मैं संख्यात्मक रूप से असमान रूप से नमूने वाले फ़ंक्शन को कैसे अलग कर सकता हूं?

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स्टैंडर्ड परिमित अंतर सूत्रों संख्यानुसार उम्मीद आप समारोह मूल्यों है के तहत एक व्युत्पन्न गणना करने के लिए प्रयोग करने योग्य हैं समान रूप से बिंदुओं पर, ताकि एक निरंतर है। क्या होगा अगर मेरे पास असमान रूप से अंक हैं, तो वह अब बगल के एक जोड़े से अगले तक भिन्न होता है? जाहिर है मैं अभी भी रूप में पहली बार एक व्युत्पन्न गणना कर सकता है $f(x_k)$ $h \equiv x_{k+1} - x_k$ $h$ , लेकिन क्या उच्चतर क्रम और सटीकता पर संख्यात्मक विभेदन सूत्र हैं जो ग्रिड आकार में भिन्नता के अनुकूल हो सकते हैं? $f'(x) \approx \frac{1}{h_k}[f(x_{k+1}) - f(x_k)]$

finite-difference discretization

— डेविड जेड
स्रोत

7

आप हमेशा (पॉइंटवाइज़) बहुपद इंटरपोलेंट का निर्माण अपने बिंदुओं से कर सकते हैं, और फिर उसे अलग कर सकते हैं।

— JM

या, आप सरलीकरण

बिना परिमित अंतर फ़ार्मुलों को फिर से बना सकते हैं । अक्सर यह एकीकरण के लिए किया जाना चाहिए, लेकिन संभावना है कि जेएम का सुझाव अधिक स्थिर है।

h = x_{k + 1} - x_{k}

$h = x_{k+1} - x_k$

— रंगरोल

वह किस प्रकार का कार्य है?

— mbq

उदाहरण है कि इस सवाल का संकेत एक कार्य है जिसे लघुगणक रूप से अंतर मान

पर जांचा जाता है , लेकिन लॉग-रूपांतरित डेटा के दूसरे व्युत्पन्न की गणना मज़ेदार परिणाम देती है और मैं इस पर एक जांच चाहता था। इसके अलावा मुझे लगा कि मैं यथासंभव सामान्य सवाल पूछूंगा।

x_{k} = x_{0} δ^{k}

$x_k = x_0 \delta^k$

— डेविड जेड

1

जहां तक मेरा सवाल है, केवल पहली और दूसरी डेरिवेटिव के लिए काम करने वाली चीज सवाल का पूरी तरह से ठीक जवाब होगी। मैंने प्रश्न लिखा था जैसा कि मैंने एक सामान्य उत्तर की अनुमति देने के लिए किया था अगर किसी के पास एक था, लेकिन निश्चित रूप से व्यवहार में यह पहला और दूसरा व्युत्पन्न है जो सबसे उपयोगी हैं।

— डेविड जेड

21

जेएम की टिप्पणी सही है: आप एक प्रक्षेप बहुपद पा सकते हैं और इसे अलग कर सकते हैं। ऐसे सूत्र प्राप्त करने के अन्य तरीके हैं; आमतौर पर, वे सभी गुणांक के लिए एक वैन डेर मोंडे प्रणाली को हल करने के लिए नेतृत्व करते हैं । यह दृष्टिकोण समस्याग्रस्त है जब परिमित अंतर स्टैंसिल में बड़ी संख्या में अंक शामिल होते हैं, क्योंकि वैंडर्मांडो मैट्रिस बीमार हो जाते हैं। एक अधिक संख्यात्मक रूप से स्थिर दृष्टिकोण फोर्बर्ग द्वारा तैयार किया गया था , और अधिक स्पष्ट रूप से और आमतौर पर उनके दूसरे पेपर में समझाया गया है ।

