-वर्दी ग्रिड

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यह शायद एक छात्र स्तर का प्रश्न है, लेकिन मैं इसे अपने आप से ठीक नहीं कर सकता। संख्यात्मक तरीकों में गैर-समान ग्रिड का उपयोग करना अधिक सटीक क्यों है? मैं फॉर्म के PDE के लिए कुछ परिमित-भिन्न विधि के संदर्भ में सोच रहा हूं । और मान लीजिए कि मैं बिंदु पर एक समाधान में दिलचस्पी रखता हूं । इसलिए, मैं देख सकता हूं कि यदि मैं तीन बिंदु सन्निकटन का उपयोग करके एक समान ग्रिड पर उदाहरण के लिए दूसरे व्युत्पन्न का अनुमान लगाता हूं, तो त्रुटि दूसरी क्रम । फिर मैं एक मैपिंग के माध्यम से गैर-समान ग्रिड का निर्माण कर सकता हूं और तीन बिंदुओं के लिए गुणांक प्राप्त कर सकता हूं जो व्युत्पन्न अनुमानित हैं। मैं टेलर विस्तार कर सकता हूं और फिर से व्युत्पन्न के लिए एक दूसरा आदेश , जहां $u_t(x,t)=u_{xx}(x,t)$ $x^{\ast}$ $O(h^2)$ $O(h^2)$ $h$ एक समान ग्रिड पर दूरी है जहां से मैंने गैर-वर्दी ग्रिड के लिए मैपिंग प्राप्त की है। दोनों अनुमानों में डेरिवेटिव हैं और यह मेरे लिए स्पष्ट नहीं है कि गैर-समान ग्रिड पर समाधान अधिक सटीक क्यों होगा क्योंकि यह त्रुटि अनुमानों में संबंधित डेरिवेटिव की भयावहता पर निर्भर करता है?

pde finite-difference

— कामिल
स्रोत

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गैर-समान मेषों के लिए तर्क इस तरह से होता है (सभी समीकरणों को गुणात्मक समझा जाता है, अर्थात, सामान्य रूप से, लेकिन सभी परिस्थितियों में और सभी समीकरणों या सभी संभावित विवेकाधीन होने के लिए बिना किसी दिखावा के)

‖ यू - {यू}_{ज} ‖_{{एल}^{2} (Ω)} \leq सी ज_{अधिकतम}^{2} ‖ \nabla^{2} यू ‖_{{एल}^{2} (Ω)},

$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)} \le C h_{\text{max}}^2 \|\nabla^2 u\|_{L^2(\Omega)},$

‖ u - u_{h} ‖_{L^{2} (Ω)}^{2} \leq C h_{max}^{4} ‖ \nabla^{2} u ‖_{L^{2} (Ω)}^{2} .

$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)}^2 \le C h_{\text{max}}^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(\Omega)}^2.$

‖ u - u_{h} ‖_{L^{2} (Ω)}^{2} \leq C \sum_{K \in T} h_{K}^{4} ‖ \nabla^{2} u ‖_{L^{2} (K)}^{2} .

$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)}^2 \le C \sum_{K \in {\mathbb T}} h_K^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^2.$

K

$K$

T

$\mathbb T$

h_{max}

$h_\text{max}$ । बल्कि, सबसे कुशल रणनीति सेलवाइज एरर कंट्रीब्यूशन - को दूसरे शब्दों में लिए , दूसरे शब्दों में, आपको चुनना चाहिए दूसरे शब्दों में, स्थानीय जाल का आकार छोटा होना चाहिए जहां समाधान खुरदरा है (बड़े डेरिवेटिव हैं) और बड़े जहां समाधान सुचारू है, और ऊपर सूत्र इस संबंध के लिए एक मात्रात्मक उपाय प्रदान करता है।

h_{K}^{4} ‖ \nabla^{2} u ‖_{L^{2} (K)}^{2}

$h_K^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^2$

h_{K} \propto ‖ \nabla^{2} u ‖_{L^{2} (K)}^{- 1 / 2} .

$h_K \propto \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^{-1/2}.$

h_{K}

$h_K$

— वोल्फगैंग बंगर्थ
स्रोत

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मुझे लगता है कि anisotropy सबसे कुशलता से anisotropic ansatz अंतरिक्ष (यानी, anisotropic जाल) के साथ प्रतिनिधित्व किया है जोड़ देगा। चूंकि अनिसोट्रॉपी को कुछ प्रारंभिक मोटे जाल के साथ संरेखित नहीं किया जा सकता है, एक आइसोट्रोपिक एएमआर एल्गोरिथ्म बहुत अक्षम हो सकता है। अनिसोट्रॉपी कुछ अतिरिक्त समस्याओं का कारण बनता है क्योंकि पहलू अनुपात के संबंध में कई विधियां समान रूप से स्थिर नहीं हैं।

— जेड ब्राउन

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इस उदाहरण के साथ खुद को साबित करें। एक समान जाल पर टुकड़े के रैखिक रैखिक प्रक्षेप के साथ अंतराल (0,1) पर स्क्वायरर्ट (x) को प्रक्षेपित करते समय अधिकतम त्रुटि क्या है?

