कई आयामों में पी.डी.ई.

Question

मुझे पता है कि PDEs के अनुमानित समाधान खोजने के अधिकांश तरीके खराब आयामों की संख्या के साथ हैं, और मोंटे कार्लो उन स्थितियों के लिए उपयोग किया जाता है जो ~ 100 आयामों के लिए कहते हैं।

~ 4-10 आयामों में कुशलतापूर्वक पीडीई को हल करने के लिए अच्छे तरीके क्या हैं? 10-100?

क्या मोंटे कार्लो के अलावा कोई भी तरीका है जो आयामों की संख्या के साथ अच्छा हो?

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यह आपके द्वारा हल की जा रही समस्या के बारे में थोड़ी और जानकारी प्रदान करने में मदद कर सकता है। कम्प्यूटेशनल विज्ञान में अधिकांश पीडीई का प्रबंधन अधिकांश चार-आयामी (समय के साथ-साथ तीन स्थानिक आयाम) पर होता है। क्या चर स्थानिक या समय चर हैं, या क्या आप सहित अन्य निर्भरताएं हैं?

— आइज़्मेल

स्थानिक चर। क्वांटम यांत्रिकी में आपको लगता है कि आप घनत्व कार्यात्मक सिद्धांत या Hartree-Fock में उपयोग अनुमानों बनाने के लिए नहीं करना चाहते हैं, wavefunction है आयामी, जहां n इलेक्ट्रॉनों की संख्या है। तो छोटे परमाणुओं और अणुओं को सही ढंग से संभालने के लिए बड़ी संख्या में आयामों की आवश्यकता होती है। $3n$$n$

— दान

यह इस बात पर बहुत कुछ निर्भर करता है कि आप किस जानकारी को समाधान के बारे में जानना चाहते हैं। एक शायद ही एक के बारे में हर विस्तार में जानना चाहता है लहर समारोह -electron। इसलिए किसी को कम्प्यूटेशनल तकनीक को वास्तव में वांछित करने के लिए कम्प्यूटरीकृत करना होगा। $n$

— अर्नोल्ड न्यूमैयर

कृपया 100 आयामों में एक इलेक्ट्रॉनिक श्रोडिंगर समीकरण के मोंटे कार्लो समाधान का संदर्भ लें।

— अर्नोल्ड न्यूमैयर

मेरे पास कोई संदर्भ नहीं है। मैंने केवल सिमुलेशन के बारे में सुना है कि क्यूसीडी के लिए कई आयामों का उपयोग किया जा रहा है। मैं केवल 4-5 आयामों में श्रोएडिंगर सिमुलेशन करने के लिए देख रहा हूं, लेकिन मैं सोच रहा था कि क्या मोंटे कार्लो के अलावा कुछ भी आयामों की संख्या के साथ अच्छी तरह से स्केल किया गया था, और 100 को एसिम्प्टोटिक स्केलिंग प्राप्त करने के लिए एक अच्छा, बड़े गोल नंबर की तरह लग रहा था।

— डैन

Answer 1

$2^d$$N^d$

$Q^1_l$

$Q^d_n = \displaystyle\sum^{n}_{l}(Q^{1}_i - Q^{1}_{i-1})\otimes Q^{d-1}_{m-i+1}$

यह अंतरिक्ष से हटाए गए उच्च मिश्रित आदेशों के साथ दसियों उत्पाद चतुष्कोणीय स्थान के बराबर है। यदि यह गंभीर रूप से किया जाता है, तो जटिलता में बहुत सुधार हो सकता है। हालाँकि, ऐसा करने में सक्षम होने के लिए और अच्छे सन्निकटन को बनाए रखने के लिए, घोल की नियमितता के लिए पर्याप्त रूप से मिश्रित डेरिवेटिव गायब होने चाहिए।