यहाँ एक सरल MATLAB स्क्रिप्ट है जो किसी भी क्रम के अंकों के किसी भी क्रम के साथ परिमित अंतर सन्निकटन के गुणांक की गणना करने के लिए Fornberg की विधि को लागू करता है। एक अच्छी व्याख्या के लिए, परिमित अंतर विधियों पर लेवेके के पाठ का अध्याय 1 देखें।

एफडी फॉर्मूले पर थोड़ा और: मान लीजिए कि आपके पास 1 डी ग्रिड है। यदि आप FD सूत्र का एक सेट निर्धारित करने के लिए ग्रिड बिंदुओं के पूरे सेट का उपयोग करते हैं, तो परिणामस्वरूप विधि पूरे ग्रिड के माध्यम से एक प्रक्षेप बहुपद खोजने और उसे अलग करने के बराबर है। इस दृष्टिकोण को वर्णक्रमीय संघटन के रूप में जाना जाता है। वैकल्पिक रूप से, प्रत्येक ग्रिड बिंदु के लिए आप केवल कुछ पड़ोसी बिंदुओं का उपयोग करके FD सूत्र निर्धारित कर सकते हैं। यह वही है जो पारंपरिक परिमित अंतर विधियों में किया जाता है।

जैसा कि नीचे दिए गए टिप्पणियों में उल्लेख किया गया है, बहुत उच्च क्रम के परिमित अंतरों का उपयोग करके बिंदुओं को ध्यान से नहीं चुने जाने पर दोलनों (रनव घटना) हो सकती है।

— डेविड केचेसन
स्रोत

3

दूसरी ओर, जब आप बहुपद का उपयोग करते हैं, तो किसी को हमेशा रनवे की घटना जैसी चीजों को याद रखना चाहिए, यदि आपके डेटा के साथ हो रहा है, तो आपका डेटा पूरी तरह से कॉन्फ़िगर किया गया है। मैं कहता हूँ कि टुकड़े-टुकड़े बहुपद इस के लिए कम अतिसंवेदनशील हो सकते हैं ...

— JM

1

मुझे आश्चर्य है कि क्या कोएव के काम और फोरनबर्ग की तकनीक संबंधित हो सकती है?

— डेविड केचेसन

1

दिलचस्प रूप से पर्याप्त है, फोर्बर्ग के सूत्रों के बीच समानता दिखती है, और इससे पहले के लॉयनेस और मोलर द्वारा विकसित किए गए सूत्र , शास्त्रीय नेविल पद्धति पर आधारित प्रक्षेपिक बहुपद उत्पन्न करने के लिए आधारित हैं। वे वास्तव में अलग-अलग संकेतन में एक ही सूत्र हो सकते हैं, लेकिन मैंने पूरी तरह से जांच नहीं की है।

— JM

2

कई बिंदुओं के साथ बहुपद प्रक्षेप को विशेष रूप से वातानुकूलित करने के लिए विशेष बिंदु वितरण की आवश्यकता होती है। सामान्य तौर पर, गैर वर्दी बिंदु वितरण के लिए यह प्रक्षेप करने के लिए अनुशंसित नहीं है और फिर प्रक्षेप बहुपद का भेदभाव करता है क्योंकि यह अत्यधिक दोलन हो सकता है (जेएम द्वारा उल्लिखित "रन घटना" के रूप में सोचें)। अपनी आवश्यकताओं के आधार पर, यह एक बेहतर विचार हो सकता है कि सिर्फ क्यूबिक स्प्लिन का उपयोग करें जो कि कई व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए सन्निकटन व्युत्पन्न की सन्निकटन समस्या के अच्छे उत्तर प्रदान कर सकता है।

— एलन पी। इंग्सिग-करुप

1

अच्छा जवाब। बस जानकारी के लिए, यह पत्र फोर्बर्ग के लिए एक वैकल्पिक दृष्टिकोण देता है। यह एक ही सिद्धांत का पालन करता है, लेकिन एक अलग एल्गोरिथ्म देता है।