एक जाली पर प्रक्षेपित करते समय अधिकतम त्रुटि क्या होती है जिसमें n अंक का ith (i / n) ^ s द्वारा दिया जाता है, और s एक सावधानी से चुना गया जाल ग्रेडिंग पैरामीटर है?

— रोब श्रेइबर
स्रोत

यह वास्तव में सरल और सहज है। वास्तव में, अगर मैं त्रुटि लिखता हूं तो यह कुछ व्युत्पन्न *

पर निर्भर करता है , इसलिए जब व्युत्पन्न बड़ा होता है तो मैं इसे छोटे

मारता

। और इस प्रकार, मैं गैर एकरूपता का उपयोग करता हूं जहां फ़ंक्शन में उच्च ग्रेडिएंट हैं, या जहां कुछ विगल्स हैं। क्या मैं सही हूं, कि मुझे उस क्षेत्र में अधिक अंक डालने चाहिए, भले ही वह क्षेत्र न हो जहां मैं समाधान का अनुमान लगाता हूं? क्योंकि पहले तो मैंने जवाब के हित के क्षेत्र में और अधिक अंक डालने के बारे में सोचा, लेकिन इस चर्चा से, यह वहाँ नहीं था।

h_{i}

$h_i$

h_{i}

$h_i$

— कामिल

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$u_t(x,t)=u_{xx}(x,t)$ $u_t(x,t)=(D(x)u_x(x,t))_x$ $D(x)$ $D(x)$

$u(x,0)$

— थॉमस क्लिम्पेल
स्रोत

क्या आप निर्दिष्ट कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, प्रारंभिक डेटा पर क्षेत्रों के करीब "लुक" के लिए आप अन्य तकनीकों का क्या उपयोग करेंगे?

— कामिल

@ कामिल मेरे यहाँ दो बातें ध्यान में हैं। पहली बात यह है कि प्रारंभिक डेटा के प्रक्षेपण को "सटीकता पर ग्रिड में प्रयुक्त प्रतिनिधित्व" में पर्याप्त सटीकता के साथ गणना करना है। (इसमें आमतौर पर जंप डिसकंटिनिटी में ओवरसम्पलिंग या सरल विश्लेषणात्मक संगणना जैसी चीजें शामिल हैं।) मुझे पता है कि यह सिर्फ अच्छी शैली है और यहां तक कि इसका उल्लेख करने के लिए बहुत सरल है, लेकिन मेरे अनुभव में यह अक्सर ऐसा होता है, जिसमें विलक्षणताओं के कारण होने वाली समस्याओं को ठीक करने की आवश्यकता होती है। इनपुट डेटा।

— थॉमस क्लिंपेल

दूसरी चीज जो मैं सोच रहा हूं, वह इनपुट डेटा का एक हिस्सा है जो सीमा की स्थिति के रूप में है। हालांकि, इससे होने वाली बचत अक्सर एक कारक दो से कम होती है, और सीमा की स्थिति को मेरे अनुभव में, कम से कम सही रूप से प्राप्त करना मुश्किल है। तो मैं कहूंगा कि यह अक्सर इसे पूरी तरह से करने के प्रयास के लायक नहीं है (या केवल प्रयास के लायक है यदि उस दिशा में समस्या का संगत विस्तार वास्तव में छोटा है, या यदि आप वास्तव में उच्च सटीकता चाहते हैं), और बस मोटे तौर पर सही का चयन करना सीमा की स्थिति और सीमा को पर्याप्त रूप से दूर रखना अक्सर काफी अच्छा काम करता है।

— थॉमस क्लिंपेल

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कामिल, अंतर समीकरण हल वैश्विक है, प्रक्षेप स्थानीय है। टुकड़े-टुकड़े बहुपद प्रक्षेप में, एकवचन से दूर सटीकता विलक्षणता से परेशान नहीं होगी। दुर्भाग्य से, यह एक अण्डाकार समीकरण को हल करने के लिए बिल्कुल सही नहीं है, जैसे कि दो-बिंदु सीमा मूल्य समस्या। विलक्षणता विश्व स्तर पर सन्निकटन को प्रदूषित करेगी।

यहाँ कुछ करने की कोशिश है। डी (sqrt (x) Du) को [0,1] पर सजातीय डिरिचलेट bcs D के साथ विभेदन परिचालक है। एन-पॉइंट यूनिफॉर्म जाली पर परिमित तत्व या परिमित अंतर का उपयोग करें। एक मेष की तुलना करें जिसमें ith बिंदु (1 / n) ^ 1.5 है। ध्यान दें कि एकसमान जाल के लिए सबसे खराब त्रुटि विलक्षणता से दूर है, और ग्रेडेड मेष के मुकाबले बहुत बड़ी है।

— रोब श्रेइबर
स्रोत