बहुत अच्छे परिणामों के साथ विन्यास स्थान और अन्य उच्च आयामी चीजों में श्रोडिंगर समीकरण जैसी चीजों के लिए ग्रिबेल समूह द्वारा विरल ग्रिडों को मार दिया गया है । आवेदन में, तब तक उपयोग किए जाने वाले आधार कार्य बहुत सामान्य हो सकते हैं, जब तक आप उन्हें घोंसला बना सकते हैं। उदाहरण के लिए, विमान-तरंगें या श्रेणीबद्ध आधार आम हैं।

अपने आप को कोड करना भी बहुत सरल है। मेरे अनुभव से, वास्तव में इन समस्याओं के लिए काम करना, हालांकि, बहुत कठिन है। एक अच्छा ट्यूटोरियल मौजूद है।

जिन समस्याओं के समाधान के लिए विशेष सोबोलेव रिक्त स्थान में रहते हैं, जो कि तेजी से मर जाते हैं, विरल ग्रिड दृष्टिकोण संभावित रूप से अधिक परिणाम दे सकते हैं ।

एक्टा न्यूमेरिका समीक्षा पत्र भी देखें, उच्च-आयामी पैरामीट्रिक और स्टोकेस्टिक पीडीई के स्पार्स टेंसर विवेक ।

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क्या ऐसे प्रसिद्ध उदाहरण हैं जहां विरल ग्रिड लागू नहीं हैं?

— MRocklin

आपको वास्तव में धारण करने के लिए नियमितता की आवश्यकता है। इसके अलावा, यदि आपके पास उच्च-आयामी क्यूप्स (जैसे क्यूएम में) हैं, तो आपको सावधान रहना होगा। मैंने स्पार्स ग्रिड क्लीक के बारे में कुछ कहानियाँ सुनीं, जो यह बताने लगीं कि (प्रमाणों के साथ भी) यह मोंटे-कार्लो की तुलना में बहुत बेहतर नहीं है , लेकिन एक अच्छा संदर्भ नहीं मिल सकता है।

— पीटर ब्रुने

ठीक है, Schroedinger के लिए विरल ग्रिड पर कागज आपने केवल 2 इलेक्ट्रॉनों का इलाज किया। विधि द्वारा वास्तव में कितने इलेक्ट्रॉनों को ट्रैक किया जा सकता है?

— अर्नोल्ड न्यूमैयर

Answer 2

एक सामान्य नियम के रूप में, यह समझना आसान है कि नियमित ग्रिड 3 या 4-आयामी समस्याओं से परे क्यों नहीं जा सकते हैं: डी आयामों में, यदि आप निर्देशांक दिशा में न्यूनतम एन बिंदु चाहते हैं, तो आपको एन ^ डी मिलेगा। कुल मिलाकर अंक। यहां तक ​​कि 1 डी में अपेक्षाकृत अच्छे कार्यों के लिए, आपको उन्हें हल करने के लिए कम से कम N = 10 ग्रिड बिंदुओं की आवश्यकता होती है, इसलिए कुल अंकों की संख्या 10 ^ d होगी - यानी यहां तक ​​कि सबसे बड़े कंप्यूटरों पर भी आप d से परे जाने की संभावना नहीं है। = 9, और शायद बहुत आगे कभी नहीं जाएगा । विरल ग्रिड कुछ परिस्थितियों में मदद कर सकते हैं यदि समाधान फ़ंक्शन में कुछ गुण हैं, लेकिन सामान्य तौर पर, आपको आयामीता के अभिशाप के परिणामों के साथ रहना होगा और एमसीएमसी विधियों के साथ जाना होगा।

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MCMC क्या है?

— दान

मार्कोव चेन मोंटे कार्लो: en.wikipedia.org/wiki/Markov_chain_Monte_Carlo

— जैक पॉल्सन

Answer 3

$d=4,...,100$$d=100,101,...\infty$

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$O(\sqrt{N})$$10^7$

$C^{k,\alpha}$