— davidhigh

3

http://mathformeremortals.wordpress.com/2013/01/12/a-numerical-second-derivative-from-three-points/

यह आपके प्रश्न को संबोधित करता है और दूसरे व्युत्पन्न के लिए आपके द्वारा खोजे जाने वाले सूत्र को दिखाता है। उच्च-क्रम डेरिवेटिव उसी पैटर्न का पालन करते हैं।

— user3554
स्रोत

2

उपरोक्त उत्तर आपको उपयोग करने के लिए एक कोड देने के मामले में महान हैं, लेकिन सिद्धांत के मामले में उतने अच्छे नहीं हैं। यदि आप बहुपदों को प्रक्षेपित करने में गहराई तक उतरना चाहते हैं, तो कुछ ठोस उदाहरणों के साथ इस सैद्धांतिक उपचार पर एक नज़र डालें:

सिंह, अशोक के।, और बीएस भदौरिया। "लैग्रेग के प्रक्षेप सूत्र का उपयोग करते हुए असमान उप-अंतराल के लिए अंतर अंतर सूत्र।" गणित और विश्लेषण के अंतर्राष्ट्रीय जर्नल 3.17 (2009): 815-827। ( पीडीएफ से लिंक करें )

लेखक 3-पॉइंट, 4-पॉइंट और 5-पॉइंट इंटरपोलिंग पॉलीओनियम्स, साथ ही साथ उनके पहले, दूसरे और तीसरे डेरिवेटिव की गणना करने के लिए लैग्रैन्जियन इंटरपोलेशन ( विकिपीडिया लेख देखें) का उपयोग करते हैं। उनके पास ट्रंकेशन त्रुटि के लिए भी अभिव्यक्ति है, जो कि किसी भी परिमित अंतर योजना का उपयोग करते समय विचार करना महत्वपूर्ण है। उनके पास एन बिंदुओं का उपयोग करके बहुपद प्रक्षेप की गणना करने का सामान्य सूत्र भी है ।

बहुपद इंटरपोलिंग पॉलीओनियम्स उपयोगी होते हैं क्योंकि वे और उनका डेरिवेटिव आपके द्वारा इंटरपोल किए जा रहे डोमेन में बहुत सटीक हो सकते हैं, और वे एक ग्रिड स्पेस भी नहीं मानते हैं। लैरेंजियन की प्रकृति के कारण बहुपत्नी के प्रक्षेपवक्र के कारण, आपके पास ग्रिड बिंदुओं की तुलना में डेरिवेटिव के अधिक आदेश कभी नहीं हो सकते हैं।

मुझे लगता है कि यह आपके प्रश्न का अच्छी तरह से उत्तर देता है क्योंकि मैंने जिस पेपर का हवाला दिया था, उसमें मनमाने ढंग से उच्च-क्रम परिमित अंतर योजनाओं के लिए सूत्र हैं, जो स्वभाव से असमान ग्रिड के लिए हैं और केवल आपके स्टैंसिल में शामिल ग्रिड बिंदुओं की संख्या तक सीमित हैं। पेपर में ट्रंकेशन त्रुटि के लिए एक सामान्य सूत्र भी है, जो आपको उन अन्य योजनाओं के खिलाफ लैरेंग्नेशन इंटरपोलिंग पॉलीओनोमियल योजना का मूल्यांकन करने में मदद करेगा जो आप विचार कर रहे हैं। लेखक के पेपर को फोरनबर्ग की विधि के समान परिणाम देना चाहिए। उनका योगदान वास्तव में केवल कुछ उदाहरणों का मिलान करना और त्रुटि का अनुमान देना है, जो आपको उपयोगी लग सकता है।

मैंने पाया कि मैंने जिस पेपर का हवाला दिया और फोर्बर्ग के काम दोनों मेरे अपने शोध के लिए उपयोगी थे।

