न्यूटन के तरीके के लिए रणनीतियाँ जब समाधान में जैकबियन विलक्षण हैं

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मैं चर और लिए समीकरणों की निम्न प्रणाली को हल करने की कोशिश कर रहा हूं (बाकी सभी स्थिरांक हैं): $P,x_1$ $x_2$

\frac{A (1 - P)}{2} - k_{1} x_{1} = 0 \frac{A P}{2} - k_{2} x_{2} = 0 \frac{(1 - P) (r_{1} + x_{1})^{4}}{L_{1}} - \frac{P (r_{1} + x_{2})^{4}}{L_{2}} = 0

$\frac{A(1-P)}{2}-k_1x_1=0 \\ \frac{AP}{2}-k_2x_2=0 \\ \frac{(1-P)(r_1+x_1)^4}{L_1}-\frac{P(r_1+x_2)^4}{L_2}=0$

मैं देख सकता हूं कि मैं समीकरणों की इस प्रणाली को एकल चर समीकरण 1 और क्रमशः और लिए हल करके उन्हें समीकरण 3 में बदल सकता हूं। ऐसा करने में, मैं सक्षम हूं। समाधान खोजने के लिए matlab के कमांड का उपयोग करें । पैरामीटर्स , और , मुझे होने का सही समाधान मिला $(P)$ $x_1$ $x_2$ fzero $k_1=k_2=1$ $r_1=r_2=0.2$ $A=2$ । $P=x_1=x_2=0.5$

हालांकि, न्यूटन की विधि जब मैं का उपयोग मूल 3 variate के लिए आवेदन किया - 3 समीकरण प्रणाली, पुनरावृत्तियों समाधान के लिए कभी नहीं अभिसरण, चाहे कितना करीब मैं सच्चे समाधान करने के लिए शुरू । $x^*=(P^*,x_1^*,x_2^*)=(0.5,0.5,0.5)$

सबसे पहले, मुझे अपने न्यूटन के तरीके के कार्यान्वयन में अपनी बग पर संदेह था। कई बार जाँच करने के बाद, मुझे कोई बग नहीं मिला। तब मैं एक प्रारंभिक अनुमान उपयोग करने की कोशिश , और लो और निहारना: Jacobian विलक्षण है। मुझे पता है कि एक विलक्षण जाकोबियन अभिसरण के क्रम को कम कर सकता है, लेकिन मुझे नहीं लगता कि यह जरूरी है कि सही समाधान के लिए अभिसरण को रोकता है। $x_0=x^*$

तो, मेरा सवाल है, यह देखते हुए कि सही समाधान पर सिस्टम के जकोबियन विलक्षण हैं:

यह साबित करने के लिए कि न्यूटन की विधि जड़ में नहीं जाएगी, यह साबित करने के लिए अन्य क्या शर्तें आवश्यक हैं?
वैश्वीकरण की रणनीति (जैसे लाइन-खोज) विलक्षण जकोबियन के बावजूद अभिसरण की गारंटी देगी?

optimization convergence newton-method

— पॉल
स्रोत

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(1): यह समाधान पर जेकबियन के अशक्त स्थान में जैकबियन (सिक!) के डेरिवेटिव के व्यवहार पर निर्भर करता है। व्यवहार में, कोई भी इन व्युत्पत्तियों की गणना नहीं करता है, और मैं सटीक परिस्थितियों को याद करने के लिए भी परेशान नहीं हुआ।

(2) काम करता है, हालांकि अभिसरण केवल रैखिक है।

सुपरलाइनियर अभिसरण (कम से कम मामलों में बहुमत) प्राप्त करने के लिए, व्यक्ति टेनसर विधियों का उपयोग कर सकता है। देखें, उदाहरण के लिए,
https://cfwebprod.sandia.gov/cfdocs/CCIM/docs/SAND2004-1944.pdf
http://www.jstor.org/stable/10.2307/2156931
http://www.prpringerlink.com/ सूचकांक / X5G827367G548327.pdf

— अर्नोल्ड न्यूमैयर
स्रोत

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लाइन-सर्च के बजाय आप अपने न्यूटन के तरीके को लेवेनबर्ग-मार्क्वर्ट एल्गोरिथ्म में संशोधित करने का प्रयास कर सकते हैं । यदि आप Matlab का उपयोग कर रहे हैं तो कार्यान्वयन काफी सरल है।

— लियो उइदा
स्रोत