— jvriesem
स्रोत

1

खेद है कि मुझे यह बताना है, लेकिन आपके उद्धृत संदर्भ अजीब लगते हैं - वे भयानक सूत्रों का उपयोग करते हैं और केवल कुछ विशेष मामलों को हल करते हैं। इसके विपरीत, Fornberg ने एक साधारण एल्गोरिथ्म देकर सामान्य समस्या को हल किया है, और यह पहले से ही 80 के दशक में है। यहाँ

— davidhigh

सामान्य समस्या को हल करने वाला एक अन्य पेपर यहाँ है

— davidhigh

2

और इस पत्र का अनादर करने के लिए एक अंतिम टिप्पणी। "एक उत्कृष्ट सैद्धांतिक उपचार" में, आपके पास 9 संदर्भ नहीं हो सकते हैं, जहां 7 आपको स्वयं के काम और एक सामान्य संख्यात्मक विश्लेषण पुस्तक के लिए संदर्भित करते हैं। कम से कम यदि आप विषय का आविष्कार स्वयं नहीं करते हैं, जो उन लेखकों ने नहीं किया है।

— दाविदघ

आप बिल्कुल सही कह रहे है। मैं यह नहीं कहूंगा कि सूत्र भयानक हैं, हालांकि उनमें सुधार किया जा सकता है। विशेष मामलों को वास्तव में परीक्षण / तुलना के रूप में अच्छा है, और वे एक सामान्य सूत्र देते हैं, जो कि फोरनबर्ग के समान होना चाहिए।

— jvriesem

1

@jvriesem कृपया ध्यान दें कि उद्धृत पेपर में Eqn में तीसरे पद का गलत संकेत है। (15 बी)

— तारेक

0

मुझे यह पेपर असमान उप-अंतराल के साथ परिमित अंतर के फार्मूले पर मिला । मैं प्रक्षेप के बजाय इसका उपयोग करने जा रहा हूं। एक बार जब मैं सभी फॉर्मूले टाइप कर लेता हूं, तो उन्हें यहां पोस्ट कर दूंगा।

— उमर
स्रोत

-4

सबसे सरल विधि परिमित अंतर सन्निकटन का उपयोग करना है।

एक साधारण दो-बिंदु का अनुमान अंकों (x, f (x)) और (x + h, f (x + h)) के माध्यम से पास की एक सुरक्षित रेखा की ढलान की गणना करना है। [१] एक छोटी संख्या एच को चुनना, एच एक्स में एक छोटे से बदलाव का प्रतिनिधित्व करता है, और यह सकारात्मक या नकारात्मक हो सकता है। इस रेखा का ढलान है

\frac{f (x + h) - f (x)}{h}

$f(x+h)-f(x)\over h$

यह अभिव्यक्ति न्यूटन की भिन्नता है।

इस सेकेंड लाइन की ढलान स्पर्शरेखा रेखा की ढलान से भिन्न होती है जो लगभग h के समानुपाती होती है। जैसे-जैसे एच शून्य के करीब आता है, सेकेंड लाइन का ढलान स्पर्श रेखा के ढलान के करीब पहुंचता है। इसलिए, x पर f का वास्तविक व्युत्पन्न अंतर अंतर के मान की सीमा है क्योंकि सेक्युलर रेखाएं स्पर्शरेखा के करीब और पास होती हैं।

— evion2011
स्रोत

1

मुझे लगता है कि आप निराश हो रहे हैं क्योंकि डेविड ज़स्लावस्की ने विशेष रूप से अंतर भागफल सूत्र का उल्लेख किया है, और सवाल पूछ रहा है कि क्या कोई विशेष अनुमान हैं।

— दान

7

इसके अलावा, यह विकिपीडिया से प्रत्यक्ष कॉपी-और-पेस्ट है , केवल स्पैम लिंक को छोड़कर जो मूल रूप से उत्तर का हिस्सा था।

— डेविड जेड